1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

Phương pháp ñổi biến số loại 2: Dạng nghịch

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.3 KB, 40 trang )


Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 16
1
π π
∫ ∫
2 2
n n
sin xdx = cos xdx
HD: ðặt
π x =
- t 2
.
2 Cho

a -a
I = fxdx . CMR:
a
I

a
= 2 fxdx
nếu fx là hàm số chẵn. b I = 0 nếu fx là hàm số lẻ.
3 Chứng minh rằng: Nếu fx là hàm số chẵn thì
∫ ∫
b b
x -b
fx dx = fxdx
a + 1 .
Áp dụng: Tính

2 2
x -2
2x + 1 I =
dx 2 + 1
.
4 Chứng minh rằng:
π π
π
∫ ∫
xfsinxdx = fsinxdx
2
HD: ðặt π
x = - t
Áp dụng: Tính
π

2
xsinx I =
dx 4+ sin x
. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4:
Tính các tích phân sau: Các đề tuyển sinh ðại học
a I =

2 2
2 2
x dx
1- x
ðH TCKT 1997
b I =

1 3
2
1- x dx
ðH Y HP 2000
c I =

2 2
2
x 4 - x dx
ðH T.Lợi 1997
d I =

a 2
2 2
x a - x dx
ðH SPHN 2000
e I =

3 2
2 1
2
dx x 1 - x
ðH TCKT 2000
f I =

1 4
2
dx x + 4x +3
ðH T.Lợi 2000
g I =

1 2
2 -1
dx 1+ x
ðH N.Ngữ 2001
h I =

2 2
2 3
dx x x -1
ðH BKHN 1995

II.4.2. Phương pháp đổi biến số loại 2: Dạng nghịch


Nếu tích phân có dạng
 
 

b a
f ux uxdx ðặt:
⇒ u = ux
du = uxdx ðổi cận:

2
x = b u = ub
1
⇒ x = a
u = ua
I ⇒

2 1
u u
= f u du
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 17
a Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:Dạng nghịch Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân đổi biến số loại 1 khơng ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
1. Lũy thừa thì ta thử đặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa cao nhất.
2. Căn thức thì ta thử đặt u bằng căn thức. 3. Phân số thì ta thử đặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử đặt u = sinx. 5. sinx.dx thì ta thử đặt u = cosx.
6.
2
dx cos x
hay 1 + tg
2
xdx thì ta thử đặt u = tgx. 7.
2
dx sin x
hay 1 + cotg
2
xdx thì ta thử ñặt u = cotgx. 8.
dx x
và chứa lnx thì ta thử đặt u = lnx. VD 10:
Tính các tích phân sau: 1.
a I

1 3
5 2
= x +1 x dx
ðặt:


3 2
2
du u = x +1
du = 3x dx x dx =
3
ðổi cận: x
1 u
1 2
I ⇒
∫ ∫
2 2
2 6
6 6
5 5
1 1
1
= =
= -
=
du 1
u 2
1 7
= u u du
3 3
18 18 18
2
b I
π

2 3
= 1+sinx .cosx.dx Tương tự
2. a I

2 2
= 4+3x .12x.dx
ðặt:

2 2
2
u = 4+3x u = 4+3x
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 18

⇒ 2udu = 6xdx
12xdx = 4udu ðổi cận:
x 2
u 2
4 I

∫ ∫
4 4
4 3
3 3
2 2
2 2
= =
- =
4u 4.4
4.2 224
= u.4u.du = 4u .du 3
3 3
3 b I

2 2
3
= 1+2x .x .dx
HD: I

2 2
2
= x . 1+2x .xdx
ðặt
⇒ ⇒
2 2
2 2
2
- =
u 1 u = 1+2x
u = 1+2x x
2

⇒ udu
2udu = 4xdx xdx =
2 ...
c I

1 2
3 3
x =
dx 1+7x
ðặt

3 3
3 3
3
= =
u 1+7x
u 1+7x
⇒ ⇒
2 2
2 2
u du 3u du = 21x dx
x dx = 7
ðổi cận: x
1 u
1 2

∫ ∫
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
= =
= -
=
u 1
1u 2
1 3
I = du
udu 7u
7 14
14 14 14
3. a I

1 3
2
+
x =
dx x
1 Ta có: I

1 2
2
. +
x x =
dx x
1 ðặt

2 2
= +
= -
u x
1 x
u 1 ⇒

= =
du du
2xdx xdx
2 ðổi cận:
x 1
u 1
2 I
 
 
 

∫ ∫
2 2
2 1
1 1
= =
= =
u -1 1
1 1
1 =
du 1-
du u -ln |u |
2 -ln2 -1 1-ln2
2u 2
u 2
2 b
I

