1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


Dương Phước Sang - 63 -
THPT Chu Văn An Bài giải
Câu a: Đường thẳng d đi qua điểm
1; 3; 0 M

có vtcp
1; 1; 3 u
= −
1

đi qua điểm
1
1; 0; 3 M
có vtcp
1
2; 2; 6 u
= −
Ta có,
1
2 u
u =
hay
1
[ , ]
n u u
= =
nên
1
u
cùng phương với u . Hơn nữa, toạ độ điểm
1
M
khơng thoả mãn phương trình của d Vậy,
1
M d

và do đó
1
€ d

Câu b: d đi qua điểm
1; 3; 0 M

có vtcp
1; 1; 3 u
= −
2

đi qua điểm
2
2; 8;1 M
có vtcp
2
1; 2; 4 u
= −
Ta có,
2
1 3 1 3 1
1 [ ,
] ;
; 2; 1; 1
2 4 1 4 1
2 n
u u 
 −
−  
 
= =
− =
− − ≠ 
 
 − − 
 
nên u và
2
u
khơng cùng phương với nhau. Ngồi ra,
2
3; 5;1 MM
= và
cắt nhau
2 2
. n MM
d ⇒
= ⇒ ∆
. Phương trình tham số của
1 :
3 3
x t
d y
t z
t  = − +
  = −
  =
 và
2 2
2 2
2 :
8 2
1 4
x t
y t
z t
 = + 
 ∆
= − 
 = + 
Xét
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
3 11
11 3
8 2
2 5
8 8
3 1
4 3
4 1
3 4
1 t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t 
 
 
 − + = +
− = =
 
  =
 
 
 
 −
= − ⇔
− = − ⇔
= ⇔ 
 
  =
 
 
 
 
= + −
= −
= 
 
 
 
 
Giao điểm của d và
2


10; 8; 33 H

Câu c: d đi qua điểm 1; 3; 0
M −
có vtcp 1; 1; 3
u =

3

đi qua điểm
3
1; 4; 1 M
− −
có vtcp
3
2;1; 3 u
= −
Ta có
3
1 3 1 3
1 1
[ , ]
; ;
6; 9; 1 1 3
2 3 2
1 n
u u 
 −
−  
 
= =
− = − − − ≠
 
 
− −
 
 nên u và
3
u
không cùng phương với nhau. Ngồi ra,
3
0;1; 1 MM
= −
chéo
3 3
. 8
n MM d
⇒ = − ≠ ⇒

Bài 25 : Xác định toạ độ hình chiếu vng góc của điểm 2;1; 5
M lên
a : 3
1 x
y z
α
− + + =
b
6 2
9 1
3 5
:
y x
z
d
− −

= =
Tài liệu tham khảo - 64 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn Bài giải
Câu a: Gọi d là đường thẳng đi qua
2;1; 5 M
và vng góc với mặt phẳng
: 3 1
x y
z α
− + + =
1 thì 2
3 :
1 5
x t
d y
t z
t  = +
  = −
  = +
 Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên
α
thì H
d
α
= ∩ Thay vào 1 ta được:
32 3 1
5 1
11 11
1 t
t t
t t
+ − − +
+ + = ⇔ +
= ⇔ = −
Vậy, hình chiếu của điểm M lên
α
là 1;2; 4 H

Câu b: Gọi
α
là mặt phẳng đi qua điểm 2;1; 5 M
và vng góc với d Hướng dẫn: viết phương trình của
α
và phương trình tham số của d rồi dùng phương pháp thế tìm toạ độ giao điểm của chúng
Đáp số: : 3
5 30
x y
z
α
+ +
− = và 1; 3; 4
H BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG, MẶT
Bài 26 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau đây:
a : 2
3 1
P x
y z
− + − = và : 4
6 2
3 Q
x y
z −
+ − =
b : 3
2 x
y
α
− + =
và : 9 3
6 x
y
β
− + =
c
1
: 2
1 x
y α
− + =

2
: 2
1 x
z α
− + =
Bài 27 : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a
1
: d
2 1
3 1
1 1
y x
z −
− −

