1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Tài liệu tham khảo - 2 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
4 2
y ax
bx c a
= +
+ ≠
Số nghiệm của phương trình
y ′ =
a a
y ′ =
có 3 nghiệm phân biệt
y ′ =
có 1 nghiệm duy nhất
Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung b Viết phương trình tiếp tuyến dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
1 Chỉ rõ
x

y
hoành độ tung độ của điểm M 2 Tính
f x ′
3 Cơng thức: y
y f x
x x
′ −
= −
c Viết phương trình tiếp tuyến dạng 2 – biết trước hệ số góc k 1 Lập luận để có được
f x k
′ =
2 Thay
y x ′
vào để tìm
x
3 Có
x
, tìm
y
và dùng cơng thức y
y f x
x x
′ −
= −
Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y ax
b =
+ có hệ số góc k = a Tiếp tuyến vng góc với
y ax
b a =
+ ≠
có hệ số góc
1 a
k = −
d Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị C :y = fx 1 Đưa phương trình về dạng:
f x BT m
=
2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị
: C
y f x
=
và đường thẳng
: d y
BT m =
. 3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả
Dương Phước Sang - 3 -
THPT Chu Văn An Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.
e Sự tương giao giữa đồ thị C :y = fx và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của
C
và d:
f x ax
b =
+
2 Lập luận: số giao điểm của
C
và d bằng với số nghiệm của
3 Đếm số nghiệm của suy ra số giao điểm của
C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 1 : Cho hàm số
3 2
6 9
1 y
x x
x =
− +
+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại giao điểm của
C
với
trục tung. c Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9
x x
x m
− +
+ =
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9
1 y
x x
x =
− +
+
Tập xác định: D = R Đạo hàm:
2
3 12
9 y
x x
′ = −
+
Cho
2
3 12
9 1
y x
x x
′ = ⇔ −
+ = ⇔ =
hoặc
3 x
=
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng – ∞;1 và 3;+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 Đồ thị hàm số có điểm cực đại
1; 5 D
, điểm cực tiểu
3;1 T
Cho 6
12. 2
3 y
x y
x y
′′ ′′
= −
= ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn
2; 3 I
Bảng biến thiên:
chú ý: do a 0
x
−∞
1 3
+∞
y ′ +
– +
y 5
+ ∞
– ∞
1 m BTm Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … ….
….
Tài liệu tham khảo - 4 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn Bảng giá trị:
x
1 2
3 4
y
1 5
3 1
5 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
2; 3 I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
1 x
y = ⇒
=
. Giao điểm của
C
với trục tung là:
0;1 A
9 f ′
= Phương trình tiếp tuyến của
C
tại A là:
1 9
9 1
y x
y x
− = −
⇔ = +
Câu c: Ta có,
3 2
3 2
6 9
6 9
x x
x m
x x
x m
− +
+ = ⇔
− +
= −
3 2
6 9
1 1
x x
x m
⇔ −
+ + = −
Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị
C
và đường thẳng :
1 d y
m = − cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5
4 1
1 m
m m
m 
 −
− 
 ⇔
⇔ 
 −
 
 
Bài 2 : Cho hàm số
2 3
3 2
y x
x =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại các giao điểm của
C
với trục hoành. c Biện luận theo a số nghiệm phương trình:
3 2
4 6
3 x
x a
− −
=
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2
y x
x =

Tập xác định:
D = ℝ
Đạo hàm:
2
6 6
y x
x ′ =

Cho
2
6 6
y x
x x
′ = ⇔ −
= ⇔ =
hoặc
1 x
=
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 Bảng biến thiên:
chú ý: do a 0
x
−∞
1
+∞
y ′ –
+ –
y +
∞ 1
– ∞
Dương Phước Sang - 5 -
THPT Chu Văn An Hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 0 −∞

1; +∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
1;1 D
, điểm cực tiểu
0; 0 O
Cho
1 1
2 2
6 12 .
y x
y x
y ′′
′′ = −
= ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1 2 2
; I
Bảng giá trị:
x
1 2

