1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Dương Phước Sang - 19 -
THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a
3 2
8 16
9 y
x x
x =
− +

trên đoạn [1;3]
b
2
4 ln1 y
x x
= −

trên đoạn [–3;0]
c
3 2
2 ln 3 ln
2 y
x x
= −

trên đoạn
2
[1; ] e
d
2
1
x
y e x
x =
− −
trên đoạn [0;2] Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16
9 y
x x
x =
− +
− liên tục trên đoạn [1;3] Đạo hàm:
2
3 16
16 y
x x
′ = −
+ Cho
2
3 16
16 y
x x
′ = ⇔ −
+ =
loaïi nhaän
4 3
4 [1; 3]
[1; 3] x
x  = ∉
 ⇔ 
= ∈ 
Trên đoạn [1;3] ta có: ;
;
4 13
3 27
1 3
6 f
f f
= =
= − Do
13 27
6 −
nên
[1;3]
min 3
6
x
y f

= = − và
[1;3]
max
x
y

4 13
3 27
f =
=
Câu b: Hàm số
2
4 ln1 y
x x
= −
− liên tục trên đoạn [–3;0]
2
4 2
2 4
2 1
1 x
x y
x x
x −
+ +
′ = +
= −

Cho
nhận loại
2
1 [ 3; 0] 2
2 4
2 [ 3; 0]
x y
x x
x  = − ∈ −
 ′ = ⇔ −
+ + = ⇔  = ∉ −

Trên đoạn [–2;0]:
; ;
1 1
4 ln 2 3
9 8 ln 2
f f
f − = −
− = − =
Do
16
1 4 ln 2
ln
e
− =

2
9 8 ln 2
1 8 ln
e
− = +
nên
[ 3;0]
min 1
1 4 ln 2
x
y f
∈ −
= − = − và
[ 3;0]
max 3
9 8 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −
Câu c: Hàm số
3 2
2 ln 3 ln
2 y
x x
= −
− liên tục trên đoạn
2
[1; ] e
Đặt
ln t
x =
thì
2
[1; ] [0;2]
x e
t ∈
⇔ ∈ , hàm số trở thành
3 2
2 3
2 y
g t t
t =
= −


2
[0;2] 6
6 1
[0;2] t
g t t
t t
 = ∈ 
′ =
− = ⇔  = ∈

Trên đoạn [0;2]:
2 ; 1 3 ; 2
2 g
g g
= − = −
=
Do 3 2
2 − − nên
2
[1; ]
min 1
3
x e
y g

= = −

2
[1; ]
max 2
2
x e
y g

= =
Tài liệu tham khảo - 20 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Câu d: Đáp số:
[0;2]
min 1
y f
e =
= −

2 [0;2]
max 2
y f
e =
=
Bài 36 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
4 3
y x
mx x
= +
+ +
a Đồng biến trên

b Có cực đại và cực tiểu
Bài giải
Câu a:
3 2
4 3
y x
mx x
= +
+ +
Tập xác định: D = R Đạo hàm:
2
3 2
4 y
x mx
′ = +
+

2
12
y
m

′ ∆ =
− Hàm số đồng biến trên

0, y
x ′
⇔ ≥ ∀ ∈ ℝ
2
3 2 3
12
y
a m
m

 
 
 
 ⇔
⇔ ⇔
≤ 
 ′
 
∆ ≤ −
≤ 
 
 Vậy, với
2 3 ;2 3 m
 
∈ − 
 
 thì hàm số đồng biến trên

Câu b: Hàm số có cực đại và cực tiểu
y ′ ⇔
= có 2 nghiệm phân biệt
2
12 ; 2 3 2 3;
y
m m

′ ⇔ ∆ ⇔
− ⇔
∈ −∞ − ∪
+∞
Vậy với ; 2 3 2 3;
m ∈ −∞ −
∪ +∞ thì hàm số có cực đại và
cực tiểu.
Bài 37 : Tìm điều kiện của m để hàm số
3 2
2
3 1
2 y
x mx
m x
= −
+ −
+
đạt cực đại tại 2
x =
Bài giải
Câu a:
3 2
2
3 1
2 y
x mx
m x
= −
+ −
+
Tập xác định: D = R Đạo hàm:
2 2
3 6
1 y
f x x
mx m
′ ′
= =
− +

