1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức Hệ toạ độ Oxyz

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Tài liệu tham khảo - 46 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1
: Thực hiện các phép tính a
2 4 3
5 74
3 i
i i
+ −
+ −
b
2
3 4
i −
c
2 3 2
i i
+ +
Bài giải
Câu a:
2
2 4 3
5 74
3 6
10 12
20 28
21 i
i i
i i
i i
+ −
+ −
= − +
− +

6 10
12 20
28 21
54 19
i i
i i
= − +
+ +
− =

Câu b:
2 2
3 4
9 24
16 9
24 16
7 24
i i
i i
i −
= − +
= − −
= − −
Câu c:
2 2
2 2
2 3 2
2 6 4
3 2
6 2
8 1
3 2 3 2 3 2
13 13
3 4
3 4
i i
i i
i i
i i
i i
i
i
+ −
+ − + −
− + +
+ −
− +
= =
= =

Bài 2 : Tìm mơđun của số phức sau đây
a
2
3 2
1
z i
i = +
+ +
b
3 1
2 i
i i
z
+ +

=
Bài giải
Câu a:
2
3 2
1 3
2 3
2
2
1 2
1 2
1 z
i i
i i
i i
i = +
+ +
= + + +
+ = +
+ + −
2 2
2 2
3 4
3 4
5 z
i z
a b
⇒ = + ⇒
= +
= +
=
Câu b:
2
3 3
3 3
1 2
2 2
1 3
2 2
1 1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
z z
+ +
+ +
+ −
− + + +
− + −
= =
= =
= ⇒ =
Bài 3 : Tìm số phức nghịch đảo của số phức:
2
1 2
z i
i = −
+
Bài giải
2 2
2
1 2
1 2
2 2 2
4 2
2 4
z i
i i
i i
i i
i i
i = −
+ = − + + = −
+ = − − = −
Suy ra
2
2 4 2 4
2 4 1
1 1
1 2 4
2 4 2 4 20
10 5
4 16 i
i i
z i
i i
i
i
+ +
+ −
− +

= =
= =
= +
Bài 4 : Giải phương trình sau trên tập số phức: 2
3 5
4 iz
z i
+ = +
Bài giải
2 3
5 4
5 2
3 4
5 2
3 4
iz z
i z
iz i
i z i
+ = +
⇔ −
= − ⇔
− = −
2 2
2
3 4 5 2 15 6
20 8
3 4 23
14 5 2
5 2 5 2 29
29 5
4 i
i i
i i
i i
i i
i
z i
− +
+ − −
− −
− +

⇔ = =
= =

Bài 5 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
a
2
2 z
z
− + − = b
4 2
2 3
– z
z +
= c
3
1 z
+ =
Bài giải
Câu a:
2 2
2 2
z z
z z
− + − = ⇔ − + = 1
Dương Phước Sang - 47 -
THPT Chu Văn An Ta có,
2 2
1 4.1.2
7 7.
i ∆ =
− = − ⇒ ∆ =
Vậy, phương trình 1 có 2 nghiệm phức phân biệt
1 7
7 1
1 2
2 2
i
z i

= = −

1 7
7 1
2 2
2 2
i
z i
+
= = +
Câu b:
4 2
2 3
– z
z +
= 2
Đặt
2
t z
=
, phương trình 2 trở thành:
2 3
2
1 –
3 t
t t
t  =
 +
= ⇔  = − 
. Từ đó,
2 2
1 1
3. 3
z z
z i
z 
 = ± =
 
⇔ 
 = ± = −
 
 Vậy, phương trình 2 có 4 nghiệm phức phân biệt :
1 2
3
1, 1,
3. z
z z
i =
= − =

4
3. z
i = −
Câu c:
3
3
2 2
1 1
1 1
1 z
z z
z z
z z
 = − 
+ = ⇔
+ − + = ⇔ 
− + = 
Giải : ta có
2 2
1 4.1.1
3 3
i ∆ = −
− = − ⇒ ∆ =
có 2 nghiệm phức phân biệt:
1 3
1 2
i
z
+
=
;
1 3
2 2
i
z