1 2
1
1 2
y
1
1 2
1 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
1 1 2 2
; I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
3 2
y x
x = ⇔
− =
3 2
x x
 = 
⇔  =
 Giao điểm của
C với trục hoành là: 0; 0
O và
3 2
; 0 B
Tại
0; 0 O
: 0 f ′
= , phương trình tiếp tuyến là: y
= Tại
3 2
; 0 B
:
3 9
2 2
f ′ = −
, phương trình tiếp tuyến là:
27 9
3 9
2 2
2 4
y x
y x
− = − −
⇔ = − +
Câu c: Ta có,
3 2
2 3
2 3
4 6
3 6
4 3
3 2
x x
a x
x a
x x
− −
= ⇔ −
= − ⇔

3 2
a = −
Số nghiệm phương trình bằng với số giao điểm của đồ thị
C
và đường thẳng
3 2
: d y
a = −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây: a
3 2
a −
Số giao điểm của
C
và d Số nghiệm của
phương trình
2 3
a −
3 2
1 a

1 1
2 3
a = −
3 2
1 a
− =
2 2
2 3
a −
3 2
1 a

3 3
a =
3 2
a −
=
2 2
a
3 2
a −
1 1
Tài liệu tham khảo - 6 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Bài 3 : a Khảo sát và vẽ đồ thị
C
của hàm số
3 2
3 3
2 x
x x
y +
+ =
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C
biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3 2
: y x
∆ =
c Tìm toạ độ các giao điểm của
C
với đường thẳng
3 2
2 y
x =
+
Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2 x
x x
y +
+ =
Tập xác định:
D = ℝ
Đạo hàm
2
3 6
3 0,
2 x
x y
x +
+ ′ =
≥ ∀ ∈ ℝ
do đó hàm số ln đồng biến trên

và không đạt cực trị. Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên:
1 2
3 3
1 y
x x
y ′′ =
+ = ⇔ = − ⇒ = − Điểm uốn
1 2
1; I
− − Bảng giá trị:
x 3
− 2
− 1

1
y
9 2
− 1

1 2

7 2
Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1 2
1; I
− − Câu b: Tiếp tuyến của
C
song song với đường thẳng
3 2
: y x
∆ =
có hệ số góc
3 2
k f x
′ =
=
2
3 6
3 2
x x
+ +
⇔ =
3 2
2
3 6
2 x
x x
x 
= 
⇔ +
= ⇔  = − 
Với
x =
thì
y y
= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
y x
y x
− = −
⇔ =
trùng với

x
−∞ 1
− +∞
y ′ +
+ y
+ ∞
– ∞
1 2

Dương Phước Sang - 7 -
THPT Chu Văn An Với
2 x
= −
thì 2
1 y
y = − = − , tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 2
2 y
x y
x + =
+ ⇔ =
+
song song với

Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3 2
2 y
x =
+
Câu c: Hoành độ giao điểm nếu có của
C

3 2
2 y
x =
+
là nghiệm phương trình
3 2
3 3
2 x
x x
+ +
=
3 2
3 2
3 3
3 4
2 x
x x
x x
+ ⇔ +
+ =
+
3 2
2
1 3
4 1
4 4
2 x
x x
x x
x x
 = 
⇔ +
− = ⇔ −
+ +
= ⇔  = − 
7 2
1 x
y = ⇒ = và
2 1
x y
= − ⇒ = − Vậy,
C

3 2
: 2
d y x
= +
cắt nhau tại 2 điểm:
7 2
1; A

2; 1 B
− −
Bài 4 : a Khảo sát và vẽ đồ thị
C
của hàm số:
4 2
2 3
y x
x =
− −
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C
tại điểm trên
C
có hồnh độ x là nghiệm của phương trình 20
f x
′′ =
c Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm:
4 2
2 x
x m
− +
= Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2 3
y x
x =
− −
Tập xác định:
D = ℝ
3
4 4
y x
x ′ =