6 6
y f
x x
m ′′
′′ =
= −
Hàm số đạt cực đại tại
2 x
=
khi và chỉ khi
2
2 {1;11}
12 11
11 2
2 12
6 f
m m
m m
f m
m 
 
 ′
 
= ∈
− +
= 
 
 ⇔
⇔ ⇔
= 
 
′′ 
 
− 
 
 
 

Vậy với
11 m
=
thì hàm số đạt cực đại tại
2 x
=
Dương Phước Sang - 21 -
THPT Chu Văn An
Bài 38 : Chứng minh rằng nếu
sin
x
x y
e =
thì 2
2 y
y y
′′ ′
+ +
= Bài giải
Hàm số sin
. sin
x x
x y
e x
e

= =
có tập xác định
D = ℝ
. sin .sin
cos sin
x x
x
y e
x e
x e
x x
− −

′ ′
′ =
+ =
− cos
sin cos
sin 2
cos
x x
x
y e
x x
e x
x e
x
− −
′′ ′
′ =
− +
− = −
2 2
2 cos
2 cos
sin 2
sin
x x
x
y y
y e
x e
x x
e x
− −

′′ ′
+ +
= − +
− +
=
Vậy, với
. sin
x
y e
x

=
thì 2
2 y
y y
′′ ′
+ +
=
BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ
Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
a
3 2
2 3
12 10
f x x
x x
= −
− +
trên đoạn
[ 2; 0] −
b
5 4
3
5 5
1 f x
x x
x =
− +
+
trên đoạn [–1;2]
c
4 3
2
2 1
f x x
x x
= −
+ −
trên đoạn [–1;1]
d
5 3
5 10
1 f x
x x
x =
− +

trên đoạn [–2;4] e
2
25 f x
x =

trên đoạn [–3;4]
f
2
2 5
f x x
x =
+ −
trên tập xác định.
g
4 1
2 f x
x x
= − + − +
trên đoạn [–1;2]
h
3
3 sin 2 sin
1 f x
x x
= −
+
trên đoạn
[0; ] π
i
cos 2 sin
3 f x
x x
= −
+
j
2 sin sin 2
f x x
x =
+
trên đoạn
[ ]
3 2
0;
π
Bài 40 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a
2 x
x
f x e
e

= +
trên đoạn
[ 1;2] −
b
2
1
x
f x x
e

= −
trên đoạn [0;2]
c
2
1
x
f x x
x e

= − −
trên đoạn
[ 1;1] −
d
2
2 2
x
f x xe
x x
= −

trên đoạn
[0;1]
e
2
2 2
2
x
f x x
e x
x =
− +

trên đoạn
[0;2]
Tài liệu tham khảo - 22 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Toán
f
2
ln1 2
f x x
x =
− −
trên đoạn
[ 2; 0] −
g
2
2 4 ln
f x x
x x
= −

trên đoạn
[1;2]
h
2
ln 1
f x x
x = −
+
trên đoạn
[0;2]
i
ln 2
2 f x
x x
x =
− +
trên đoạn
2
[1; ] e
j
2 2
2 ln
3 f x
x x
x =

trên đoạn
[1;2 ] e
k
2
ln x
f x x
= trên đoạn
[ ]
3
1;e
l
ln x
f x x
=
trên đoạn
1 2
[ ;
e
2
] e
Bài 41 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a
3 2
6 2
y x
mx m
x =
− +
+ −
b
3 2
2
2 1
2 2
3 y
x m
x m
m x
m =
− −
+ −
+ +

Bài 42 : Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến
a
3 2
1 2
1 3
y x
a x
a x
= − + +
− +

b
7 5
3 ax
a y
x a
+ − =
− +
Bài 43 : Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a
3 2
2
2 1
3 2
2 y
x m
x m
m x
= +
− +
− +
+
b
2
2 4
2 x
mx m
y x
+ −
− =
+
c
4 2
1 2
3 y
m x
mx =
− −

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a
3 2
2
2 1
4 1
y x
m x
m x
m =
+ +
+ −
− + đạt cực đại tại
x =
b
2 3
2
2 1
2 3
2 y
m x
mx m
x =
− −
+ +

đạt cực tiểu tại
1 x
= −
c
2
6 3
m
y

=
3
1 x
mx +
+ đạt cực tiểu tại
2 x
=
d
1 2
y =
4 2
x mx
n −
+ đạt cực tiểu bằng
2 −
tại
1 x
=
Bài 45 : Chứng minh rằng
a Nếu
cos 2 sin 2
x
y e
x x
= +
thì 2
5 y
y y
′′ ′
− +
=
b Nếu
4
2
x x
y e
e

