1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Phương trình của đường thẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Tài liệu tham khảo - 56 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 12
: Cho A1;3;1, B2;1;2, C0;2; –6 và
: 2
2 1
P x
y z
− +
+ =
a Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A b Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng
P
d Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài giải
Câu a: Gọi
1
S
là mặt cầu tâm B2;1;2 và đi qua điểm A. Khi đó
1
S
có bán kính
1
R AB
=
Ta có
2 2
2
1; 2;1 1
2 1
6 AB
AB =
− ⇒
= + −
+ =
1
S
có phương trình
2 2
2
2 1
2 6
x y
z −
+ −
+ − =
Câu b: Gọi
2
S
là mặt cầu đường kính BC thì
2
S
có tâm 1 2
3 2
; ; I
− là trung điểm của đoạn thẳng BC và bán kính
2 BC
R =

2 2
2
2;1; 8 2
1 8
69 BC
BC = −
− ⇒ =
− +
+ − =
nên
69 2
2 BC
R =
= Phương trình mặt cầu
2
S

2 2
2 3
69 2
4
1 2
x y
z −
+ −
+ +
=
Câu c: Gọi
3
S
là mặt cầu tâm C0;2;–6, tiếp xúc với
P
. Khi đó
3
S
có bán kính
3
, R
d C P =
2 2
2
0 2.2 2 6 1 15
3 1
2 2
5
− + − +
+ − +
= =
=
3
S
có phương trình:
2 2
2
2 6
25 x
y z
+ −
+ +
=
Câu d: Giả sử
2 2
2 4
: 2
2 2
S x
y z
ax by
cx d
+ +
− −
− + =
là mặt cầu đi qua O0;0;0,A1;3;1,B2;1;2,C0;2; –6 thì d = 0 và
9 2
13 10
29 10
11 2
6 2
2 6
2 11
9 4
2 4
4 2
4 9
40 4
12 4
12 40
a a
b c
a b
c a
b c
a b
c b
b c
b c
c 
 
 
 =
− −
− =
+ +
= 
 
 
 
 
− −
− =
⇔ +
+ =
⇔ =
 
 
 
 
 −
+ =
− =
= − 
 
 
 
 

2 2
2 2
2 2
9 13
29 2
10 10
a b
c d
+ +
− = +
+ −
nên phương trình của mặt cầu
4
S
cần tìm là
2 2
2
9 x
y z
x +
+ −

13 29
5 5
y x
+ =
Dương Phước Sang - 57 -
THPT Chu Văn An
Bài 13 : Viết phương trình mặt phẳng
α
trong các trường hợp sau đây:
a
α
đi qua
1; 2;2 A

và vng góc với OM biết
3; 1;2 M

b
α
đi qua ba điểm
0;1;2, 3;1; 4, 1; 2; 1 A
K D
− − −
.
c
α
đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD biết
1;1;1, 2;1;2, 1;2;2, 2;1; 1 A
B C
D −

d
α
là mặt trung trực của đoạn MN với
2; 3;1, 4;1; 5 M
N −
Bài giải
Câu a: Do
α
đi qua
1; 2;2 A

và vng góc với OM nên có véctơ pháp tuyến
3; 1;2 n
OM =
= −
Phương trình của mặt phẳng
α

3 1 1.
2 2
2 x
y z
− − +
+ −
=
3 2
9 x
y z
⇔ − +
− =
Câu b: Do
α
đi qua 3 điểm
0;1;2, 3;1; 4, 1; 2; 1 A
K D
− − −
nên chứa giá của hai véctơ:
3; 0;2 AK
= −

4; 3; 5 KD
= − −
nên có véctơ pháp tuyến
2 3
2 3
[ ,
] ;
; 6; 7; 9
3 5
4 5
4 3
n AK KD
 
− −
 
 
= =
− =
− 
 
 − −
− − 
 
Phương trình của mặt phẳng α là:
6 7
1 9
2 6
7 9
11 x
y z
x y
z −
− + −
= ⇔ −
+ −
=
Câu c: Do
α
đi qua A, B và song song với CD nên lần lượt chứa song song song với giá của hai véctơ
1; 0;1 AB
= 3; 1; 3
CD =
− −
nên có véctơ pháp tuyến
1 1
1 1 [
, ]
; ;
1; 6; 1 1
3 3
3 3 1
n AB CD
 