= Vậy, phương trình 3 có 3 nghiệm phức phân biệt
1
1 z
= −
,
3 1
2 2
2
z i
= + và
3 1
3 2
2
z i
= −
Bài 6 : Tìm mơđun của số phức z biết:
a
3 3
1 2
iz i
i +
− + =
b
5 11 17
iz z
i +
= −
Bài giải
Câu a:
2
3 3
1 2
3 3
3 2
iz i
i iz
i i
i +
− + = ⇔
+ + − −
=
3 3
3 1
2 3
2 2
iz i
i iz
i ⇔
+ + − + = ⇔
= − −
2 2 3
i i
z
− −
⇔ =
2 2
3 3
z i
⇒ = − +
2 2
z a
b ⇒
= +
=
2 2
2 2 2
2 3
3 3
− +
=
Câu b: Với
, z
a bi a b
= + ∈ ℝ
ta có
z a
bi = −
, do đó
5 11 17
5 11 17
iz z
i i a
bi a
bi i
+ =
− ⇔
+ +
− =

2
5 5
11 17 5
5 11 17
ia bi
a bi
i a
b a
b i i
⇔ +
+ −
= −
⇔ − +
− =

2 2
5 11
3 3
4 3
4 5
5 17
4 a
b a
z i
z a
b b
 
 
− = =
 
⇔ ⇔
⇒ = + ⇒
= +
= 
 
 −
= − =
 
 
 
Tài liệu tham khảo - 48 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn

III. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Bài 7


: Thực hiện các phép tính a
2
1 i
+
b
2
3 4
i −
c
2
2 i
− +
d
3
2 3
i +
e
3
1 3
i −
f
2012
1 i

g
2012
1 i
+
h
2012
1 3
i −
i
2 3 3
i i
+ +
j
4 2 1
i i
− − − +
k
2 4i i
+
l
1 2 i

m
2
1 1
i i
 
−  
 
 
 +
n
5
1 1
i i
 
+  
 
 
  −
 
o
2
2 2
i −
p
2 1
1 i i
i −
+
Bài 8 : Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau đây:
a
2 4 3
5 74
3 i
i i
+ −
+ −
b
1 4 2
3 5 1
3 i
i i
− +
− − −
c
2
1 2
2 3 3
2 i
i i
− − −
+
d
2
2 3
1 3 5
2 i
i i
− − −
+
e
2 2
1 2
1 2
i i
+ + −
f
2 2
1 3
1 3
i i
+ − −
g
5
4 5 4
3 i
i 
 +
− +
 
 
h
3
5 2
7 i
i 
 − − +
 
 
i
2 1
4 3
3 2
i i
i i
+ + + −
+
j
2 1
1 3
3 9
i i
i i
+ − − −

k
3 4 1
2 4
3 1
2 i
i i
i −
+ + −

l
2 3 1
2 2
4 1
i i
i i
+ −
+ − +
Bài 9 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a 3
8 5
4 z
i i
+ − = + b
2
2 2 –
2 3
iz i
i +
= +
c 3
1 4
2 i z
i i
− =
+ −
d
2
1 1 –
2 3
i z i
i +
+ = −
e
2 1
3 1
2 i
i z
i i
+ − +
= −
+
f
2 1
3 1
2 2
i i
z i
i +
− − =
+ +
g 2
3 2
i z i
i −
+ = + h
2 . 1
5. 2
i z z
i − =

i 2
3 5
4 iz
z i
+ = +
j
3 . 5
3 z
i z i
− = −
k
2 6
2 z
z i
+ = +
l
3 7
5 iz
z i
+ = +
m 3
2 5
2 z
z i
+ = +
n .
2 2
5 i z
z i
+ = −
Bài 10 : Tính
z
, biết rằng a
2
1 2.
z i
= +
b
3 4
1 1
i i
z
+ −
=
Bài 11 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây:
a
3 4
z i
= −
b
4 2
3 z
i i
= +

c
2
2 z
i i
= −
Bài 12 : Cho
1 2
2 3 ,
1 z
i z i
= + = +
. Tính
2 1
2
. z z
;
1 2
z z


