Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Tải bản đầy đủ - 0trang

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

2. Các bài tập

Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành

nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.

2.1.1. Phương pháp:

- Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.

- Xác định biểu thức A, B

- Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định.

2.1.2. Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x 2 + 2 xy + y 2

b) x 2 − 2 x + 1

c) x 2 − 4

d) x3 + 3x 2 + 3 x + 1

e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8

g) x 3 + 27

h) x 3 − 1000

Giải:

Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng

được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong

từng câu rồi áp dụng công thức để phân tích:

a) x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y )



2



b) x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2.x.1 + 12 = ( x − 1)



2



2

2

2

c) x − 4 = x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 )



d) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 3x 2 .1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1)



3



e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = x 3 − 3 x 2 .2 + 3x.22 − 13 = ( x − 2 )



(



3

3

3

2

g) x + 27 = x + 3 = ( x + 3) x − 3x + 9



Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



5



3



)

Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



(



3

3

3

2

h) x − 1000 = x − 10 = ( x − 10 ) x + 10 x + 100



)



- Với những học sinh yếu kém, việc giải Toán dù là những bài đơn giản

cũng trở nên rất khó khăn. Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó là

dạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kết

quả. Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Toán cần yêu cầu học sinh xác định

hạng tử A, hạng tử B trước khi làm bài để tránh được sự nhầm lẫn từ ban đầu.

Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm xuất hiện

hằng đẳng thức.

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x 6 − y 6

b) 4 x 2 + 4 x + 1

c) 4 x 2 − 12 x + 9

d)



x2

+ 2 xy + 4 y 2

4



Giải:

a) Đối với bài tốn này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể đưa về dạng hằng

đẳng thức nào. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số 3. Để đưa về dạng

A2 - B2 = (A-B)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng cơng cụ gì? Học sinh tự phát hiện



( )



đưa về dạng lũy thừa a m



n



= a m.n . Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như



thế nào, học sinh đưa ra x 6 = (x3)2, y6 = (y3)2, đến đây học sinh tự giải quyết các

bài toán.

b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy,

học sinh khá giỏi sẽ giải bài này khơng khó khăn nhưng những học sinh yếu

kém sẽ thường nhầm lẫn như sau:

b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 4 x ) + 2. ( 4 x ) .1 + 12 = ( 4 x + 1)

2



2



c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 4 x ) − 2. ( 4 x ) .3 + 32 = ( 4 x − 3 )

2



2



(Cách làm sai của HS)



Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là

một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc

và lũy thừa của cả biểu thức đó.

Ví dụ:



9 x 2 + 36 xy + 36 y 2 = ( 3 x ) + 2.3 x.6 y + ( 6 y ) = ( 3 x + 6 y )

2



2



2



Trong đó A = 3x; B = 6 y



Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



6



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



Hoặc x 2 − 20 xy + 100 y 2 = x 2 − 2.x.10 y + ( 10 y ) = ( x − 10 y )

2



2



Trong đó A = x; B = 10 y

Vì vậy bài Tốn được giải đúng như sau:

b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x ) + 2.( 2 x ) .1 + 12 = ( 2 x + 1)

2



2



c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x ) − 2. ( 2 x ) .3 + 32 = ( 2 x − 3)

2



2



Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu

thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.

d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu

học sinh xác định đúng A =



1

x và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân

2



tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.

2



2



x2

2

1 

1 

1



+ 2 xy + 4 y 2 =  x ÷ + 2.  x ÷.2 y + ( 2 y ) =  x + 2 y ÷

4

2 

2 

2





2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm

xuất hiện hằng đẳng thức.

2.2.1. Phương pháp:

- Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng

thức.

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

2.2.2. Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2

b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3

Giải:

a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2

Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có 3

hạng tử là x 3 , 2x 2 y , xy 2 nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức hoặc

đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức ln có

được khơng, hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngồi thì ta nhận được biểu thức

nào, học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt x là nhân tử chung ra ngồi thì sẽ

xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau:

x 3 + 2 x 2 y + xy 2 = x ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = x ( x + y )



Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



7



2



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3

Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo

viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.

Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập

phương của một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ

rõ cách nhóm hạng tử để học sinh khơng bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị

nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là



x3 − 3x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − y 3 ) − 1 = ( x − y ) − 13 (Cách làm sai

3



của HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.

Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu

sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức.

