1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Trung học cơ sở - phổ thông >

PHẦN 2: NỘI DUNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.86 KB, 22 trang )


1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

+ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h) và có

đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0} , với h > 0 .

a. Nếu f′(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì

x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) .



b. Nếu f′(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f′(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì

x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).



+ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

(x0 − h;x0 + h) , với h > 0 . Khi đó:

a. Nếu f′(x0 ) = 0; f′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

b. Nếu f′(x0 ) = 0; f′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều

kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng đúng.

1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D :

f(x) ≥ m , ∀x∈ D

 f(x) ≤ M , ∀x∈ D

M = max f(x) ⇔ 

,

D

∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m

∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M



m= min

f(x) ⇔ 

D



Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) nhưng không ∃x0 ∈ D : f(x0) = m

(hay không ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) thì dấu "=" khơng xảy ra. Khi đó, khơng tồn tại

giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D .

Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà

chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép

đặt ẩn phụ t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.

1.6. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈(C) có phương trình: y = f′(x0 )(x − x0 ) + y0 .

+ Đường thẳng d có hệ số góc k , đi qua điểm M(x1; y1) có phương trình:

y = k(x − x1) + y1

 f(x) = k(x− x1) + y1

d là tiếp tuyến của (C) nếu hệ có nghiệm : 

(1)

 f '(x) = k



3



Nếu điểm M(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (1).

Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.

2. Sai lầm thường gặp khi giải toán

1.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi khơng nắm vững

định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn

của hàm số

1.2. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận

dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên

khoảng (a;b).

1.3. Sai lầm trong bài tốn chứng minh bất đẳng thức, khi khơng nhớ chính xác

tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm

đồng biến, nghịch biến.

1.4. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

số trên một miền D , khi chuyển đổi bài tốn khơng tương đương.

1.5. Sai lầm trong việc giải các bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đi qua một

điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.

II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Khơng nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,

khơng hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 .

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

trên một miền D

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ

thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.

Qua số liệu thống kê kết quả giải bài tập chương 1- giải tích 12 (trước khi chưa

áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau)

4



Lớp 12 A2 (sĩ số 40)

Số lượng

10



Phần trăm

25 %



Giải sai phương pháp



24



60 %



Giải đúng phương pháp



6



15 %



Không giải được



Lớp 12 A3 (sĩ số 42)

Không giải được

Giải sai phương pháp

Giải đúng phương pháp



Số lượng

11

23

8



Phần trăm

26,2 %

54,8 %

19 %



III: Các giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện

I. Giải pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên

cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:

1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, các khái niệm, định nghĩa, định lí, để học sinh nắm được bản

chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.

- Đưa ra các ví dụ, phân tích các ví dụ cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và

khác nhau giữa chúng.

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và hướng khắc phục các sai

lầm đó .

2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp ...

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, tính toán .

- Phương pháp: phương pháp gợi mở , vấn đáp.

3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp học nhóm

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích mơn học cho học sinh.

5



- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học Chẳng hạn sử dụng bảng

phụ, phiếu học tập, kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình

động liên quan trực tiếp tới bài giảng.

4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức:

nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp – vận dụng cao.

- Giáo viên đánh giá học sinh.

- Học sinh đánh giá học sinh.

5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học

Giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng loại đối tượng

học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài

toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan .

Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.

6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản.

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.

- Đưa ra các bài tập tự vận dụng, bài tập nâng cao.

II. Nghiên cứu thực tế

1. Phân tích những sai lầm thơng qua một số ví dụ

1.1. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo

hàm

xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số

Các em thường mắc phải sai lầm khi khơng nắm vững định nghĩa về tính đơn

điệu của hàm số.

Ví dụ 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) =



x− 2

x+ 1



[2]



Một số học sinh giải như sau:

Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}

3



Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D

Bảng biến thiên:

- ¥



-1







6



x

y'



+



+





y



1

- ¥



1



Vậy: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )

Phân tích sai lầm:

Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta khơng chú ý đến kết luận của bài

tốn ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1; x2

thuộc D , x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2 ) .

Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 4 Ỵ D và x2 = 0 Ỵ D thì x1 < x 2

nhưng f(x1) = 2 > −2 = f(x2 )

Vậy sai lầm ở đâu ?

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}

3



Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D

Bảng biến thiên:

x

y'



- ¥







-1



+



+





y



1



1

- ¥



Vậy: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; +¥ ) .

Bài tập vận dụng.

