Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
VI. TỐI ĐA HÓA KHOẢNG CÁCH HAMMING

VI. TỐI ĐA HÓA KHOẢNG CÁCH HAMMING

Tải bản đầy đủ - 0trang

mục này, chúng ta sẽ hể hiện một cấu trúc của lưới Zn, n cho một vài số chẵn n

để nhắm tới việc tối đa hóa dP,min.

Xét vấn đề ở dạng phổ biến nhất, chúng ta cần xá định ma trận ma trận

xoay tùy ý với thứ tự phân tập lớn nhất có thể (L = n), thứ sẽ làm tối đa hóa d P,min

của chòm sao tín hiệu tương ứng. Vấn đề tối ưu hóa này trở nên bất trị một cách

nhanh chóng do số lượng các biến và độ phức tạp của các hạn chế kĩ thuật. Vì lý

do đó, chúng ta sẽ giới hạn nghiên cứu tới một họ nhỏ hơn các ma trận xoay, cái

mà có thể được tham số hóa với một số lượng các biến đã được giảm thiểu và

tạo ra các hạn chế đơn giản hơn.

Chúng ta sẽ bắt đầu với các chiều 2 và 3 và sau đó tiếp tục với các chiều

khác của loại 2e13e2 áp dụng một cấu trúc mà gợi lại cấu trúc được sử dụng cho

các ma trận Hadamard

Một điều rất quan trọng nhắc lại là bất cứ khi nào chúng ta ứng phó với

các lưới được tạo ra bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực, dP, min có

liên hệ tới quy tắc trường và bị phụ thuộc vào kích thước của chòm sao tín hiệu

hữu hạn được cắt ra bởi lưới [4]. Trong tồn bộ các trường hợp khác, điều này

khơng cần thiết phải đúng.

Trong cấu trúc tối ưu hóa dP,min tiếp theo, chúng ta sẽ giới hạn kích thước

của các chòm sao tới trường hợp của η = 4 bit/symbol. Trong mọi trường hợp

(ngoại trừ cho trường hợp ba chiều, nơi mà điều này được chứng minh là đúng)

chúng ta đã kiểm chứng bằng thực nghiệm rằng d P,min không phụ thuộc vào kích

thước của chòm sao tín hiệu. Chúng ta phỏng đốn rằng trong mọi trường hợp

chúng ta sẽ ứng phó với một số phần chiều thấp hơn của một lưới được tạo ra

bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực của bậc cao hơn.

A. Chiều 2

Mọi ma trận trực giao hai chiều có cấu trúc như sau:

Với ràng buộc a2 + b2 = 1



20



Chúng ta sẽ tham số hóa ma trận trực giao này như một hàm của của một biến

đơn lẻ λ như sau:

Lưu ý rằng các hàng của M là các vector lưới cơ bản trực giao chuẩn hóa.

Hình 5 thể hiện các giá trị của d P,min như một hàm của λ cho một chòm sao tín

hiệu hữu hạn (η = 4 bit/symbol), được cắt từ lưới được tạo ra bởi M. Chỉ các giá

trị dương của λ được xét tới do tính đối xứng giữ giá trị gốc và giá trị của λ tạo

ra các chòm sao phân tập có L = 1 bị bỏ qua. d P,min được tính tốn bởi sự tìm

kiếm đầy đủ thơng qua các điểm của chòm sao hữu hạn sử dụng một bước nhỏ

cho λ (ví dụ 0.005). Cũng trong hình 5, tác giả cũng đã vẽ các biên trên sau tới

dP,min (các hàm của λ)

(23)

tương ứng với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm với các

thành phần số nguyên được báo cáo trong cột thứ 2 của (23). Đường cong của

dP, min về nguyên tắc cũng có thể nhận được như là phần bé nhất của toàn bộ

các biên của loại (23) cho tồn bộ các điểm của chòm sao tín hiệu.

Trong hình 5, chúng ta sẽ quan sát các đỉnh cao nhất được tìm tháy tại các

phần giao nhau giữa biên thứ nhất và biên thứ 2 trong (23) cho

Biên cao hơn của 0.5 tới dP, min nhận được bằng cách giả sử rằng có tồn tại một

chòm sao tín hiệu có chứa một vector chính tắc đơn vị với toàn bộ các thành

phần bằng nhau

Một vài sự cân nhắc về ma trận tối ưu là thích hợp tại đây. λ 0,2 là gốc của

đa thức λ2 + λ – 1, tức là nó thuộc về một trường số thực bậc 2. Các đầu vào a

và b của M do đó thuộc về một trường số bậc 4. Trong trường hợp này chúng ta

sẽ không sử dụng lưới ánh xạ chính tắc mà chỉ một vài phần hai chiều của nó,

thức mà cho chúng ta một chòm sao tín hiệu lưới Z2 với phân tập L = 2 và dP,

min tối đa. Trường hợp hai chiều là trường hợp duy nhất mà chúng ta nhận được

dP, min tối đa tuyệt đối trong mọi ma trận xoay khả dụng.