Bài giải trên được giải đúng như sau:



x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − 1) − y 3

= ( x − 1) − y 3 = ( x − 1 − y ) ( x − 1) + y ( x − 1) + y 2 





3



2



= ( x − 1 − y ) ( x 2 + y 2 + xy − 2 x − y + 1)



Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Toán tương tự

với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x 2 − 2 x + 1 − y 2

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz

b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz

2



2



2



Giải:

a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz

Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại

nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz

thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz

= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)

= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)

= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]

= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



8



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



Tương tự câu b

b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz

2



2



2



Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ

2

2

thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x ( y + z ) + y ( x + z ) ta được

x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) , nhân đơn thức cho đơn thức ta được



xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + 4 xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức

thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.

Như vậy, bài giải được trình bày như sau:



x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz

2



2



2



= x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) + z ( x + y ) − 4 xyz

2



= xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + z ( x + y ) = xy ( x + y ) + z 2 ( x + y ) + z ( x + y )

2



2



= ( x + y ) . ( xy + z 2 + z ( x + y ) ) = ( x + y ) ( xy + z 2 + xz + yz )



= ( x + y ) ( xy + xz + yz + z 2 ) = ( x + y ) ( x ( y + z ) + z ( y + z ) )

= ( x + y) ( y + z) ( x + z)



Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán

được ngắn gọn hơn.

Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài Toán

mở rộng, Cho hai biểu thức

A = xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz

B = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz

2



2



2



Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để

được kết quả hoàn chỉnh.

2.3. Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa thức

thành nhân tử.

2.3.1. Phương pháp:

- Đặt nhân tử chung (nếu có).

- Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

2.3.2. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



9



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)

Giải:

a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng

đẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng

thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để.

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y)

= (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y - 1)

b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân

tử chung ra ngồi trước khi nhóm hạng tử thì bài Tốn sẽ dễ nhìn hơn.

5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)

= 5[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 5[(x – y)2 – (2z)2]

= 5(x – y + 2z)(x – y – 2z)

Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học cơng thức càng

trơi chảy lưu lốt bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi giải đề

càng nhanh nhẹn bấy nhiêu.

2.4. Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thức

thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0.

2.4.1. Phương pháp:

- Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất.

- Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn.

2.4.2. Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức:

a) x2 + xy + x tại x = 0 và y = 1234

b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0

Giải:

a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị

vào biểu thức:

x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ).

Thay x = 0 và y = 1234, ta được 0.1235 = 0

Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích

thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì khơng cần tính

giá trị của thừa số thứ hai nữa.

Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x).

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



10



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y) 2, thay giá

trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.

2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thơng qua phân tích đa thức thành nhân

tử.

2.5.1. Phương pháp:

- Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị

là 0

- Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải

phương trình tích.

2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) 5x(x – 1) = x – 1

b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0

Giải:

a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử.

5x(x – 1) = x – 1

⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0

⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0

⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

• x–1=0⇔x=1

• 5x – 1 = 0 ⇔ x =

Vậy x = 1 hoặc x =



1

5



1

.

5



b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành

nhân tử.

2(x + 5) – x2 – 5x = 0

⇔ 2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0

⇔ 2(x + 5) – (x + 5) = 0

⇔ (2 – x)(x + 5) = 0

⇔ 2 – x = 0 hoặc x + 5 = 0

• 2–x=0⇔x=2

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



11



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



• x + 5 = 0 ⇔ x = -5

Vậy x = 2 hoặc x = -5.

Với dạng Toán tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa

thức thành nhân tử vào thì việc giải Toán sẽ trở nên dễ dàng hơn.

2.6. Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên

quan đến các hằng đẳng thức.

2.6.1. Phương pháp:

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào.

- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.

2.6.2. Bài tập: Chứng minh:



a )29 − 1 chia hết cho 7

b)56 − 104 chia hết cho 9



c) ( n + 3) − ( n − 1) chia hết cho 8

2



2



d ) ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24

2



2



e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120

Phương pháp chung:

- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân

tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành

nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho

các số đó.

Giải:

- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 2 9 thành một số mũ 3 để biểu

thức cần chứng minh trở thành A 3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng

nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau



a )29 − 1 = ( 23 ) − 1 = 83 − 1 = 83 − 13 = ( 8 − 1) ( 82 + 8.1 + 12 ) = 7.73

3



Vậy 7.73 chia hết cho 7.