1 2
3 z
z −
Dương Phước Sang - 49 -
THPT Chu Văn An
Bài 13 : Cho
2 3
z i
= + . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của
7 5
z i
iz +
+
Bài 14 : Cho
3 3
1 1
2 2
z i
= − + và
3 3
1 1
2 2
z i
= +
. Tính
1 2
. z z
Bài 15 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a
2
2 z
+ = b
2
4 9
z
+ = c
2
4 8
– z
z
+ = d
2
2 2
5 z
z +
+ = e
2
2 17
z z
+ +
= f
2
3 3
z z
− + =
g
3
4 z
z +
=
h
3 2
7 4
z z
z +
=
i
3
8 z
+ = j
4 2
2 3
– z
z +
= k
4 2
2 3
5 z
z +
− = l
4
9 16
z −
=
m
2
2 4
9 z
z +
+ = n
2
1 z
z
− + − = o
2
4 11
z z
+ −
=
Bài 16 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và
2 2 z
=
Bài 17 : Cho
1 2
, z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
5 2
1 z
z −
+ =
Chứng minh rằng tổng nghịch đảo của
1
z và
2
z
bằng 2.
Bài 18 : Cho
1 2
, z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 2
4 z
z −
+ =
Chứng minh rằng
1 2
1 2
. 2
z z
z z +
+ =
Bài 19 : Cho
1 2
, z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 5
z z
− + =
Chứng minh rằng
2 2
1 2
6 z
z +
=
Bài 20 : Cho
1 2
, z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
5 2
2 z
z −
+ =
Chứng minh rằng
1 2
1 2
. z
z z z
+ =
Bài 21 : Cho
1 2
, z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 2
1 z
z −
+ =

2
z có phần ảo là một số âm. Tính
1 2
2 z
z +
Bài 22 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và
2 2 z
=
Bài 23 : Cho hai số phức
1 z
m m
i =
+ −
và 2
2 3
z n
n i ′ =
+ − , với
, m n
∈ ℝ . Tìm
z
và z ′ biết rằng 1
7 z
z i
′ +
= + .
Bài 24 : Cho số phức
1 , z
m m
i m =
+ +
∈ ℝ
. Tìm z biết rằng
5 z
=
.
Bài 25 : Cho số phức
1 1 ,
z m
m i m
= − +
+ ∈ ℝ
. Tìm z biết
. 10
z z =
.
Bài 26 : Cho số phức
2 2 ,
z m
m i m
= +
+ ∈ ℝ
. Tìm z biết rằng
2
z
là một số phức có phần thực bằng
5 −
.
Bài 27 : Giải các phương trình sau đây trên tập các số phức
a
5 1
1 24
5 z
z z
− + +
+ =
b
2
22 1
17 6
z z
z −
+ +
=
Tài liệu tham khảo - 50 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Ph n V. Ph n V.
Ph n V. Ph n V. PH
NG PHÁP TO+ Đ- PH
NG PHÁP TO+ Đ- PH
NG PHÁP TO+ Đ- PH
NG PHÁP TO+ Đ- TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ toạ độ Oxyz


Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đơi một vng góc nhau có véctơ đơn vị lần lượt là:
, , i j k

2. Toạ độ của điểm


a Định nghĩa ;
; .
. .
M M
M M
M M
M x y
z OM
x i
y j
z k
⇔ =
+ +
b Toạ độ của các điểm đặc biệt Trung điểm I của đoạn AB
Trọng tâm G của tam giác ABC 2
2 2
A B
I A
B I
A B
I
x x
x y
y y
z z
z 
+ 
= 
 