21



Hình 5. Tập hợp Z

A. Chiều 3

Họ của các ma trận trực giao 3 chiều chúng ta xét tới ở đây là

với ràng buộc a2 + b2 + c2 = 1 và ab + bc + ac = 0.

Chúng ta sẽ tham số hó ma trận trực giao này như là hàm của một biến đơn lẻ λ

như sau:

Cũng như trước đây, các hàng của M tạo ra các vector cơ sở lưới trực

chuẩn của một phiên bản xoay Z3

Hình 6 thể hiện các giá trị của dP,min như một hàm của λ, cho một chòm sao

tín hiệu hữu hạn với η = 4 bit/symbol, được cắt ra từ lưới được tạo ra bởi M.

dP,min được tính tốn bởi sự tìm kiếm đầy đủ thơng qua các điểm của chòm sao

tín hiệu hữu hạn cho mỗi giá trị của λ. Trong trường hợp này, các giá trị của λ

được lấy trong khoảng (-4, 4) do dP,min nhanh chóng biến mất bên ngồi khoảng

này. Các giá trị của λ khiến cho việc phân tập nhỏ hơn 3 bị bỏ qua. Trong hình 6,

tác giả cũng vẽ các biên phía trên tới dP,min

22



(26)

tương ứng với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm có

các thành phần số nguyên được báo cáo trong cột chứ 2 của (26)

Trong hình 6, chúng ta sẽ nhận dạng các đỉnh cao nhất của các phần giao

nhau giữa biên thứ nhất và biên thứ hai trong (26), phần đó nằm tại các gốc của

các đa thức sau:



Thật ngạc nhiên, hai đa thức này lại là các đa thức tối thiểu tương đương

của trường số đại số thực tổng cộng Q(2 cos(2π/7). Các giá trị λo,3 của các gốc

của các đa thức trên có các biểu diễn đơn giản sau:



Các giá trị của a(λo,3), b(λo,3) và c(λo,3) để thay thế trong M có thể được

tính tốn trực tiếp bằng cách thay thế trong (25) hoặc bằng cách áp dụng các

thuộc tính trường của Q(2 cos(2π/7). Phương pháp thứ 2 này là thích hợp hơn do

nó tạo ra các biểu diễn đa thức đơn giản:



23



Hình 6. Các giá trị của dP,min trong 3 chiều

Tương tự, chúng ta có thể tính tốn giá trị tối ưu

Bằng cách xem xét trực tiếp, chúng ta đã tìm ra rằng tồn bộ các lưới trên

là tương đương với các lưới Z3, 3a và Z3, 3b của mục III-C.



B. Cấu trúc trong các chiều cao hơn

Trong hai mục nhỏ trước, chúng ta đã tìm ra các khối cấu trúc cơ bản của

các ma trận xoay mà chúng ta sẽ thể hiện ở đây. Cấu trúc này được dựa trên cấu

trúc đặc biệt của một vài ma trận trực giao tương tự với thứ mà được sử dụng để

tạo ra các ma trận Hadamart. Chúng ta sẽ minh họa cấu trúc này trong một vài

chi tiết cho chiều 4. Các ma trận xoay khác cho các chiều 6, 8 và 12 có thể nhận

được bằng cách lặp lại cùng cấu trúc.

1) Chiều 4: Họ của các ma trận trực giao bốn chiều mà chúng ta xem xét ở đây

là:



24



Đặt U2 = a2 + b2 + c2 + d2 là hệ số chuẩn hóa.

Nếu ma trận con có kích thước 2 x 2 M1 được đặt cố định là một trong số

các ma trận hai chiều tối ưu thì các rang buộc trực giao sẽ được giảm xuống còn

ad – bc = 0. Ma trận 2 x 2 M2 thì sẽ phụ thuộc vào tham số λ. Các vector cơ sở

cuối cùng sẽ được chuẩn hóa bởi U như sau:



với:



Hình 7 thể hiện các giá trị của dP,min như là một hàm của λ cho một chòm

sao tín hiệu hữu hạn (η = 4 bit/symbol), được cắt từ lưới được tạo ra bởi M. dP,

min được tính tốn bằng việc tìm kiếm đầy đủ thơng qua các điểm của chòm sao

tín hiệu hữu hạn. Các giá trị của λ được thể hiện, với các bước 0.005, trong

khoảng (0, 3), do dP, min nhanh chóng biến mất bên ngồi khoảng này và đường

cong thì đối xứng so với tín hiệu gốc. Các giá trị của λ khiến cho sự phân tập

nhỏ hơn 4 bị bỏ qua. Trong hình 7, tác giả cũng vẽ các biên phía trên tiếp theo

tới dP,min (các hàm của λ), như thể hiện trong (27) tại cuối trang này, tương ứng

với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm với các thành phần

số nguyên cho trước.