Do đó 29 − 1 chia hết cho 7

- Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân

tử chung. Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau:

b)56 − 104 = 54.52 − 54.24 = 54 ( 52 − 24 ) = 54.9



Vậy 54.9 chia hết cho 9.

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



12



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



Do đó 56 − 10 4 chia hết cho 9.

- Câu c đề bài ( n + 3) − ( n − 1) giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới

hằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phương

của một tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh

nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu hai

bình phương.

2



2



Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho học

sinh làm bài:



c) ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + 3 + n − 1) ( n + 3 − n + 1)

2



2



= ( 2n + 2 ) 4 = 8n + 8 = 8 ( n + 1)



Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ

hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:



( n + 3)



2



− ( n − 1) = ( n + 3 + n + 1) ( n + 3 − n − 1) (Cách làm sai của HS)

2



do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có

nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.

- Với câu d cách làm hồn tồn tương tự, ta có

d ) ( n + 6) − ( n − 6) = ( n + 6 + n − 6) ( n + 6 − n + 6)

2



2



= 2n.12 = 24n

Như vậy 24n chia hết cho 24 hay ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24.

2



2



e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.

Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích các thừa số

nguyên tố, ta được 120 = 23.3.5. Từ bài toán chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2

+24x chia hết cho 120 ta đưa về chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia

hết cho tích của các thừa số 2, 3, 5. Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em

phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung nhiều lần. Bài giải

cụ thể như sau:

Dễ thấy 120 = 23.3.5. Ta có



Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



13



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



x 5 + 10 x 4 + 35 x3 + 50 x 2 + 24 x



= x ( x 4 + 10 x3 + 35 x 2 + 50 x + 24 )

= x  x3 ( x + 1) + 9 x 2 ( x + 1) + 26 x ( x + 1) + 24 ( x + 1) 

= x ( x + 1) ( x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24 )



= x ( x + 1)  x 2 ( x + 2 ) + 7 x ( x + 2 ) + 12 ( x + 2 ) 

= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x 2 + 7 x + 12 )



= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )

Mà ta có x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2, 3, 4, 5

Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên



x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120

Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.

2.7. Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua hằng

đẳng thức.

2.7.1. Phương pháp:

- Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương

của một hiệu.

- Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số.

- Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất

(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức.

2.7.2. Bài tập

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

a) A = x2 – 6x + 11

b) B = 5x – x2

Giải:

a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương của

một hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích được x2 – 2.3.x, lúc này học sinh sẽ tìm

được hạng tử thứ hai là 3, vậy ta giải như sau

Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2

Vì (x – 3)2 ≤ 0 nên (x – 3)2 + 2 ≤ 2

Suy ra: A ≤ 2.

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



14



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”



Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.

b. Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách đưa

dấu “-“ ra ngoài ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2-2.A.B

để tìm ra hạng tử B

B = 5x – x2 = -(x2 – 5x) = - [x2 - 2.

= - [(x Vì (x -



5

5

5

x + ( )2 – ( )2]

2

2

2



5 2 25

5

25

) - ] = - (x - )2 +

2

4

2

4



5 2

5

5

25 25

) ≤ 0 nên - (x - )2 ≥ 0 ⇒ - (x - )2 + ≥

2

2

2

4

4



Suy ra: B ≥



25

25

5

. Vậy B =

là giá trị lớn nhất tại x = .

4

4

2



Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

a) M = 2x2 - 6x

b) N = x2 + y2 – x +6y + 10

Giải:

a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngồi thì

trong ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra hạng

tử thứ hai.

M = 2x2 - 6x = 2.(x2 - 2.

Vậy MinM = -



3

9

9

3

9

9

.x + ) - = 2.( x- ) 2 - ≥ 2

4

2

2

2

2



9

3

khi x =

2

2



b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh

rằng đối với bài này có thể phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức trong

bài. Để định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức.

N = x 2 + y 2 − x + 6 y + 10

1 1

3



=  x 2 − 2.x. + ÷+ ( y 2 + 2. y.3 + 9 ) +

2 4

4



2



1

3

2



=  x − ÷ + ( y + 3) +

2

4



2



1

2

 x − ÷ ≥ 0

1

3 3

2



2

Do 

⇒ N =  x − ÷ + ( y + 3) + ≥

2

4 4



2



y

+

3



0

(

)





Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám



15



Giáo viên: H’An Niê Kdăm



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×