+  =
 
+  =
 3
3 3
A B
C G
A B
C G
A B
C G
x x
x x
y y
y y
z z
z z
 +
+ 
= 
 
+ +
 = 
 +
+ 
= 
Hình chiếu vng góc của điểm
; ;
M M
M
M x y
z
lên: Trục Ox :
1
; 0; 0
M
M x
mp
Oxy
:
12
; ; 0
M M
M x
y Trục Oy :
2
0; ; 0
M
M y
mp
Oxz
:
13
; 0;
M M
M x
z Trục Oz :
3
0; 0;
M
M z
mp
Oyz
:
23
0; ;
M M
M y
z

3. Toạ độ của véctơ


a Định nghĩa:
1 2
3 1
2 3
; ; .
. .
a a a a
a a i
a j a k
= ⇔ =
+ +
b Công thức toạ độ của véctơ Nếu ; ; , ;
;
A A
A B
B B
A x y z
B x y
z thì
; ;
B A
B A
B A
AB x
x y
y z z
= −
− −
Nếu
1 2
3
; ; a
a a a
=
,
1 2
3
; ; b
b b b =
thì
1 1
2 2
3 3
; ;
a b
a b a
b a b
+ = +
+ +
1 1
2 2
3 3
; ;
a b
a b a
b a b
− = −
− −
1 2
3
. ;
; k a
ka ka ka =
, k ∈ ℝ
c Điều kiện cùng phương của hai véctơ Cho
1 2
3
; ; a
a a a =
,
1 2
3
; ; b
b b b =

b ≠
. Khi đó, a
cùng phương với
b
⇔ tồn tại số thực t sao cho
. a
t b =
1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
a b
 = 
 = ⇔
= 
 = 
Dương Phước Sang - 51 -
THPT Chu Văn An

4. Tích vơ hướng của hai véctơ


a Cơng thức: Nếu
1 2
3 1
2 3
; ; ; ;
a a a a
b b b b
 = 
 = 
thì
1 1 2 2
3 3
. .
. .
a b a b
a b a b
= +
+ b Ứng dụng:
2 2
2 1
2 3
a a
a a
= +
+ AB
AB =
. cos ,
. a b
a b a b
= .
a b
a b ⊥ ⇔
= , với
a b
 ≠ 
 ≠ 

5. Tích có hướng của hai véctơ


a Định nghĩa Cho
1 2
3 1
2 3
; ; ; ;
a a a a
b b b b
 = 
 = 
. Khi đó, véctơ
[ ]
2 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
, ;
; a
a a
a a
a a b
b b
b b
b b
 
 
 =
− 
 
 
 
được gọi là tích có hướng của hai véctơ a và
b
. b Lưu ý:
Nếu
[ , ] n
a b =
thì n a
⊥ và
n b

giả sử
0, 0,
a b
n ≠
≠ ≠
c Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác 0 lần lượt là
, , a b c
. Khi đó, a và
b
cùng phương với nhau
[ , ] a b
⇔ =
, a b
và c đồng phẳng với nhau
[ , ]. a b c
⇔ =
A,B,C thẳng hàng
[ ,
] AB BC
⇔ =
A,B,C,D đồng phẳng
[ ,
]. AB AC AD
⇔ =
d Ứng dụng 2: tính diện tích Diện tích hình bình hành ABCD
[ ,
]
ABCD
S AB AD
=
Diện tích tam giác ABC:
ABC
S

1 2
[ ,
] AB AC
=
e Ứng dụng 3: tính thể tích
Thể tích khối hình hộp .
ABCD A B C D ′ ′ ′ ′
[ ,
].
hh
V AB AD AA′
=
Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
V =
1 6
[ ,
]. AB AC AD

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×