2 Mô hình trường trung bình thống nhất cho thế đơn hạt và thế quang học nucleon

(HF)



Do tác động của phản đối xứng hóa A, thế SP nucleon Uτ



tính theo (2.9)



cũng bao gồm thành phần trực tiếp (số hạng Hartree) và thành phần trao

đổi (số hạng Fock). Với năng lượng SP nucleon xác định từ năng lượng trung

bình của CHN (1.2) tại mật độ ρ theo lý thuyết tổng quát của Landau [43],

ngoài thành phần HF (2.9) thế SP nucleon trong CHN còn bao gồm số hạng

tái chỉnh hợp RT



Uτ (ρ, k) = Uτ(HF) (ρ, k) + Uτ(RT) (ρ, k),

1

với Uτ(RT) (ρ, k) =

nτ (k1 )nτ2 (k2 )

2kστ kστ 1

1 1 1



(2.10)



2 2 2



× A k1 σ1 τ1 , k2 σ2 τ2



∂vc

k1 σ1 τ1 , k2 σ2 τ2 .(2.11)

∂nτ (k)



Từ (2.9), thành phần HF của thế SP nucleon trong CHN bão hòa spin tại

mật độ ρ có độ bất đối xứng neutron-proton δ , với ρn = (δ + 1)ρ/2 và

ρp = (δ − 1)ρ/2, được xác định như sau



Uτ(HF) (ρ, δ, k) = 2



nτ (k )A kτ, k τ |vc |kτ, k τ

kτ



= 2

kτ



Ω

(2π)3



kF τ



kτ, k τ |¯

vc |kτ, k τ d3 k . (2.12)



0



Sử dụng tương tác CDM3Yn (2.5)-(2.7), ta thu được thành phần HF của thế

SP bao gồm hai thành phần IS và IV sau

(M3Y)



Uτ(HF) (ρ, δ, k) = F0 (ρ)UIS

(M3Y)



với UIS



(M3Y)



UIV



(ρ, k) = ρJ0D +



(ρ, δ, k) = ρJ1D δ +



(M3Y)



(ρ, k) ± F1 (ρ)UIV



(ρ, δ, k), (2.13)



EX

A0 (r)v00

(r)j0 (kr)d3 r,

EX

A1 (r)v01

(r)j0 (kr)d3 r.



(2.14)

(2.15)



Dễ thấy sự phụ thuộc của thế SP nucleon vào độ bất đối xứng neutron-proton



δ nằm trong thành phần IV, được xác định bởi thành phần phụ thuộc spin

đồng vị của tương tác CDM3Yn. Các biểu thức trong (2.14) và (2.15) có dạng

18



tường minh dưới đây

D

A0(1) (r) = ρn jˆ1 (kF n r) ± ρp jˆ1 (kF p r), J0(1)

=



D

v00(01)

(r)d3 r,



j0 (x) = sin x/x, jˆ1 (x) = 3j1 (x)/x = 3(sin x − x cos x)/x3 .

Dấu (-) trong vế phải của phương trình (2.13) tương ứng với thế SP proton

(τ = p) và dấu (+) tương ứng với thế SP neutron (τ = n). Do tương tác

CDM3Yn không phụ thuộc vào xung lượng của cặp nucleon tương tác, từ các

biểu thức (2.14)-(2.15) ta thấy sự phụ thuộc xung lượng của thế SP nucleon

được xác định hoàn toàn bởi thế trao đổi. Như vậy, hệ quả đương nhiên của

phản đối xứng hóa yếu tố ma trận tương tác NN hiệu dụng theo nguyên lý

Pauli là sự phụ thuộc tường minh vào xung lượng của thế SP nucleon.

Khác với thành phần HF, theo định lý HvH, ta chỉ có thể xác định RT

của thế SP nucleon tại xung lượng Fermi (k → kF τ ). Dùng phép biến đổi vi

phân [63]



∂

∂nτ (k)



k → kF τ



1 π2

∂

∂ρτ ∂kF τ ∂

=

=

∂nτ (kF τ ) ∂ρτ ∂kF τ

Ω [kF τ ]2 ∂kF τ



(2.16)



và phân bố xung lượng (2.3), ta thu được từ biểu thức tổng quát (2.11) thành

phần RT của thế SP nucleon tại xung lượng Fermi dưới dạng sau



Uτ(RT) (ρ, δ, k



π2

= kFτ ) = 4

(kF τ )2

×



τ1 τ2



k1 τ1 , k2 τ2



19



Ω

2(2π)6



kF τ1

0



kF τ2



d3 k1 d3 k2



0



∂¯

vc

k1 τ1 , k2 τ2 .

