Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
V. QUAY MẠNG SỐ NGUYÊN Zn

V. QUAY MẠNG SỐ NGUYÊN Zn

Tải bản đầy đủ - 0trang

Trong [4] phiên bản sau khi quay của các mạng D4, E6, E8, K12, A16, A24

được thành lập cho L bằng một nửa kích thước. Từ D4, E6, E8, K12, A16, A24 là các

mạng số nguyên (ví dụ các mạng con của Zn) chúng ta mong muốn tìm thấy lớp

nền sau khi quay mạng Zn với cùng sự phân tập. Trong phần này chúng ta sẽ

thảo luận ngắn về vấn đề này.

Chúng ta nói 1 và 2 là bằng nhau nếu chúng bằng nhau ở phần quay và

phần hệ số chuyển dịch. Ma trận nguồn M1 và M2 của hai mảng thành phần có

quan hệ theo:

M2 = αBM1R



(8)



α là hệ số chuyển dịch, R là ma trận quay và B là ma trận chuyển đổi

mạng cơ bản. i.e., một ma trận nguyên với det(B)=1. Ma trận B Được biết đến

như một ma trận số ngun khơng thể mơ dul hố.

Chúng ta sẽ chỉ ra một mạng bất kỳ không quay được D4, E6, E8, K12, A16,

A24 với n,1 khi nó có phân tập L=1 và với n,n/2 mạng quay tương ứng với phân

tập L=n/2. Hai mạng n,1 và n,n/2 được định nghĩa bởi ma trận thành phần M1 và

M2 nếu chúng ta quyết định scaling factor α và ma trận B sau đó chúng ta có thể

đạt được yêu cầu ma trận rotaition R từ (8).

Lấy giá trị tuyệt đối của định thức của hai phía của (8) ta được:

Để khơng mất tính tổng qt, chúng ta thay thế M2 bởi α-1M2 và tập trung

tìm B. Chúng ta sẽ lựa chọn các ma trận Gram và . Từ đó M2 = RM1B ta có G2 =

BG1BT. Thay vì tìm B ta trực tiếp tìm ma trận chung M1 của mạng nonrotated với

kết quả , hàm ý rằng B là ma trận xác định.

Ma trận Gram G2 là đối xứng và thành phần của nó gij là phần vơ hướng

(vi, vj) của mạng vector cơ bản tương xứng với các hàng của M1. Đường chéo

phần gij tương ứng với quy tắc hình vng của vector cơ bản. Vấn đề là sau đó

quyết định ma trận nguồn M1 như mạng vector cơ bản thoả mãn điều kiện vơ

hướng G2. Bằng máy tìm kiếm chúng ta có thể tìm được các ma trận nguồn M1

và đáp ứng yêu cầu các ma trận rotation .

13



B. Xây dựng biểu thức đại số cho các mạng Zn,n/2

Trong phần này chúng ta xây dựng một tập hợp của các ma trận trực giao

với phân tập L = n/2 với n = 2e13e2; e1, e2=0, 1, 2, …

Điểm cốt lõi được sử dụng trong phần này là tìm Zn,n/2 theo các mục dưới đây

-



Các vector của mạng cơ bản là trực giao

Đa thức nhỏ nhất µ(x) có hệ số ngun

Đa thức nhỏ nhất µ(x) có n nghiệm phức riêng

Kích thước của mạng là n=(N), tại (.) là biểu thức Euler cho bởi các số

nguyên tố với N [14]

Giờ ta lựa chọn trường chia vòng tròn K=Q[j](), khi =e2j/N là



nghiệm đơn thứ N. K là phần mở rộng đại số của Q[j]={a+jb|a,bQ} của

(N)/2. (r1=0, r2=n/2) và đa thức nhỏ nhất

k)



(9)



khi (k, N) là ước số chung lớn nhất của k và N. đa thức nhỏ nhất Z[j] được quyết

định bởi m(x) và được định nghĩa ở phần dưới đây.

Chúng ta chọn 1=, 1, 2,…, n/2 nghiệm phức của sẽ xác định n/2

trường riêng biệt Q-hàm chỉnh hình.



1()=1



2()=2 … n/2()=n/2



Để xây dựng mảng phức  của chiều n/2 ta đưa vào theo chuẩn một vòng

các số nguyên OK=Z[j]() được tạo ra bởi (1, , 2, …,n/2-1). Nó tạo ra ma trận

được cho như dưới.