 
 =
= −
= −
 
  −
− −
−  

Phương trình của mặt phẳng
α

1 1
6 1 1
1 6
6 x
y z
x y
z − +
− − − = ⇔ +
− − =
Câu d: Do
α
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN nên
α
đi qua trung điểm
1;2; 3 I

của đoạn MN và có vtpt
6; 2; 4 n
MN =
= − −
Đáp số: 3 2
7 x
y z
+ − + =
Tài liệu tham khảo - 58 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn
α I
M
Bài 14 : Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm
0; 3;2, 1; 1; 1 A
B − −
và mặt cầu
2 2
2
: 2
6 8
1 S
x y
z x
y z
+ +
− +
− + =
. Viết phương trình mặt phẳng
α
biết
a
α
đi chứa đường thẳng AB và tâm I của mặt cầu
S
.
b
α
tiếp xúc với mặt cầu
S
tại điểm
1;1;1 M
Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: Mặt cầu
S
có tâm
1; 3; 4 I

và bán kính
2 2
2 2
2 2
1 3
4 1
5 R
a b
c d
= +
+ − =
+ − +
− =
α
là mặt phẳng qua ba điểm
0; 3;2, 1; 1; 1 A
B − −

1; 3; 4 I

nên có vtpt
[ ,
] 26; 5; 2
n AB BI
= =
= − − −

như câu 11b Đáp số: 26
5 2
19 x
y z
+ +
− =
Câu b: Mặt phẳng
α
tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại M nên
α
đi qua điểm M và có vtpt
n IM
=
Đáp số: 4 3
1 y
z −
− =
Bài 15 : Cho tam giác ABC có
0;1;2, 3;1; 4, 1; 2; 1 A
B C
− − −
. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:
a d là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC. b d là đường thẳng vng góc với mặt phẳng
ABC
tại C. Bài giải
Câu a: Trung tuyến ứng với cạnh BC đi qua điểm
0;1;2 A
và trung điểm
1 3 2 2
1; ;
I − −
của cạnh BC nên có véctơ chỉ phương
3 1
2 2
1; ;
u AI
= = − − − hay
2; 3;1 u ′
= Phương trình chính tắc của đường thẳng d là
1 2
2 3
1 y
x z
− −
= =
Câu b: Ta có
3; 0;2, 4; 3; 5
AB BC
= − =
− −
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
ABC

[ ,
] 6; 7; 9
n AB BC
= =
= −

Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
ABC
tại C nên d đi qua điểm
1; 2; 1 C
− −
và có véctơ chỉ phương
6; 7; 9
d
u n
= = −
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là
2 1
1 6
7 9
y z
x +
+ −

= =
Dương Phước Sang - 59 -
THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài 16
: Viết phương trình mặt cầu
S
trong các trường hợp sau đây:
a
S
có tâm
1; 0; 1 I

và đường kính bằng 8.
b
S
có tâm
2;1; 2 I

và đi qua điểm
3;2; 1 A

.
c
S
có đường kính AB với A6;2;–5 và B–4;0;7.
d
S
có tâm
2;1; 5 T

và tiếp xúc với mp
: 3 3
x y
α − − =
e
S
có tâm
2; 3; 1 K

và đi qua tâm I của mặt cầu sau đây
2 2
2
2 6
6 x
y z
y z
+ +
− +
− =
f
S
có đường kính ON với
1; 4;2 N

