1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan ax

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Dương Phước Sang - 13 -
THPT Chu Văn An b Viết phương trình tiếp tuyến dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
1 Chỉ rõ
x

y
hoành độ tung độ của điểm M 2 Tính
f x ′
3 Cơng thức: y
y f x
x x
′ −
= −
c Viết phương trình tiếp tuyến dạng 2 – biết trước hệ số góc k 1 Lập luận để có được
f x k
′ =
2 Thay
y x ′
vào để tìm
x
3 Có
x
, tìm
y
và dùng cơng thức y
y f x
x x
′ −
= −
Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y ax
b =
+ có hệ số góc k = a Tiếp tuyến vng góc với
y ax
b a =
+ ≠
có hệ số góc
1 a
k = −
d Sự tương giao giữa đồ thị C :y = fx và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của
C
và d:
f x ax
b =
+
2 Lập luận: số giao điểm của
C
và d bằng với số nghiệm của 3 Đếm số nghiệm của suy ra số giao điểm của
C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1 x
y x
+ =
+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm trên
C
có tung
độ bằng
5 2
c Chứng minh rằng đường thẳng :
2 d y
x m
= − +
luôn cắt đồ thị
C
tại 2 điểm phân biệt. Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1 x
y x
+ =
+
Tập xác định:
\\ { 1} D
= −

Đạo hàm:
2
1 0,
1 1
y x
x ′ =
∀ ≠ − +
, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1 −∞ −
,
1; − +∞
và không đạt cực trị.
Tài liệu tham khảo - 14 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn Giới hạn và tiệm cận:
lim 2 ; lim
2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = ⇒
y = 2 là tiệm cận ngang.
1 1
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1 x
= −
là tiệm cận đứng. Bảng biến thiên:
x
−∞ 1
− +∞
y ′ +
+ y
+∞
2 2
−∞
Bảng giá trị:
x
–2
3 2
− –1
1 2
y
3 4
1 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
1;2 I

như hình vẽ
Câu b: Với
5 2
y =
thì
2 1
5 22
1 5
1 3
1 2
x x
x x
x +
= ⇔
+ = +
⇔ = − +
Ta có
2
1 1
4 2
3 f

′ − = =
Vậy, tiếp tuyến của
C
tại
5 2
3; M

là:
5 1
1 13
2 4
4 4
3 y
x y
x − =
+ ⇔ =
+
Câu c: Hồnh độ giao điểm nếu có của
C
và d là nghiệm phương trình
2 1
2 2
1 2
1 1
x x
m x
x m x
x +
= − +
⇔ + = −
+ +
+
,
1 x
≠ −
2
2 4
1 x
m x m
⇔ +
− + −
=
1 x
= −
không thoả Biệt thức của phương trình :
2 2
4 12
2 8
0, m
m m
m ∆ =
− +
= −
+ ∀ ∈ ℝ Do
∆ nên ln có 2 nghiệm phân biệt, từ đó C
và d ln có 2 điểm chung phân biệt.
Bài 24 :a Khảo sát và vẽ đồ thị
C của hàm số
3 2
x y
x −
= −
b Viết pttt của
C biết tiếp tuyến song song với :
d y x
= −
c Tìm các giá trị của m để đường thẳng :
d y x
m = − +
cắt đồ thị C
tại 2 điểm phân biệt.
Dương Phước Sang - 15 -
THPT Chu Văn An
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
x x
y x
x −
− =
= −
− + Tập xác định:
\\ {2} D
= ℝ
Đạo hàm:
2
1 0,
2 2
y x
x −
′ = ∀ ≠
− , do đó hàm số nghịch biến
trên các khoảng
;2 −∞
,
2; +∞
và không đạt cực trị. Giới hạn và tiệm cận:
lim 1 ; lim
1
x x
y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒
1 y
= − là tiệm cận ngang.
2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
2 x
=
là tiệm cận đứng. Bảng biến thiên:
x
−∞
2
+∞
y ′ −
− y
1 −
−∞ +∞
1 −
Bảng giá trị:
x
1 2
3 4
y
3 2
− –2
1 2
− Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
2; 1 I

như hình vẽ
Câu b: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x
= −
nên có hệ số góc
1 k
f x ′
= = −
2
1 1
2 x
− ⇔
= − −
2
2 1
x ⇔
− =
2 1
1 2
1 3
x x
x x
 