25



Hình 7. dP,min trong 4 chiều



Trong hình 7, chúng ta tìm và nhận dạng hai đỉnh cao nhất tại phần giao nhau

của biên thứ nhất và thứ ba trong (27)



và tại phần giao nhau của biên thứ nhất và thứ tư trong (27)



26



Các giá trị naỳ có thể nhận được trong một dạng gần do chúng là các gốc

của một đa thức bậc 4. Giá trị tối ưu tương ứng cho d P,min là 1/40. Hai đỉnh thấp

hơn còn lại được tìm thấy tại phần giao nhau của biên thứ hai và thứ ba trong

(27)



và tại phần giao nhau của biên thứ hai và thứ tư trong



(27)



. Giá trị tối ưu con tương ứng cho d P,min là 1/85. Các giá trị



dạng gần của λ so cũng có thể được tìm thấy.

2) Chiều 6:

Bằng một thủ tục tương tự, chúng ta có thể xây dựng các ma trận trực giao

6 chiều bắt đầu từ ma trận ba chiều tối ưu. Đây là chiều lớn nhất mà các giải

pháp dạng gần có thể được tính tốn và tác giả tìm ra giá trị tối ưu cho dP,min.

Hàng thứ nhất của ma trận xoay được báo cáo trong bảng III. Ma trận đầu

vào có thể dễ dàng nhận được bởi cấu trúc được xét trong các mục trước.

3) Các chiều khác

Trong những trường hợp trước, chúng ta có thể nhận được các biểu diễn

dạng gần cho các ma trận xoay tối ưu. Nếu chúng ta tiếp tục tăng số chiều, số

lượng ràng buộc lớn hơn sẽ trở nên phi tuyến và bậc của các công thức đa thức

cho các giá trị tối ưu của λ sẽ nhiều hơn 4, cái mà là giới hạn cuối cùng cho các

giải pháp dạng gần.

Trong những trường hợp này, tác giả đề nghị một phương pháp thuần số

học để tìm ra các giá trị đỉnh của d P,min. Thật không may, chúng ta không thể đảm

bảo sự tối ưu tuyệt đối cho các phép xoay. Tác giả đã báo cáo trong bảng III về

các giá trị số học của hàng thứ nhất của ma trận xoay cho chiều 8 và 12. Các ma

trận đầu vào có thể dễ dàng được tái tạo bằng cách lặp lại cấu trúc được cho

trong các mục trước.

VII. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG

Trong phần này, tác giả cung cấp cho một bài thuyết trình hồn tồn của

các đường cong hiệu suất của các chòm sao xoay mà đã xây dựng trong các

phần trước.

27



Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một thông lượng của bit / biểu tượng để

chúng ta sẽ so sánh hiệu suất với một sơ đồ điều chế 16-QAM truyền thống.

Trong tất cả các con số chúng ta vẽ tỷ lệ lỗi bit (BER) đường cong của 16-QAM

trên kênh Gaussian và trên các kênh fading Rayleigh độc lập. Hai đường cong bị

ràng buộc các khu vực tăng tiềm năng trên các kênh fading, khi đề án uncoded

đa chiều xoay được sử dụng



Hình 8. Tỷ-Bit lỗi cho gia đình của Zn; n = 2 chòm sao (= 4).

Các gia đình đầu tiên của đường cong (Hình. 8) tương ứng với constellations trong kích thước lên đến và đa dạng (phần VB). Như sự đa dạng làm tăng

tỷ lệ lỗi bit đường cong tiếp cận một cho các kênh Gaussian. Đối với giá trị lớn

nhất của đa dạng khoảng cách đến các đường cong Gauss BER chỉ là khoảng 1,5

dB giữa và. Những chòm sao có thể dễ dàng xây dựng cho bất kỳ kích thước,.

Giới hạn duy nhất trong việc đi xa hơn



28



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

VI. TỐI ĐA HÓA KHOẢNG CÁCH HAMMING

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×