Cho
3
4 4
0; 1
y x
x x
x ′ = ⇔
− = ⇔ =
= ±
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên: x –
∞ –1
1 +
∞ y ′
– +
– +
y +∞
3 −
+ ∞
–4 –4
Hàm số đồng biến trên các khoảng trên –1;0, 1;+ ∞ và nghịch
biến trên các khoảng – ∞;–1, 0;1.
Tài liệu tham khảo - 8 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn Đồ thị hàm số có điểm cực đại
0; 3 D

và hai điểm cực tiểu
1 2
1; 4, 1; 4 T
T − −

Bảng giá trị:
x 2

–1 1
2 y
–3 –4
–3 –4 –3
Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua trục tung như hình vẽ
Câu b: Ta có,
2 2
2
12 4
20 12
24 2
2 y
x x
x x
′′ = − =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ±
Đáp số: 4 2
11 y
x =
− và
4 2 11
y x
= − −
học sinh tự giải
Câu c: Ta có,
4 2
4 2
2 2
3 3
x x
m x
x m
− +
= ⇔ −
− = − −
Phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi C
và :
3 d y
m = − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm 3 hoặc 4 điểm
3 3
1 3
4 1
m m
m m
m 
 
 − − ≤ −
≥ 
 ⇔
⇔ ⇔ ≤
 
 
− − − 
 
 

Bài 5 :a Khảo sát và vẽ đồ thị
C của hàm số:
4 2
4 3
y x
x = − +

b Dùng đồ thị
C biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 x
x m
− +
= Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị: Câu b: Biến đổi phương trình ta được:
4 2
4 2
4 4
3 3
x x
m x
x m
− +
= ⇔ − + − =
− Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho
m m – 3
Số giao điểm
của C
và d Số nghiệm
của phương
trình m 4
m – 3 1 m = 4
m – 3 = 1 2
2 0 m 4 – 3 m – 3 1
4 4
m = 0 m – 3 = – 3
3 3
m 0 m – 3 – 3
2 2
Dương Phước Sang - 9 -
THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3
– 3 1
y x
x =
+
có đồ thị là
C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại điểm thuộc
C
có hồnh độ bằng 2.
c Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
– 3 1
2 x
x m
+ + = .
Bài 7 : Cho hàm số
3 2
1 3
2 2
2 y
x x
= − +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
song song với đường thẳng d:
9 2
2 y
x = −
+
c Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
3 2
3 4
x x
k −
− − =
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
2 3
1 y
x x
= +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại giao điểm của
C
với trục hoành.
c Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến song song với : 12
1 d y
x =

d Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3
2 x
x m
+ +
=
Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3
5 3
2 2
y x
x = −
+ − có đồ thị là
C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại điểm trên
C
có hồnh độ x thoả 1
y ′′ =
c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
và : 2
d y − = .
d Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3 2
2 9
6
x x
e e
m −
+ =
Bài 10 : Cho hàm số
3 2
1 3
y x
x =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt của
C
tại điểm trên
C
có tung độ bằng 0.
c Viết pttt của
C
song song với đường thẳng 8
3 y
x =

d Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:
3 2
3 log
x x
a −
− =
Tài liệu tham khảo - 10 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3
1 y
x x
= −

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Tìm toạ độ giao điểm của
C
với đường thẳng d: 1
y x
= − −
c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
4 6
1 x
x m
− + −
=
Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3 2
y x
x =
− +
,
m
là tham số.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt của
C
vng góc với đường thẳng d:
1 1
3 3
y x
= −
c Tìm các giá trị của a đường thẳng
2 y
ax =
+ cắt
C
tại ba điểm phân biệt.
Bài 13 : Cho hàm số
3 2
3 2
y x
x = − +

có đồ thị
C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm A0; –2
c Viết pttt của
C
biết tiếp tuyến song song với 9 4
4 x
y −
− =
d Biện luận theo m số giao điểm của
C
và : 2
d y mx
= −
Bài 14 : Cho hàm số
3
4 3
1 y
x x
= −