g
S
có tâm I6;3;–4 và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy. h
S
có tâm I6;3;–4 và tiếp xúc với trục tung Oy. Bài 17
: Viết phương trình mặt cầu
S
trong các trường hợp sau đây:
a
S
ngoại tiếp tứ diện OABC với A2;2;3,B1;2;–4,C1;–3;–1 b
S
đi qua gốc toạ độ và các hình chiếu của điểm M2;–1;3 lần
lượt lên các trục toạ độ.
c
S
đi qua các điểm A3;0;1,B2;1;–1,C0;–7;0 và D2;–1;3 d
S
đi qua ba điểm A1;2;–4,B1;–3;1,C2;2;3 và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Bài 18 :Cho
35; 3;14, 4;2; 6, 5; 3; 1, 6; 8;2, 5; 5; 4 S
A B
C D
− − −
.
a Chứng minh rằng, S.ABCD là hình chóp có đáy là một hình vng và cạnh bên SA vng góc với mặt đáy.
b Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 19 :Viết phương trình mặt phẳng
α
trong các trường hợp sau đây:
a
α
đi qua điểm
7;2; 1 A

, vng góc với đường thẳng BE với
2;2; 3 B


1; 0; 6 E

b
α
là mặt phẳng trung trực của đoạn AK với
, 1;1; 3 2; 5;1
A K
c
α
đi qua
2; 2; 6 C
− −
và song song với
: 2
1 x
y z
β −
+ − =
d
α
vng góc với đường thẳng
1 2
1 3
2
:
y x
z
d
+ −

= =
tại điểm M trên d có hồnh độ bằng 2.
e
α
tiếp xúc với mặt cầu
2 2
2
: 1
1 9
S x
y z
− +
+ +
=
tại
điểm
3;1; 1 H

thuộc mặt cầu
S
f
α
đi qua O và vng góc với đường thẳng
1 3
2 1
3
:
y x
z
d
− −
= =
Tài liệu tham khảo - 60 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Bài 20 :Viết phương trình mặt phẳng
P trong các trường hợp sau đây
a
P đi qua ba điểm
2;1; 0, 3; 3; 4 A
B −

1; 0; 1 C

b
P
đi qua điểm
0;2;1 I
và đường thẳng
1 2
3
:
y x
z
+ −
∆ =
=
c
P
chứa trục hoành và đi qua điểm
2;1;1 G

d
P
đi qua hai điểm
1;2;1, 0; 3; 0 A
B −
đồng thời song song
với đường thẳng CD với
1;1;1, 0; 5; 2 C
D −
e
P
chứa đường thẳng
1
d
đồng thời song song với đường thẳng
2
d
, biết
1
1 :
2 3
2 x
t d
y t
z t
 = − + 
 = − 
 = + 

2
3 :
1 x
t d
y z
t  = −
  =
  = −

f
P
đi qua hai điểm O và 1;2; 3 A
− đồng thời vuông góc với
mặt phẳng :
Q x
y z
− − =
g
P
đi qua hình chiếu vng góc của 1;2; 1 I
− lên Ox,Oy và Oz
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 21
:Viết phương trình tham số của các đường thẳng d sau đây: a d đi qua hai điểm A2;–3;5 và B1;–2;3
b d đi qua điểm A1;–1;3 đồng thời song song với đường thẳng
BC biết B1;2;0, C–1;1;2.
c d đi qua A–1;0;2 và vuông với mặt phẳng
7 x
y z
− + − =
d d đi qua 2; 2;1
N − −
và song song với
1 2
2 1
:
x z
y
+ −

∆ = =
e d đi qua điểm 1;1; 0
I −
và vng góc với cả hai đường thẳng
1
: ∆
2 1
3 1
2 2
y x
z −
− −
= =
;
2
: ∆
3 1
1 1
3 y
x z
+ −

= =
f d đi qua điểm
2;1; 3
K

, song song với
: 2
2
x z
α −
+ =
đồng thời vng góc với đường thẳng
1 3
2 2
1 5
:
y x
z −
+ −
∆ =
=
g d là giao tuyến của
: 3
2 x
y z
α − + − =

: 3
2 x
y β
− + =
h d là đường thẳng đi qua tâm I của mặt cầu
S và song song với
trục tung biết
2 2
2
: 1
2 3
S x
y z
+ +
− +
=
i d là đường trung trực của đoạn thẳng MN trong mặt phẳng
OMN biết
2;1; 4, 0; 5;2
M N

Bài 22 : Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau đây
a
1
:
d
1 3
5 2
1 2
y x
z −
+ +