− =
= 
 ⇔
⇔ 
 −
= − =
 
 
Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là
1 y
x
= − − và
3 y
x = − +
Câu c: Phương trình hồnh độ giao điểm của
C
và d: 3
2 x
x m
x −
= − + −
2
3 2
3 x
m x
m ⇔
− +
+ + =
C và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình có 2 nghiệm phân biệt
2
2 3
m m
⇔ ∆ ⇔ −
− ; 1 3;
m ⇔
∈ −∞ − ∪ +∞
Vậy với ; 1 3;
m ∈ −∞ − ∪
+∞ thì đồ thị C
và đường thẳng :
d y x
m = − +
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Tài liệu tham khảo - 16 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1 x
y x
+ =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c Viết pttt với
C
tại điểm trên
C
có tung độ bằng
7 2
d Tìm m để
: 1
2 d y
m x =
+ +
cắt
C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 26 : Cho hàm số
2 1
1 x
y x
+ =
+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
H
của hàm số.
b Lập phương trình tiếp tuyến của
H
biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c Viết pttt với
H
tại điểm trên
H
có hồnh độ bằng
3 −
.
d Tìm m để đường thẳng
1 y
mx =
+ cắt
C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27 : Cho hàm số
2 1
2 x
y x
− =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3 4

c Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số
m
đường thẳng y
x m
= − luôn cắt đồ thị
C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 28 : Cho hàm số
3 2
1 y
x = +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với đồ thị
C
tại giao điểm của
C
với trục hồnh.
c Tìm m để đường thẳng :
d y m
x =
− cắt
C
tại 2 điểm phân biệt
Bài 29 : Cho hàm số
2 3
x y
x +
= −
có đồ thị
C
.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại điểm trên
C
có hồnh độ bằng 1.
c Viết pttt với
C
tại điểm trên
C
có tung độ bằng
3 2

d Viết pttt với
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5 4

e Xác định toạ độ giao điểm của
C
và 3
2 y
x = −
+
Dương Phước Sang - 17 -
THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2 1
y x
= +
có đồ thị là
C
.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
tại các giao điểm của
C
với đường thẳng : 2
1 d y
x =

c Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] d Viết pttt của
C
biết tiếp tuyến song song với
1 3
2 2
y x
= − +
e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
trục hồnh và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
1 1
x y
x −
= +
có đồ thị
C
.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b Tìm điểm M trên trục hồnh mà tiếp tuyến của
C
đi qua điểm M song song với đường thẳng d : y = –2x
Bài 32 : Cho hàm số
2 1
x y
x −
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại giao điểm của
C
với : 2
3 d y
x =
− .
c Viết pttt của
C
vuông góc với đường thẳng
1 2
2012 y
x =
+
d Tìm m để đường thẳng d:
2 y
mx =
+ cắt cả hai nhánh của
C
.
Bài 33 : Cho hàm số
2 3
1 x
y x
− =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
, Ox và
2 x
=
.
c Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3 y
x = − + đồng thời tiếp xúc với đồ thị
C
Bài 34 : Cho hàm số
3 4
1 x
y x
+ =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b Viết pttt với
C
tại giao điểm của
C
với trục tung.
c Viết pttt với
C
tại các giao điểm của
C
với : 2
4 d y
x = −

d Tìm a để đường thẳng :
3 y
ax ∆ =
+ đồ thị
C
khơng giao nhau
e Tìm tất cả các điểm trên
C
có toạ độ đều là các số nguyên.
Tài liệu tham khảo - 18 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = fx trên đoạn [a;b]
1 Hàm số
y f x
=
liên tục trên đoạn [a;b]. 2 Tính
y f x
′ ′
= .
3 Cho y ′
= để tìm các nghiệm
[ ; ]
i
x a b

nếu có và các số
[ ; ]
j
x a b

làm cho y′ không xác định nhớ loại các số
[ ; ] x
a b ∉
l
4 Tính các giá trị
i
f x
,
j
f x

, f a f b
khơng được tính f của các
x
l
đã bị loại
5 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].