2 2
3 1
=
x dx
x +2 HD: ðặt
3
u = x +2
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 19
4. a
I
π

6 4
= sin x.cosx.dx
ðặt:
⇒ u = sinx
du = cosx.dx
ðổi cận: x
6 π
u
1 2
I
 
 
 


1 1
5 2
2 4
= =
u 1
= u du 5
160
b I
π

2
sinx =
dx 1+3cosx
HD: ðặt u = 1+3cosx
c I
π

2
= 1+3sinx.cosxdx
HD: ðặt u = 1+3sinx
5. a I
π

2
sin2x +sinx =
dx 1+3cosx
ðề ðH khối A – 2005
Ta có I
π π
∫ ∫
2 2
sinx 2cosx +1 2sinxcosx +sinx
= dx =
dx 1+3cosx
1+3cosx ðặt


2 2
-
u 1 u = 1+3cosx
u = 1+3cosx cosx =
3
⇒ ⇒
-2udu 2udu = -3sinxdx
sinxdx = 3
ðổi cận: x
2 π
u 2
1
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 

∫ ∫
2 1
2 2
2 1
2 3
3 3
1
- +
= +
= +
- =
u 1 -2udu
2 +1
3 3
2 I =
dx = 2u
1 du u
9 2 2u
2 2.2 2.1
34 u
2 - 1
9 3
9 3
3 27
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 20
Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể đặt u bằng biểu thức trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc
tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn tức là học sinh phải đưa về x
α
. Ví dụ: Cách 2 của câu 5 5.
a I
π

2
sin2x +sinx =
dx 1+3cosx
ðề ðH khối A – 2005
Ta có I
π π
∫ ∫
2 2
sinx 2cosx +1 2sinxcosx +sinx
= dx =
dx 1+3cosx
1+3cosx ðặt

-
u 1 u = 1+3cosx
cosx = 3
⇒ ⇒
-du du = -3sinxdx
sinxdx = 3
ðổi cận: x
2 π
u 4
1
4 4
1 1
2 2
1 1
u u

 
 
 
 
 
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
 
 
= 
 


∫ ∫
∫ ∫
4 1
4 1
4 1
-
1 =
2 +
= 2
u u + 2 u =
+ 4 - - 2
u 1 -du
2 +1
2u+1 1
3 3
I = du =
du 9
u u
1 1
1 4 u
9 9
9 3 u
1 32 4
34 9 3
3 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so với cách 1.
b
I
π

2
sin2x.cosx =
dx 1+cosx
ðH khối B – 2005
6. a
I
π
=

2 4
2
tgx +1 dx
cos x
ðặt:

2
dx u = tgx +1
du = cos x
ðổi cận: x
4 π
u 1
2 I
 
 
 


2 2
3 2
1 1
= =
- =
u 8 1
7 = u du
3 3 3
3
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 21
b
I
π

4 2
2
tg x - 3tgx +1 =
dx cos x
HD: ðặt
u = tgx
7. a
I
π π

cotgx 2
2 4
e dx
sin x
=
ðặt:

2
-dx u = cotgx
du = sin x
ðổi cận: x
4 π
2 π
u 1
I ⇒
∫ ∫
1 1
u u
u 1
= =
= -
= - e du e du e
e 1
b
I
π

2 2
p 4
3cotgx +1 =
dx sin x
HD: ðặt
u = 3cotgx +1
8. a I

3
e 1
1+lnx.dx =
x ðặt

2
u = 1+lnx u = 1+lnx ⇒
dx 2udu =
x ðổi cận:
x 1
3
e u
1 2
I ⇒
∫ ∫
2 2
2 3
3 3
2 1
1 1
2 2
= =
3
u 2.2
2.1 14
= u.2udu = u du
- =
3 3
3 b I

7
e 3
1
lnx. 1+lnx =
dx x
ðặt ⇒

3 3
3
-
u = 1+lnx u = 1+lnx
u 1= lnx ⇒
2
dx 3u du =
x ðổi cận:
x 1
7
e u
1 2
I
 
 
 
 
 
 

∫ ∫
2 2
2 7
4 7
4 3
2 6
3 1
1 1
300 .
= 3 -
= 3 -
7 4
7 4
7
u u
2 2
= u -1 u.3u du = 3 u -u du =
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5:
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 22
1. Tính các tích phân sau:
a I
π