= =
b
2
:
d
4 1
2 3
2 y
x z
+ −

= =
Dương Phước Sang - 61 -
THPT Chu Văn An Tính
[ ]
1 2
, n
u u =
Xét
1
M

2
d
1
d
chéo
2
d
1
d
cắt
2
d
1 2
€ d
d
1 2
d d

Tính
1 2
. T
n M M =
n =
n ≠
1 2
M d

1 2
M d

T ≠
T =
1
u
,
2
u
cùng phương
1
u
,
2
u
khơng cùng phương

9. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng


Cho mặt phẳng
: P
Ax By
Cz D
+ +
+ =
có vtpt
; ; n
A B C =
và mặt phẳng : Q
A x B y
C z D
′ ′
′ ′
+ +
+ = có vtpt
; ;
n A B C
′ ′ ′ ′
= a
Hai mặt phẳng song song với nhau
. €
. n
k n P
Q D
k D 
′  =
 ⇔ 
′  ≠

Nếu , , , A B C D
′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì

A B
C D
A B
C D
P Q
′ ′
′ ′
⇔ =
= ≠
b Hai mặt phẳng trùng nhau
. .
n k n
P Q
D k D
 ′
 = 
≡ ⇔ 
′  =

Nếu , , , A B C D
′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì
A B
C D
A B
C D
P Q
′ ′
′ ′
≡ ⇔
= =
=
c
Hai mặt phẳng cắt nhau
cắt P
Q n

và n′ khơng cùng phương với nhau. Hai mặt phẳng vng góc nhau
. P
Q n
n n n
′ ′
⊥ ⇔
⊥ ⇔
=

10. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng


Cho đường thẳng
1
d
đi qua điểm
1 1
1 1
; ; M x y z
, có vtcp
1 1
1 1
; ; u
a b c =
và đường thẳng
2
d
đi qua điểm
2 2
2 2
; ; M x y z
và có vtcp
2 2
2 2
; ; u
a b c =
Khi biết
1
d
cắt
2
d
, ta viết phương trình tham số của
1 2
, d d
theo 2 tham số khác nhau
1 2
, t t
. Giải hệ phương trình tạo nên bởi chúng để tìm giá trị của
1
t

2
t
. Từ đó ta có thể tìm được giao điểm của
1
d

2
d
Tài liệu tham khảo - 62 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn

11. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng


Cho :
x x
at d y
y bt
z z
ct  =
+ 
 = + ∗
  = +
 và mặt phẳng
:
1
P Ax By
Cz D
+ +
+ =
Thay

vào 1 ta được phương trình 2 theo biến t. Nếu phương trình 2 vơ nghiệm t thì kết luận
€ d
P
Nếu phương trình 2 có vơ số nghiệm t thì kết luận
d P

Nếu phương trình 2 có duy nhất nghiệm
t t
=
thì thay
t t
=
trở lại vào phương trình

ta tìm được
; ; x y z
. Kết luận d và P cắt nhau tại điểm
; ; M x y z
VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 23
: Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
α
biết
1 4
1 1
3
:
y x
z
d
+ −

= =

: 3
2 2
x y
z α
− −
− =
Bài giải Phương trình tham số của đường thẳng d là:
1 4
3 x
t y
t z
t  = − +
  = −
∗ 
 = + 
Thay x,y,z từ

vào phương trình của mặt phẳng
α
ta được
1 3
24 3
2 11
2 t
t t
t − + − − −
+ − = ⇔ − −
= ⇔
11 2
t = −
Thay
11 2
t = −
trở lại vào

ta được
13 11
25 2
2 2
; ;
x y
z = −
= = −
Vậy, giao điểm của d và
α

13 11 25
2 2
2
; ;
H −

Bài 24 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng
3 1
1 1
3
:
y x
z
d
− +

= = với
a
:
1
1 2
2 3
6 x
t y
t z
t  = +
 
∆ = −
  = +

b
: 8
2
2 2
1 4
x t
y t
z t
 = + 
 ∆
= − 
 = + 
c
: 4
3
1 2
1 3
x t
y t
z t
 = − − 
 ∆
= +
  = − +

Tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau?

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×