1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Tích vơ hướng của hai véctơ Tích có hướng của hai véctơ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Tài liệu tham khảo - 52 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1
: Trong hệ toạ độ
, , , O i j k
cho
2 3
OA i
j k
= + −
,
4 3
2 , 2; 7;1
OB i
j k
BC =
+ −
= −
và 4;1; 7 A′

a Chứng minh rằng A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vuông. b Chứng minh rằng
AA ABC
′ ⊥
c Tính thể tích khối tứ diện A ABC
′ .
d Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
. ABCD A B C D
′ ′ ′ ′ Bài giải
Từ giả thiết ta có 2;1; 3, 4; 3; 2, 6; 4; 1, 4;1; 7 A
B C
A′ −
− − −

Câu a:
2;2;1 .
8 10
2 4; 5;2
AB AB AC
AB AC
AC 
= 
⇒ = −
+ = ⇒ ⊥
 =
− 
Vậy, ABC là tam giác vuông tại A
Câu b: Ta có,
2; 0; 4 AA′
= −

2;2;1, 4; 5;2
AB AC
= =

Do đó,
. 2.2
0.2 4.1
. 2.4
0. 5 4.2
AA AB AA AC
 ′
= +
− =
  ′
= +
− − =
 AA
AB AA
ABC AA
AC 
′ 
⊥ 
′ ⇒
⇒ ⊥
 ′
 ⊥

Câu c:
2 2
2 2
2 2
2 2
1 3
4 5
2 3 5
AB AC
 =
+ +
= 
 =
+ − +
= 
. 9 5
2 2
ABC
AB AC S

⇒ =
=
2 2
2
2 4
2 5 h
AA′ =
= +
+ − =
Vậy,
9 5.2 5 1
1 3
3 3.2
. 15
A ABC ABC
V h
S AA
′ ∆
′ =
= =
= B.
Câu d: ABCD là hình bình hành
AD BC
⇔ =
2 2
4 1
7 6.
4; 6; 2 3
1 2
D D
D D
D D
x x
y y
D z
z 
 
 − =
= 
 
 
 ⇔
− = − ⇔ = −
− − 
 
 
 + =
= − 
 
 
 Tương tự,
6; 3; 6 B ′
− , 6; 6; 6 D ′
− − , 8; 4; 5 C ′
− −
Dương Phước Sang - 53 -
THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ Bài 2
: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
2; 0; 1, 3;2; 3, 1;1;1 A
B C
− −
a Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. b Xác định toạ độ đỉnh D và tâm I của hình bình hành ABCD.
c Tìm toạ độ điểm M sao cho
2 AM
OB AC
= −
Bài 3 : Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
2;2; 1, 2;1; 0, 1;1; 1 A
B C
− −
a Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b Cho điểm 4; 0; 3
A′ − . Xác định toạ độ các điểm B′ và C ′ để
. ABC A B C
′ ′ ′ là một hình lăng trụ.
c Chứng minh rằng
. ABC A B C
′ ′ ′ là một lăng trụ đều.
Bài 4 : Trong hệ toạ độ
, , , O i j k
cho
3 2
3 OM
i j
k =
− +
và A,B,C lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.
a Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. b Tính thể tích tứ diện OABC, từ đó tính khoảng cách từ gốc toạ
độ đến mặt phẳng
ABC
Bài 5 : Trong hệ toạ độ
, , , O i j k
cho
3 2
3 ON
i j
k =
− +
và A,B,C lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm N lên các mặt phẳng toạ độ
Oxy, Oyz, Oxz. a Tính diện tích tam giác ABC và thể tích của tứ diện NABC.
b Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
ABC
Bài 6 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh rằng
0; 0; 0 O
, A0;1;2,B2;3;1,C2;2;–1 là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 7 : Trong hệ toạ độ
, , , O i j k
cho tứ diện ABCD sao cho
2; 4; 1, 4
, 2; 4; 3, 0; 2; 0
A OB
i j
k C AD
− = +
− =

a Chứng minh rằng AB, AC và AD đôi một vng góc với nhau. b Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 8 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2;1; 3, 4;3; 2, 6; 4; 1
A B
C −
− − −
a Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông. b Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 9 : Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
. ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
biết rằng
2; 4; 1, 1; 4; 1, 2; 4; 3, 2;2; 1
A B
C OA′
− −
= −
Bài 10 :Tìm điểm N trên Oy cách đều hai điểm
3;1; 0 A