= =

2
: d
1 1
2 2
2 2
y x
z +
− −

= =
b
1
: d
7 1
3 2
1 4
y x
z −
− −
= =

2
: d
1 2
6 3
2 1
y z
x +
+ −

= =
c
1
: d
2 1
2 2
1 y
x z
− −

= =

2
: d
8 4
2 3
1 y
x z
+ −

= =
d
1 1
1 1
2 4
: 6
1 8
x t
d y
t z
t  = +
  = −
  = − −


2 2
2 2
7 6
: 2
9 12
x t
d y
t z
t  = −
  = +
  =

Bài 28 : Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a
9 12
1 4
3 1
:
y x
z
d
− −

= =

: 3 5
2 x
y z
α +
− − =
b
3 1
2 4
3
:
y x
z
d
− +
= =

: 3 3
2 5
x y
z α
− +
− =
Dương Phước Sang - 65 -
THPT Chu Văn An
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 29
: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A1;–1; 3, B3;0;1, C0;4;5 a Viết phương trình mặt phẳng α đi qua C và vng góc với AB.
b Viết phương trình đường thẳng d vng góc với
ABC
tại B.
Bài 30 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho A5;1;3, B1;6;2, C5;0;4 và D4;0;6
a Viết phương trình mặt phẳng
ABC
.
b Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp
ABC
.
c Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của D lên
ABC
.
Bài 31 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A5;1;3, B1;6;2 và C5;0;4
a Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. b Xác định toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c Viết phương trình mặt phẳng
α
chứa hình bình hành ABCD.
d Viết phương trình đường thẳng d vng góc với
α
tại A.
Bài 32 : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
: 2 2
6 0,
P x
y z
− + + =
mặt cầu
2 2
2
: 1
3 4
6 S
x y
z −
+ +
+ − =
và điểm
2; 1; 3 A

a Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng
P
b Viết phương trình mặt phẳng
α
song song với mặt phẳng
P
đồng thời đi qua tâm I của mặt cầu
S
c Viết phương trình mặt phẳng
β
song song với mặt phẳng
P
đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
S
Bài 33 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho
, ,
, 5; 3; 1 2; 3; 4 1;2; 0 3;1; 2
A B
C D
− −

a Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện có các cặp cạnh đối diện
vng góc với nhau. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b Viết phương trình mặt cầu
S
ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu
S
tại A.
Bài 34 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho A5;1;3, B1;6;2, C5;0;4, D4;0;6
a Viết phương trình mặt phẳng
ACD
và chứng minh điểm B khơng thuộc mặt phẳng
ACD
.
b Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD. c Viết phương trình mặt cầu đường kính BD.
Bài 35 : Cho
S
là mặt cầu có tâm I5;–3;7 và đi qua điểm M1;0;7.
a Chứng minh rằng điểm
5;1; 4 N
thuộc mặt cầu
S
.
b Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
S
tại N.
c Chứng minh rằng mặt cầu
S
không cắt các trục toạ độ.
Tài liệu tham khảo - 66 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Bài 36 : Cho điểm I–2;1;1 và mặt phẳng α: x + 2y – 2z + 5 = 0
a Viết phương trình mặt cầu
S
tâm I tiếp xúc với mặt phẳng
α
b Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm I và song song với
α
Bài 37 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm
3; 1;2, 2;1; 0, 1; 3;1 A
B C
− −
a Chứng minh rằng ABC là tam giác vng cân. Viết phương
trình mặt phẳng
ABC
b Chứng minh rằng OABC là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện
OABC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 38 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt là hình chiếu vng góc
của điểm
4; 6;12 M

lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.
a Xác định hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng
ABC
b Với điểm
1; 3; 4 D

, chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD đi qua gốc toạ độ O.
Bài 39 : Cho A1;2;3, B1;6;2 và mặt phẳng β: 2x + y – 2z – 1 = 0.
a Viết phương trình mặt cầu
1
S
có tâm A và tiếp xúc với mpβ.
b Viết phương trình mặt cầu
2
S
có tâm B và đi qua điểm A.
c Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt
phẳng β. Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và β.
Bài 40 : Cho mặt cầu
:
2 2
2
9 S x
y z
+ +
=
và mpα: x + 2y – 2z + 9 = 0
a Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng α.
b Viết phương trình mặt phẳng β song song với mặt phẳng α
và tiếp xúc với mặt cầu
S
. Tìm toạ độ tiếp điểm của
S
và β
Bài 41 : Cho điểm M1;4;2 và mặt phẳng α: x + y + z – 1 = 0.
a Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng α. b Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với α
Bài 42 : Cho A1; –1; 3, B3; 0; 1, C0; 4; 0
a Chứng minh rằng tam giác ABC vng và tính diện tích của nó. b Viết phương trình mặt phẳng
ABC
.
c Tính khoảng cách từ điểm D1;1;1 đến mặt phẳng
ABC
, từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 43 : Cho A–2;6;3, B1;0;2, C0;2;–1, D1;4;0
a Viết phương trình mặt phẳng BCD. b Chứng minh rằng BCD là một tam giác vuông, từ đó tính diện
tích tam giác BCD.
c Tính thể tích khối chóp ABCD.
Dương Phước Sang - 67 -
THPT Chu Văn An
Bài 44 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A6;2;–5, B–4;0;7.
a Viết phương trình mặt cầu
S
có đường kính AB
b Viết phương trình mặt phẳng α tiếp xúc với mặt cầu
S
tại A
Bài 45 : Viết phương trình mặt phẳng α trong các trường hợp sau:
a α đi qua A1;2;3 và song song với mpOxy. b α đi qua A1;2;3 và song song với mặt phẳng x + y + z = 0.
Bài 46 : Cho điểm A1;0;0 và đường thẳng
∆ :
2 1
2 x
t y
t z
t  = +
  = +
  =

a Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng
∆ .
b Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng

c Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆ Bài 47
: Cho điểm M1;4;2 và mặt phẳng α: x + y + z – 1 = 0. a Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M trên α.
b Tìm tọa độ M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng α. c Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với α.
Bài 48 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A1;–1;3, B3;0;1, C0;4;5
a Viết phương trình mặt phẳng α đi qua A và vng góc với BC. b Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A lên
đường thẳng BC.
c Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC. Bài 49
: Cho A1;0;0 và H là hình chiếu của A lên
1 2
1 2
:
y x
z
− −
∆ =
=
a Tìm tọa độ điểm H. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến ∆. b Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Bài 50 :
Cho
: 11
2 16
x t
d y
t z
t  =
  = − +
  = −

và :
5 2
3 2
1 6
x y
z d
− −
− ′
= =
. Chứng minh rằng d và d ′ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d ′
Bài 51 : Cho α: 3x – 2y – z + 5 = 0 và
∆ :
7 1
3 2
1 4
y x
z −
− −
= =
a Chứng tỏ rằng
∆ và α song song với nhau.
b Tính khoảng cách giữa đường thẳng
∆ và mặt phẳng α.
c Viết phương trình hình chiếu vng góc của
∆ lên α.
Tài liệu tham khảo - 68 -
Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
Bài 52 :
Cho điểm A3;2;1 và đường thẳng d:
3 2
4 1
y z
x +
= =
a Chứng minh rằng điểm A không thuộc đường thẳng d. b Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua A và chứa d.
c Viết phương trình đường thẳng d ′ qua A, vng góc d và cắt d. Bài 53
: Cho
: 3 2
5 x
y z
α −
− + =

7 1
3 2
1 4
:
y x
z
d
− −

= =
a Chứng minh rằng
€ d
α
b Tính khoảng cách giữa d và α Bài 54
:
Cho hai đường thẳng
: 1
2 6
3 x
t d
y t
z t
 = 
 = + 
 = + 

1 :
2 3
x t
d y
t z
t 
′ = +
 
′ ′
= − + 
 ′
= − 
a Chứng minh rằng d và d ′ chéo nhau. b Lập phương trình mặt phẳng đi qua O song song với cả d và d ′
c Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với d ′
Bài 55 : Cho hai đường thẳng
1
: d
2 1
5 2
3 4
y x
z +
− −