Khi các vector chuẩn mảng phức vi, i=1, 2, …, n/2, tương ứng với hàng

của M.



14



Mạng thực tương ứng của chiều n có thể có được bởi việc thay thế mỗi số

phức a+jb của M bằng ma trận 2x2 . Như được cho bởi [4] mạng này có phân

tập L=n/2=r2.

Chúng ta quan tâm tới việc chọn nghiệm i, i=1, 2, …, n/2, hoặc thành

phần đa thức nhỏ nhất , nên M trở thành ma trận đa thức, i.e., một ma trận nguồn

cho mạng nguyên phức trong chiều n/2. Đa thức theo vector phức mang tính

vector thực. Kết quả được cho bởi hai dòng:



Của M phải thoả mãn



Với p>q, ta có



Và từ nghiệm phức I được đặt trên vòng đơn vị



Mặt khác, đầu tiên n/2-1 chức năng đối xứng nguồn Sm của nghiệm của

là rỗng. đa thức , điều chúng ta muốn xác định có thể được cho trong

m(x)m*(x), khi ta giả sử i, i=1, 2, …, n/2 là các nghiệm của đa thức m(x) của



15



độ chính xác n/2 vượt qua vòng số nguyên Gaussian Z[j], trong khi m*(x) đem

đến nghiệm phức hợp.

Áp dụng đồng nhất Newton nhận thấy







Nên



Giờ chúng ta có dạng tổng quát của các đa thức tối thiểu, chúng ta vẫn cần

phải xác định các nghiệm hợp nhất được lựa chọn chính tắc:

là các nghiệm chưa biết của m(x) mà

chúng ta cần xác định. P là kết quả của n/2 nghiệm dựa trên vòng tròn đơn vị



Và chúng ta có giá trị chính xác n/2 của I với



Tương ứng với các nghiệm



thoả mãn



Để xác định giá trị của  ta xem xét theo những điều kiện sau:

-



-



có các nghiệm thực, nên các nghiệm của m(x) phải khác các

nghiệm của m*(X)



chỉ có nghiệm phức nên



16



-



có hệ số nguyên



Với

Các giá trị dương của các nghiệm m(x) được tổng hợp trong bảng I, các

giá trị âm của  được xác định từ các giá trị dương tương ứng của các nghiệm

của m*(x). Cột thứ 3 (giá trị của N) được phân tập từ cột thứ 2 bằng đánh dấu

từ định nghĩa

Cuối



cùng,



chúng



ta



phải



giải



quyết



Để có được các giá trị thoả mãn của kích thước n của mạng thực. Bằng

cách tương đương, ta có thể giải quyết

Ta gọi lại



khi



với



phải có số nguyên tố lớn nhất chia N là



một phần trong mẫu số. Sau đó đối với các phần trên của K số ngun tố lớn

nhất



trong



N



chúng



ta







thể



viết



đối



với



vài



ta phân biệt 3 trường hợp:

-



đặt



với



sau đó

sẽ khơng có vấn đề gì.

với trường hợp này, Số ngun tố lớn nhất chia N là 2, nên



-



với sau đó



khơng có vấn đề gì



với

-



đặt

sau đó



với

có vấn đề với



Ta có thể kết luận rằng các giá trị có thể chấp nhận được của  là

chúng tương ứng với biểu thức dạng







với

17



và với

mạng







tương ứng. Như vậy có tồn tại các



cho tất cả các chiều



với







.

C. Xây dựng biểu thức đại số cho các mạng

Việc xây dựng này dựa trên đại số thực trường số



.



Bằng việc áp dụng canonical embedding vào ý tưởng đặc biệt trong trường này

chúng ta tìm thấy mạng lập phương quay



. Từ



là tổng



trường thực chúng ta đã biết từ [4] nhóm constellation có đầy đủ phân tập L=n.

Sự lựa chọn tập các trường số xuất hiện là ngẫu nghiên nhưng trong phần này ta

sẽ chỉ ra rằng một vài mạng lập phương quay cũng đem lại kết quả lớn nhất về

khoảng cách của constellation.