2; 4;1 B

Bài 11 :Tìm điểm M trên mặt phẳng
Oxz
cách đều ba điểm
1;1;1 A
,
1;1; 0 B


3;1; 1 C

Tài liệu tham khảo - 54 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn

6. Phương trình mặt cầu


a Dạng 1: mặt cầu
S
tâm Ia;b;c, bán kính R có phương trình:
2 2
2 2
– –
– x
a y
b z
c R
+ +
=
b Dạng 2: với điều kiện
2 2
2
a b
c d
+ +
− thì
2 2
2
– 2 – 2
– 2 x
y z
ax by
cz d
+ +
+ =
là phương trình mặt cầu Tâm Ia;b;c Bán kính
2 2
2
R a
b c
d =
+ +
− c Lưu ý: mặt cầu
,
S I R tiếp xúc với mặt phẳng
α ,
d I R
α ⇔
=

7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng


a Công thức: Nếu mặt phẳng P
đi qua điểm
; ;
M x y z và có véctơ
pháp tuyến
; ; n
A B C =

thì
P
có phương trình tổng qt là:
A x x
B y y
C z z
− +
− +
− =
b Lưu ý về cách xác định véctơ pháp tuyến vtpt cho mặt phẳng: ☺ Nếu
P AB

thì
P
nhận
n AB
=
làm véctơ pháp tuyến. ☺ Nếu a và
b
là hai véctơ khơng cùng phương, có giá song song hoặc chứa trong
P
thì
P
nhận
[ , ] n
a b =
làm véctơ pháp tuyến. ☺ Cho trước
: Q
Ax By
Cz D
+ +
+ =
. Nếu
€ P
Q
thì
P
có phương trình dạng
Ax By
Cz D ′
+ +
+ = với D
D ′ ≠
☺ Mặt phẳng
: P
Ax By
Cz D
+ +
+ =
có vtpt
; ; n
A B C =
c Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng
P
đi qua ba điểm phân biệt
; 0; 0 A a
,
0; ; 0, 0; 0; B
b C
c
có phương trình
1 x
y z
a b
c + + =
d Khoảng cách từ điểm M
o
đến mặt phẳng P
2 2
2
,
Ax By
Cz D
A B
C
d M P
+ +
+ +
+
=
Dương Phước Sang - 55 -
THPT Chu Văn An

8. Phương trình của đường thẳng


Cho đường thẳng d đi qua điểm
; ; M x y z
và có vtcp
; ; u
a b c =
a Phương trình tham số của d: x
x at
y y
bt t
z z
ct  =
+ 
 = + ∈
  = +
 ℝ
b Phương trình chính tắc của d:
x x
y y
z z
a b
c −
− −
= =
giả sử a,b,c đều khác 0 c Cách xác định véctơ chỉ phương vtcp cho đường thẳng d
☺ d đi qua 2 điểm A và B phân biệt thì d có vtcp
u AB
=
☺ Cho đường thẳng

có vtcp
u

. Nếu €
d ∆
thì d có vtcp
u u

=
☺ Cho mặt phẳng
P
có vtpt
P
n
. Nếu d ⊥P thì d có vtcp
P
u n
=
☺ Cho hai véctơ không cùng phương a và
b
. Nếu d vuông góc với giá của 2 véctơ a và
b
thì d có vtcp
[ , ] u
a b =
☺ Cho đường thẳng

có vtcp
u

và mặt phẳng
P
có vtpt
P
n
. Nếu d song song với
P
và vng góc với

thì d có vtcp
[ ]
,
P
u n
u

=
☺ Cho hai mặt phẳng
P

Q
lần lượt có vtpt
P
n

Q
n
. Nếu d là giao tuyến của
P

Q
thì d có vtcp
[ ]
,
P Q
u n
n =
☺ Cho hai đường thẳng
1
d

2
d
lần lượt có vtcp
1
u

2
u
khơng cùng phương. Nếu d vng góc với cả hai đường thẳng
1
d

2
d
thì d có vtcp
1 2
[ , ]
u u u
=

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×