= =

2
7 3
: 2
2 1
2 x
t d
y t
z t
 = + 
 = + 
 = − 
a Chứng minh rằng
1
d và
2
d cắt nhau.
b Viết phương trình của mặt phẳng chứa
1
d và
2
d .
c Viết phương trình đường thẳng d vng góc với cả hai đường thẳng
1
d và
2
d đồng thời cắt cả hai đường thẳng đó.
Bài 56 : Cho hai đường thẳng
1
: d
1 1
1
4 1
6 2
2 x
t y
t z
t  =
  = −
  = − +
 và
2 2
2 2
: 2
2 1
4 x
t d
y t
z t
 = 
 = + 
 = + 
a Chứng minh rằng
1
d
vng góc với
2
d
nhưng khơng cắt
2
d
b Viết phương trình mặt phẳng chứa
1
d
và vng góc với
2
d
.
c Viết phương trình đường vng góc chung của
1
d

2
d
.
Bài 57 : Cho : 4
6 2
1 x
y z
α
− +
+ = và : 2
4 2
x y
z
β
+ +
− =
a Chứng minh rằng
α β
⊥ .
b Viết phương trình mặt phẳng
γ
vng góc với
α
lẫn
β
c Chứng minh rằng
α
,
β

γ
chỉ có 1 điểm chung duy nhất
Dương Phước Sang - 69 -
THPT Chu Văn An Ph n VI.
Ph n VI. Ph n VI.
Ph n VI. TH. TÍCH TH. TÍCH
TH. TÍCH TH. TÍCH KH I ĐA DIN
KH I ĐA DIN KH I ĐA DIN
KH I ĐA DIN ---- KH I TRÒN XOAY KH I TRÒN XOAY
KH I TRÒN XOAY KH I TRỊN XOAY

1. Một số hình khơng gian thường gặp


a
Hình chóp tam giác tứ diện:
Hình 1: dùng cho các loại hình chóp tam giác tứ diện: Có 1 cạnh bên vng góc với mặt đáy.
Có 3 cạnh đơi một vng góc với nhau cùng đi qua 1 đỉnh. Hình 2: dùng cho các loại hình chóp tam giác tứ diện:
Hình chóp tam giác đều. Tứ diện đều tất cả các cạnh đều bằng nhau.
b Hình chóp tứ giác:
Hình 3: Hình chóp S.ABCD có SA⊥ABCD và đáy ABCD là: Hình bình hành.
Hình chữ nhật. Hình thoi.
Hình vng. Hình 3 có thêm các tính chất sau:
BC SAB


CD SAD

4 mặt bên đều là các tam giác vuông. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm I của cạnh SC
Hình 4: Hình chóp S.ABCD có SO⊥ABCD và đáy ABCD là: Hình bình hành.
Hình chữ nhật. Hình thoi.
Hình vng.
Nếu S.ABCD là hình chóp đều thì:
4 cạnh bên bằng nhau.
2 mặt chéo vng góc nhau.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường thẳng SO.
Tài liệu tham khảo - 70 -
Ôn tập tốt nghiệp mơn Tốn c
Hình lăng trụ - hình hộp:
Lăng trụ Lăng trụ đứng
Hình hộp tam giác
tam giác chữ nhật
d Hình cầu – hình trụ - hình nón

2. Các cơng thức tính diện tích – thể tích


a Thể tích diện tích khối chóp – khối nón
Cơng thức tính thể tích:
1 3
. V
B h =
Diện tích xung quanh mặt nón:
nón xq
S rl
π =
Lưu ý: diện tích hình tròn bán kính r là:
2
. S
r π
=
b Thể tích diện tích khối lăng trụ – khối trụ
Cơng thức tính thể tích:
. V
B h =
Diện tích xung quanh mặt trụ:
trụ
2
xq
S rl
π =
Diện tích tồn phần của hình trụ:
trụ đáy
2.
tp xq
S S
S =
+
c Thể tích diện tích khối cầu
Cơng thức tính thể tích:
3 4
3
V R
π =
Diện tích mặt cầu:
m.caàu 2
4 S
R π
=

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

×