4. Điều kiện để hàm số có cực trị


tóm tắt
Nếu
f x f
x  ′
 =
 ′′
 
thì hàm số
y f x
=
đạt cực đại tại
x
Nếu
f x f
x  ′
 =
 ′′
 
thì hàm số
y f x
=
đạt cực tiểu tại
x
Hàm số
3 2
y ax
bx cx
d =
+ +
+
có cực đại, cực tiểu
y ′
⇔ ∆
Hàm số
4 2
y ax
bx c
= +
+
có cực đại, cực tiểu .
a b ⇔

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định


Hàm số
3 2
y ax
bx cx
d =
+ +
+ đồng biến trên
ℝ 0,
y
y x
a

∆ ≤ 
′ ⇔
≥ ∀ ∈ ⇔ 
 

Hàm số
3 2
y ax
bx cx
d =
+ +
+ nghịch biến trên
ℝ 0,
y
y x
a

∆ ≤ 
′ ⇔
≤ ∀ ∈ ⇔ 
 

Hàm số
ax b
y cx
d +
= +
đồng biến trên từng khoảng xác định 0,
y x
D ad
cb ′
⇔ ∀ ∈
⇔ −
khơng có dấu “=” Hàm số
ax b
y cx
d +
= +
nghịch biến trên từng khoảng xác định 0,
y x
D ad
cb ′
⇔ ∀ ∈
⇔ −
không có dấu “=”
Dương Phước Sang - 19 -
THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a
3 2
8 16
9 y
x x
x =
− +

trên đoạn [1;3]
b
2
4 ln1 y
x x
= −

trên đoạn [–3;0]
c
3 2
2 ln 3 ln
2 y
x x
= −

trên đoạn
2
[1; ] e
d
2
1
x
y e x
x =
− −
trên đoạn [0;2] Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16
9 y
x x
x =
− +
− liên tục trên đoạn [1;3] Đạo hàm:
2
3 16
16 y
x x
′ = −
+ Cho
2
3 16
16 y
x x
′ = ⇔ −
+ =
loại nhận
4 3
4 [1; 3]
[1; 3] x
x  = ∉
 ⇔ 
= ∈ 
Trên đoạn [1;3] ta có: ;
;
4 13
3 27
1 3
6 f
f f
= =
= − Do
13 27
6 −
nên
[1;3]
min 3
6
x
y f

= = − và
[1;3]
max
x
y

4 13
3 27
f =
=
Câu b: Hàm số
2
4 ln1 y
x x
= −
− liên tục trên đoạn [–3;0]
2
4 2
2 4
2 1
1 x
x y
x x
x −
+ +
′ = +
= −

Cho
nhận loại
2
1 [ 3; 0] 2
2 4
2 [ 3; 0]
x y
x x
x  = − ∈ −
 ′ = ⇔ −
+ + = ⇔  = ∉ −

Trên đoạn [–2;0]:
; ;
1 1
4 ln 2 3
9 8 ln 2
f f
f − = −
− = − =
Do
16
1 4 ln 2
ln
e
− =

2
9 8 ln 2
1 8 ln
e
− = +
nên
[ 3;0]
min 1
1 4 ln 2
x
y f
∈ −
= − = − và
[ 3;0]
max 3
9 8 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −
Câu c: Hàm số
3 2
2 ln 3 ln
2 y
x x
= −
− liên tục trên đoạn
2
[1; ] e
Đặt
ln t
x =
thì
2
[1; ] [0;2]
x e
t ∈
⇔ ∈ , hàm số trở thành
3 2
2 3
2 y
g t t
t =
= −


2
[0;2] 6
6 1
[0;2] t
g t t
t t
 = ∈ 
′ =
− = ⇔  = ∈

Trên đoạn [0;2]:
2 ; 1 3 ; 2
2 g
g g
= − = −
=
Do 3 2
2 − − nên
2
[1; ]
min 1
3
x e
y g

= = −

2
[1; ]
max 2
2
x e
y g

= =

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×