Giờ ta mô tả các thủ tục đã sử dụng để có



lưới mà ta có thể chỉ ra



. Ta đã biết mức của



. Điều này đặt ra một số hạn chế về kích thước

. ở tất cả các kích thước thậm chí lên tới



32 khơng dẫn tới mạng tinh thể nguyên trong khi phần lẻ trong bảng II. Thủ tục

theo các bước sau:

1) Quyết định trường số



với biểu thức nhỏ nhất



và trị tuyệt đối

2) Đặt

trở thành nhân tố nguyên tố của biệt thức trị tuyệt đối.

3) Yếu tố lý tưởng (p) trong

tại I là nguyên tố.

4) Cho k=0,…,n đặt vào canonical embedding tới ý

trận phát là trực giao, i.e., ma trận phát của



và kiểm tra nếu ma

.



18



Cột cuối của bảng II đưa ra nguồn của ý tưởng I mà các thủ tục phân tập

hoàn chỉnh mạng



. Mạng được cho bởi



embedding được định nghĩa bằng nghiệm thực n của

của



có thể có quan hệ với



, tại



. Khối lượng cơ bản



và chỉ tiêu đại số



Nếu ta giới thiệu tỉ lệ



là canonical



bởi [4]



ta sẽ chỉ ra ma trận lập



phương độ lớn đơn vị.

Nhưng một ví dụ, mạng lập phương phân tập hồn chỉnh

thấy từ trường



. Giá trị tuyệt đối là



được tìm





. Ý tưởng chính I được tính tốn bởi

.

VI. TỐI ĐA HĨA KHOẢNG CÁCH HAMMING

Trong những mục trước, chúng ta đã thể hiện cách để nhận được lưới Zn

xoay, thứ mà đảm bảo cho mức độ nhất định của phân tập. Mặc dù việc phân tập

là tham số thiết kế quan trọng nhất, chúng ta vẫn cần xem xét tới việc tối đa hóa

khoảng cách sản phẩm cực tiệu dP,min giữa hai điểm của chòm sao tín hiệu. Trong



19



mục này, chúng ta sẽ hể hiện một cấu trúc của lưới Zn, n cho một vài số chẵn n

để nhắm tới việc tối đa hóa dP,min.

Xét vấn đề ở dạng phổ biến nhất, chúng ta cần xá định ma trận ma trận

xoay tùy ý với thứ tự phân tập lớn nhất có thể (L = n), thứ sẽ làm tối đa hóa d P,min

của chòm sao tín hiệu tương ứng. Vấn đề tối ưu hóa này trở nên bất trị một cách

nhanh chóng do số lượng các biến và độ phức tạp của các hạn chế kĩ thuật. Vì lý

do đó, chúng ta sẽ giới hạn nghiên cứu tới một họ nhỏ hơn các ma trận xoay, cái

mà có thể được tham số hóa với một số lượng các biến đã được giảm thiểu và

tạo ra các hạn chế đơn giản hơn.

Chúng ta sẽ bắt đầu với các chiều 2 và 3 và sau đó tiếp tục với các chiều

khác của loại 2e13e2 áp dụng một cấu trúc mà gợi lại cấu trúc được sử dụng cho

các ma trận Hadamard

Một điều rất quan trọng nhắc lại là bất cứ khi nào chúng ta ứng phó với

các lưới được tạo ra bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực, dP, min có

liên hệ tới quy tắc trường và bị phụ thuộc vào kích thước của chòm sao tín hiệu

hữu hạn được cắt ra bởi lưới [4]. Trong toàn bộ các trường hợp khác, điều này

không cần thiết phải đúng.

Trong cấu trúc tối ưu hóa dP,min tiếp theo, chúng ta sẽ giới hạn kích thước

của các chòm sao tới trường hợp của η = 4 bit/symbol. Trong mọi trường hợp

(ngoại trừ cho trường hợp ba chiều, nơi mà điều này được chứng minh là đúng)

chúng ta đã kiểm chứng bằng thực nghiệm rằng d P,min khơng phụ thuộc vào kích

thước của chòm sao tín hiệu. Chúng ta phỏng đốn rằng trong mọi trường hợp

chúng ta sẽ ứng phó với một số phần chiều thấp hơn của một lưới được tạo ra

bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực của bậc cao hơn.

A. Chiều 2

Mọi ma trận trực giao hai chiều có cấu trúc như sau:

Với ràng buộc a2 + b2 = 1



20



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

V. QUAY MẠNG SỐ NGUYÊN Zn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×