, có đồ thị là
C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Tìm m để phương trình
3
4 3
1 x
x m
− − =
có đúng 3 nghiệm.
c Viết pttt với
C
tại giao điểm của
C
với trục hồnh.
d Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến vng góc với
1 72
: d y
x = −
Bài 15 : Cho hàm số
3 2
2 6
6 2
y x
x x
= −
+ −
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
, Ox ,
1, 2
x x
= =
Bài 16 : Cho hàm số
2 2
2 y
x x
= −
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại điểm trên
C
có hồnh độ bằng
2 −
c Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm
4 2
2 x
x m
− +
=
Dương Phước Sang - 11 -
THPT Chu Văn An
Bài 17 : Cho hàm số
4 2
2 3
y x
x =
+ −
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt của
C
tại điểm trên
C
có tung độ bằng 5.
c Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:
4 2
2 3
2 x
x m
+ + +
=
Bài 18 : Cho hàm số
1 2
y =
4 2
3 x
x −
+
3 2
có đồ thị
C
.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.
c Tìm
m
để phương trình sau có 4 nghiệm:
4 2
6 log
x x
m −
+ =
Bài 19 : Cho hàm số
2 2
1 6
y x
= − −
có đồ thị
C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2 x
x m
− =
c Viết pttt của
C
biết tiếp tuyến vng góc với
1 24
: d y
x = −
Bài 20 : Cho hàm số
1 4
y = −
4 2
2 1
x x
+ −
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Tìm m để phương trình
4 2
8 4
x x
m −
+ = có nhiều hơn 2 nghiệm
c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm trên
C
có hồnh độ là nghiệm của phương trình 10
y x ′′
=
Bài 21 : Cho hàm số
1 4
y =
4 2
2 x
x −
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt của
C
song song với
1
: 15
2012 d
y x
= +
.
c Viết pttt của
C
vng góc với
2
: d
8 45
2012 y
x = −
+
d Tìm m để phương trình
4 2
8 x
x m
− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22 : Cho hàm số
4 2
1 y
x mx
m =
− −
+
có đồ thị
Cm
a Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
1; 4 M

b Khảo sát và vẽ đồ thị
C
của hàm số khi
2 m
= −
.
c Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi
C
và trục hồnh. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay
H
quanh trục hồnh.
Tài liệu tham khảo - 12 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn

2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan


a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
0, c
ad cb
≠ −

ax b
y cx
d +
= +
1 Tập xác định:
{ }
\\
d c
D =
− ℝ
2 Tính
2
ad cb
y cx
d −
′ = +
và khẳng định y′ dương hay âm,
d c
x ∀ ≠ −
3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
; ,
;
d d
c c
−∞ − −
+∞
và không đạt cực trị. 4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
Tính lim
x
a y
c
→−∞
= và lim
x
a y
c
→+∞
= , suy ra a
y c
= là TCN
Tính
lim
d c
x
y

→ −
và lim
d c
x
y
+
→ −
, suy ra d
x c
= − là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số có 2 tiệm cận và nêu nhận xét.

0, ax


b y
c ad
cb cx
d +
= ≠
− ≠
+
y ′ y ′
Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận
Dương Phước Sang - 13 -
THPT Chu Văn An b Viết phương trình tiếp tuyến dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
1 Chỉ rõ
x

y
hồnh độ tung độ của điểm M 2 Tính
f x ′
3 Công thức: y
y f x
x x
′ −
= −
c Viết phương trình tiếp tuyến dạng 2 – biết trước hệ số góc k 1 Lập luận để có được
f x k
′ =
2 Thay
y x ′
vào để tìm
x
3 Có
x
, tìm
y
và dùng cơng thức y
y f x
x x
′ −
= −
Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y ax
b =
+ có hệ số góc k = a Tiếp tuyến vng góc với
y ax
b a =
+ ≠
có hệ số góc
1 a
k = −
d Sự tương giao giữa đồ thị C :y = fx và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của
C
và d:
f x ax
b =
+
2 Lập luận: số giao điểm của
C
và d bằng với số nghiệm của 3 Đếm số nghiệm của suy ra số giao điểm của
C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1 x
y x
+ =
+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm trên
C
có tung
độ bằng
5 2
c Chứng minh rằng đường thẳng :
2 d y
x m
= − +
luôn cắt đồ thị
C
tại 2 điểm phân biệt. Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1 x
y x
+ =
+
Tập xác định:
\\ { 1} D
= −

Đạo hàm:
2
1 0,
1 1
y x
x ′ =
∀ ≠ − +
, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1 −∞ −
,
1; − +∞
và không đạt cực trị.

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×