2 3
3
= 5sinx -1 cos x.dx
b I

2 2
3
= 1+ 2x .x .dx
c I

1 2
3 3
x =
dx 1+ 26x
d I

p 2
sinx =
dx 1+3cosx
e I
π

6 4
= sin x.cosx.dx
f I

p 4
5
= cos x.dx
g I
π

6 2
3
= sin x.cos x.dx
h I
π

2
= 1+3sinx .cosxdx
i I
π

4 3
= 1+sin2x .cos2x.dx
j I

p 2
3
= sinx - sin x .dx
k I
π

2 2
sin2x =
dx 1+cos x
1 l I
π
+

4 tgx
2
e =
dx cos x
2. Tính các tích phân sau: Các đề thi tốt nghiệp
a I
π

2 5
= sin x.dx
TNTHPT Năm 93-94
b I

2 2
3 1
x =
dx x + 2
TNTHPT Năm 95-96
c I

2 2
3 1
= x + 2.x .dx
TNTHPT Năm 96-97
d I
π

2 2
= cos 4x.dx
TNTHPT Năm 98-99
e I
π

6
= sin6xsin2x+6.dx
TNTHPT 00-01
f I
π

2 2
= x+sin xcosx.dx
TNTHPT 04-05 3.
Tính các tích phân sau: Các ñề thi tuyển sinh ðại học
a
I
π

2
sin2x +sinx =
dx 1+3cosx
ðH khối A – 2005
b
I
π

2
sin2x.cosx =
dx 1+cosx
ðH khối B – 2005
c
I
π

2 sinx
= e +sinx cosxdx ðH khối D – 2005
d
I
π

2 2
2
sin2x =
dx cos x + 4sin x
ðH khối A – 2006
e
I

ln5 x
-x ln3
dx =
e +2e -3 ðH khối B – 2006
f
I

1 2x
= x -2e dx ðH khối D – 2006
4. Tính các tích phân sau: Các dạng khác
a I

13 3
dx =
2x +1 b Ι
3
= x x +1.dx

c I

1 3
dx =
1+ x +1
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 23
d I

p 3
2sin2x +3sinx =
dx 6cosx - 2
e I

7
e 3
1
1 =
dx x 1+lnx
f I

3
e 1
1+lnx .dx =
x.lnx g I

7
e 3
1
lnx. 1+lnx =
dx x
h I

4 -1
e e
1 =
dx x.lnx.lnlnx
i I

5 4
5 3
x +1 =
.dx x -1
k I

1 x
dx =
1+e l I

ln5 x
= e -1 dx
m I

e x
x +1 =
dx x1+ xe
HD: t = xe
x
5. Tính các tích phân sau: Các đề thi tuyển sinh ðại học
1 I =

7 3
2
x dx 1+ x
ðH T.Mại 1997;
1
2 I =

6 5
3
x 1-x dx ðH KTQD 1997
3 I
π
=

3 2
2
sin x dx
1+cos x
ðH QGHN 1997;
4 I

1
xdx =
2x +1
ðHQGTPHCM 1998
5
π
Ι =

cosx sinxdx
ðHBKHN98;
6 I
π
=

2 4
4
cos2x sin x+cos x dx
ðHBKHN 98
7 I =

7 3
3
x +1 dx
3x +1
ðH GTVT 1998;
1
8 I =

x
dx e +1
ðH QGHN 1998
9 I
π
=

3
sin xcosxdx
ðH DLHV 1998;
10 I
π
=

2 4
sin2x dx
1+cos x
ðHQGTPHCM 1998
11 I
π
=

2 3
2
sin2x 1+ sin x dx
ðHNT 1999;
12 I
π
=

4 2
4 4
sin x dx
sin x +cos x
ðH GTVT 1999
13 I =

1 2x
dx e +3
ðH Cđồn 2000;
14 I =

ln2 2x
x
e dx e +1
ðH BKHN 2000
15 I
π
=

4 4
4
sin4x dx
sin x +cos x
ðH CThơ 2000;
2 1
16 I =

3
dx x x +1
ðH NNghiệp 2000
17 I
π
=

6 2
6 6
sin x dx
cos x + sin x
ðH Huế 2000;
18 I
π
=

2
cosx dx
sinx + cosx
ðHNN1-KB 01
19 I
=

2 4
1
dx x x +1
ðH Aninh 2001
20
π
Ι =

2 2
cos xsin2xdx
ðH NL HCM 2001
21 I =

1 5
3
x 1 - x dx
ðH Luật HCM 2001;
22 I

3 7
8 4
2
x =
dx 1+ x - 2x
CðSPNtrang 2002
23 I
π
=

2 3
3
cosx - sinx dx
CðSPQN 2002;
24 I =
π

4 2
1- 2sin x dx
1+ sin2x
ðHCð khối B 2003
25 I =

2 3 2
5
dx x x + 4
ðH-Cð khối A 2003;
1
26 I =

3 2
x 1- x dx
ðH-Cð khối D 2003
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 24

II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:


Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (40 trang)

×