= +
thì 13
12 y
y y
′′′ ′
− =
c Nếu
ln x y
x =
thì
2
3 y
xy x y
′ ′′
+ +
=
Dương Phước Sang - 23 -
THPT Chu Văn An Ph n
Ph n Ph n
Ph n II. II.
II. II. PH
NG TRÌNH PH
NG TRÌNH PH
NG TRÌNH PH
NG TRÌNH ---- B T PH NG TRÌNH M
B T PH NG TRÌNH M
B T PH NG TRÌNH M
B T PH NG TRÌNH M
LƠGARIT LƠGARIT
LƠGARIT LƠGARIT

1. Phương trình mũ đơn giản


Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với 0,
a b
và , m n
∈ ℝ ta có .
1 1
n m
n m n
m mn
m m
n m n
m n
n n
n n
n
a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
+ −
− −
= =
= =
= =
i i
i i
i i
.
n n
n n
n n
a a
b b
n n
a b
b a
ab a b

= =
= i
i i
a Phương trình mũ cơ bản: với a

1 a

, ta có
x
a b
=
vơ nghiệm nếu
b ≤
log
x a
a b
x b
= ⇔ = nếu
b b Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
a và
1 a

, ta có
f x g x
a a
f x g x
= ⇔
= c Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Phương pháp giải chung: 0 Biến đổi phương trình theo
f x
a , chẳng hạn:
2
. .
f x f x
m a n a
p +
+ =
1
. .
f x
f x a
m a n
p +
+ = 1 Đặt
f x
t a
=
kèm điều kiện cho t và thay vào phương trình 2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
t nếu có
3 Đối chiếu nghiệm t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x. Lưu ý 1: gặp dạng
. .
f x f x
m a n a
p

+ + =
, ta dùng biến đổi
1
f x
f x a
a

= Lưu ý 2: gặp dạng
2 2
. .
.
f x f x
f x
m a n ab
p b +
+ =
, ta chia 2 vế phương trình cho
2 f x
b
d Phương pháp lơgarit hố: với 0 1
a ≠ và 0
1 b
≠ , ta có log
log
f x g x
f x g x
a a
a b
a b
 
 
= ⇔
= 
 
 
 

Tài liệu tham khảo - 24 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn

2. Phương trình lơgarit đơn giản


Phương pháp chung: Đặt điều kiện xác định của phương trình
Biến đổi phương trình để tìm x nếu có Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận
Các cơng thức và quy tắc tính lơgarit: với 0 1
a ≠ và b 0,
α ≠
:
log 1
a
=
log log
n
m m
a a
n
b b
= ⋅
n ≠
log
a
a
α
α
= .
log log
log
a a
a
m n m
n =
+ ,
m n
log
a
b
a b
=
log log
log
m a
a a
n
m n
= −
, m n
log . log
a a
b b
α
α =
log log
log
c c
b a
a
b =
1 c

1
log log
a a
b b
α
α
= ⋅
1 log
log
b
a a
b =
1 b

a Phương trình lơgarit cơ bản: với a

1 a

, ta có
log
b a
x b
x a
= ⇔ =
b Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a

1 a

, ta có
log log
a a
f x g x
f x g x
= ⇔
=
kèm điều kiện
f x log
b a
f x b
f x a
= ⇔ =
Lưu ý: Nếu đã có
f x
thì
2
log 2 log
n a
a
f x n
f x 
 =
 
 
Nếu chỉ có
f x ≠
thì
2
log 2 log
n a
a
f x n
f x 
 =
 
 
Biến đổi sau đây rất dễ sai sót khơng nên sử dụng:
Đưa α ra ngồi: log
a
f x
α
 
 
  thành
. log
a
f x
α
Tách
log .
a
f x g x 
 
 

thành
log log
a a
f x g x
+
Tách
log
f x a g x
 
 
 
 
thành log log
a a
f x g x
− chỉ được dùng các biến đổi trên khi
0,
f x g x
Nên dùng biến đổi dưới đây:
Đưa α vào trong: . log
a
f x
α thành log
a
f x
α
 
 
 
Nhập log log
a a
f x g x
+ thành log
.
a
f x g x
 
 
 
Nhập log log
a a
f x g x
− thành
log
f x a g x
 
 
 
 

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×