Bài 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a. y =



2x + 5

2- x



c. y = cosx – sinx



x 2 - 5x + 3

b. y =

x- 2



d. y =



[2]



2x

x - 9

2



7



4

3



3

2

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = − x + mx − x + 1 nghịch biến trên trên ¡ . [5]



Một số học sinh giải như sau:

Tập xác định: D = ¡

y′ = −4 x 2 + 2mx − 1



Hàm số nghịch biến trên ¡



 −4 < 0

a < 0

⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 

⇔ 2

⇔ −2 < m < 2

 ∆′ < 0  m − 4 < 0



Trong lời giải trên học sinh sai ở đâu ?

Phân tích sai lầm:

Khi giải như trên học sinh quên định lý mở rộng: Hàm số y = f(x) xác định trên

(a;b),

f ′ ≤ 0 , ∀x ∈ (a; b) và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì hàm số f(x)

nghịch biến trên (a;b).

Lời giải đúng:

Tập xác định: D = ¡

a < 0



 −4 < 0



−2≤m≤ 2

Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔ y′ ≤ 0 , ∀x ∈ ¡ ⇔  ′ ⇔  2

∆ ≤ 0

m − 4 ≤ 0



Vậy với m ∈ [ −2; 2] hàm số nghịch biến trên ¡

Bài tập vận dụng.

1

3



3

2

Bài 1. Tìm m để hàm số y = − x + 2x + (2m + 1) x − 3m + 2 nghịch biến trên



trên ¡ .

[3]

Bài 2. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên trên ¡ .[4]

m −1 3

x + mx 2 + (3m − 2)x đồng biến trên trên ¡ .

3

1 3

2

Bài 4. Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1)x + (m + 3)x-4 đồng biến trên trên

3



Bài 3. Tìm m để hàm số y =



khoảng ( 0;3) .

- Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, học sinh thường quên

đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.

Quy tắc:

 f ′( x0 ) = 0

⇒ x = x0 là điểm cực tiểu.



′′

f

(

x

)

>

0

o



 f ′( x0 ) = 0

⇒ x = x0 là điểm cực đại.



 f ′′( xo ) < 0



Điều ngược lại trong một số trường hợp khơng đúng.

8



Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx 4 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại

tại x = 0

[6]

Một số học sinh giải như sau:

f ′( x) = 4mx 3 ; f ′′( x ) = 12mx 2

 y′(0) = 0



4m.0 = 0



⇔

⇔ m∈∅

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇔  ′′

 y (0) < 0

12m.0 < 0

Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Phân tích sai lầm: Giả sử khi m=-1, ta có:

y = − x 4 , y′ = −4 x 3 =0 ⇔ x=0



Bảng biến thiên

x -∞

y’

y



0



+



-∞



0

0



+∞



-∞



Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

 f ′( x0 ) = 0



⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số.

Ta có 

′′

f

(

x

)

<

0

o





Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì x = x0 là điểm cực đại thì cũng có thể

f ′′( x0 ) = 0 .

Lời giải đúng:

Xét 3 trường hợp (m= 0; m< 0; m> 0)

+ m = 0; y = 0 ⇒ Hàm số khơng có cực trị

+ m > 0; y′ = 4mx 3 ; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , lập bảng biến thiên từ đó ⇒ x = 0 là điểm

cực tiểu của hàm số.

+ m < 0; y′ = 4mx 3 ; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , lập bảng biến thiên từ đó ⇒ x = 0 là điểm

cực đại của hàm số.

Vậy m< 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

[4]

Bài 2. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =



x2 + mx + 1

đạt cực đại x = 2

x+ m



Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của hàm số: f(x) = x − 1+ 4− x2



[3]



Một số học sinh trình bày như sau:

9



Tập xác định: D = [- 2; 2 ]

x = − 2

= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4− x2 = x2 ⇔ 

4 − x2

 x = 2

x



Ta có: f′(x) = 1−



Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun

một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

x

y'



-2



-



2



-



0



+



0



-3



y



2



2



-



2 2- 1

-1



1



Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng

(- 2; -



2) và ( 2; 2) .



Lời giải trên sai ở đâu ?

Phân tích sai lầm: Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số, vì

khi tìm điểm tới hạn học sinh quên điều kiện tương đương của phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D = [- 2; 2 ] .

Ta có: y' = 1−

x

y'

y



x ≥ 0

= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 

⇔ x= 2

2

2

4− x

4 − x = x

x



2



-2



2



2



+



0



-



2 2- 1

-3



1



Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng

( 2; 2) .



Bài tập vận dụng

Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số: y = x +



4

x



[3]



Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số: y = − x + x2 + 8

10



−x2 + 2mx − 5

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y =

có cực đại và cực tiểu nằm về

x−1

hai phía của đường thẳng y=2x



[4]



Một số học sinh giải như sau:

Đặt g(x) = −x2 + 2mx − 5

Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=2x

g(1) = 2m− 6 ≠ 0

 2

⇔  − x + 2mx − 5 = 2x vô nghiệm





x−1

 m≠ 3



⇔ 



'

2

 ∆ = m + 2m− 14 < 0



⇔ − 1− 15 < m < − 1+ 15

y



Phân tích sai lầm:

(∆): y = 2x



Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng

cực đại , cực tiểu nằm về hai phía của một



A



đường thẳng nghĩa là, đồ thị hàm số không cắt

đường thẳng y=2x.Nhưng thực ra đường

thẳng y=2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân



B

0



biệt mà điểm cực đại, cực tiểu vẫn nằm khắc



x1



1



x



x2



phía so với đường thẳng y=2x.

Lời giải đúng là:

Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương với y′ = 0

có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 ⇔ m< 3. Gọi A(x1;y1) , B(x2;y2) là các điểm cực

trị của hàm số. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

y = −2x + 2m, khi đó y1 = −2x1 + 2m; y2 = −2x2 + 2m.Để A và B nằm về hai

phía của đường thẳng y=2x cần và đủ là



11



( 2x1 − y1 ) ( 2x2 − y2 ) < 0 ⇔ (4x1 − 2m)(4x2 − 2m) < 0 ⇔

−2 − 2 6 < m< −2 + 2 6 (thỏa mãn điều kiện m< 3)

Vậy với −2 − 2 6 < m< −2 + 2 6 là giá trị cần tìm.

Bài tập vận dụng



[4]



3m 2

x + m có các điểm cực đại và cực tiểu

2

nằm về hai phía của đường thẳng y = x

Bài 1. Tìm m để hàm số y = x3 −



x2 + (m+ 1)x − m+ 1

Bài 2. Tìm m để hàm số f(x) =

có cực đại và cực tiểu nằm

x− m

về cùng phía của trục Ox

Bài 3. Tìm m để hàm số f(x) = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6m(1− 2m)x có cực đại và

cực tiểu nằm trên đường thẳng ∆ :y = −4x

1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm

để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2 x3

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) =

trên đoạn

x+4



[ −3;0]



Một số học sinh giải như sau:



[5]



x = 0

4 x 2 ( x + 6)

= 0 ⇔ x 2 ( x + 6) = 0 ⇔ 

2

( x + 4)

 x = −6

f (−6) = 216 ;

f (0) = 0 ; f ( −3) = −54



Ta có : f ′( x) =



⇒ max f ( x) = f (−6) = 216;

[ −3;0]



min f ( x) = f (−3) = −54

[ −3;0]



Phân tích sai lầm: Học sinh khơng loại nghiệm x =- 6 vì x = −6 ∉ [ −3;0]

Lời giải đúng:

4 x 2 ( x + 6)

=0

Ta có : f ′( x) =

( x + 4) 2

f (0) = 0 ;







x = 0

⇔ x 2 ( x + 6) = 0 ⇔ 

 x = −6 ∉ [ −3;0]



f ( −3) = −54



max f ( x) = f (0) = 0;

[ −3;0]



Bài tập vận dụng



min f ( x) = f ( −3) = −54

[ −3;0]



[2]



12



Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 trên

đoạn [ −2;3]

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số



[ 1; 4]



f ( x ) = 25 − x 2 trên đoạn



2

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − 3x + 2 trên đoạn



[ −10;10]

- Nhiều học sinh không hiểu đúng định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai chẳng hạn

như:

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − 1 − x − 3

Một số học sinh giải như sau:

[6]



x ≥ 1

⇔ x≥3

Điều kiện xác định của hàm số: 

x ≥ 3

Ta có

1

1

f ′( x) =



2 x −1 2 x − 3

lim f ( x) = 0

x →+∞



Bảng biến thiên:

3



x

f’(x

)



+∞



-



f(x)



2

0



⇒ max f ( x) = 2; min f ( x ) = 0

[ 3;+∞ )



[ 3;+∞ )



f ( x ) , thì phải ∃x0 ∈ K sao

Phân tích sai lầm: Học sinh quên khái niệm min

K

cho f ( x0 ) = m dẫn đến kết luận sai.

Lời giải đúng:

Giải như trên nhưng kết luận max f ( x) = f (3) = 2; không tồn tại min f ( x )

[ 3;+∞ )



[3; +∞ )



Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) =

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

khoảng ( 1; +∞ )



1

1 + x4



[2]



f ( x) = x + 2 +



1

trên

x −1



[3]

13



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.doc) (22 trang)

×