∂kFτ



(2.17)



Sử dụng tương tác CDM3Yn (2.5)-(2.7), RT của thế SP nucleon xác định tại

xung lượng Fermi kFτ cũng bao gồm hai số hạng IS và IV

(RT)



(RT)



Uτ(RT) (ρ, δ, kF τ ) = UIS (ρ, kF τ ) + UIV (ρ, δ, kF τ ),

(2.18)

1 ∂F0 (ρ) 2 D

(RT)

EX

ρ J0 + A20 (r)v00

(r)d3 r ,

với UIS (ρ, kF τ ) =

2 ∂ρ

1 ∂F1 (ρ) 2 D 2

(RT)

EX

UIV (ρ, δ, kF τ ) =

ρ J1 δ + A21 (r)v01

(r)d3 r .

2 ∂ρ

Theo phương trình (2.18), RT sẽ triệt tiêu nếu tương tác NN hiệu dụng không

phụ thuộc vào mật độ CHN và năng lượng SP nucleon (1.4) xác định tại xung

lượng Fermi thỏa mãn định lý HvH ngay trong tính tốn HF. Tuy nhiên, kết

quả tính tốn CHN theo HF sử dụng tương tác M3Y không phụ thuộc mật

độ [12] không thể mơ tả được tính bão hòa của CHN đối xứng, với CHN co

sụp hoàn toàn bởi tương tác mạnh khi mật độ ρ tăng (xem Hình 1 trong

cơng trình [12]). Như vậy, RT có vai trò rất quan trọng trong các tính tốn

thế SP nucleon theo HF.

Từ định nghĩa tổng quát (1.4) của thế SP nucleon theo lý thuyết Landau,

RT (2.11) có thể được xác định tại giá trị xung lượng nucleon bất kỳ chỉ khi

tương tác NN hiệu dụng phụ thuộc tường minh vào phân bố xung lượng

nucleon nτ (k). Việc này hồn tồn khơng khả thi đối với phương pháp HF

khi các phiên bản khác nhau của tương tác NN hiệu dụng đa phần chỉ phụ

thuộc tường minh vào mật độ ρ. Các phiên bản tương tác Skyrme có phụ

thuộc vào xung lượng tương đối của cặp NN tương tác [30], nhưng cũng khơng

có liên quan trực tiếp tới phân bố xung lượng nucleon nτ (k) trong CHN tại

mật độ khác nhau. Mặt khác, các tính tốn vi mô CHN theo phương pháp

BHF [9, 10, 39, 40] đã khẳng định RT được gây bởi các bổ chính bậc cao

của tương tác NN trong CHN và đóng góp của tương tác ba hạt. Do những

đóng góp bậc cao này phụ thuộc trực tiếp vào xung lượng nucleon nên sự

phụ thuộc xung lượng của RT trong thế SP nucleon rất cần được đánh giá

chính xác trong các mơ hình NMF. Trong luận án này chúng tôi đề xuất

một phương pháp hiệu dụng để xác định sự phụ thuộc xung lượng của thế

20



SP nucleon theo phương pháp HF mở rộng. Như đã trình bày ở trên, sự phụ

thuộc xung lượng của thành phần HF của thế SP nucleon được xác định

hoàn toàn bởi thế trao đổi, một hệ quả đương nhiên của phản đối xứng hóa

yếu tố ma trận tương tác theo nguyên lý Pauli. Trong lý thuyết nhiều hạt

BHF, hiệu ứng chắn bởi nguyên lý Pauli (blocking efects by Pauli principle)

là rất thiết yếu trong việc xác định những đóng góp bậc cao trong tương tác

và tán xạ NN trong CHN cũng như đóng góp của tương tác ba hạt. Trên cơ

sở tác động bao trùm của nguyên lý Pauli trong hệ đa nucleon, chúng tôi đề

xuất phương pháp xác định RT phụ thuộc xung lượng (2.11) bằng cách thêm

vào tương tác CDM3Yn số hạng bổ chính phụ thuộc mật độ ∆F0(1) , sao cho

thế SP toàn phần xác định được theo sơ đồ HF, với sự phụ thuộc xung lượng

được xác định hoàn toàn bởi thành phần trao đổi của thế SP nucleon. Cụ

thể, RT của thế SP nucleon được xác định tương tự (2.13)-(2.15) như sau

(M3Y)



Uτ(RT) (ρ, δ, k) = ∆F0 (ρ)UIS



(M3Y)



(ρ, k) + ∆F1 (ρ, δ)UIV



(ρ, δ, k).



(2.19)



Hàm phụ thuộc mật độ ∆F0(1) được xác định để cho các giá trị của RT thu

được tại xung lượng Fermi theo 2 hệ thức (2.18) và (2.19) trùng nhau

(RT)



(RT)



∆F0 (ρ) =



UIS (ρ, kF τ )

(M3Y)



UIS



(ρ, kF τ )



và ∆F1 (ρ, δ) =



UIV (ρ, δ, kF τ )

(M3Y)



UIV



.



(2.20)



(ρ, δ, kF τ )



Như vậy, thế SP nucleon toàn phần cũng được tính theo phương pháp HF

(2.15), với hàm phụ thuộc mật độ của tương tác CDM3Yn có thêm bổ chính

(2.20) xác định từ định lý HvH



Uτ (ρ, δ, k) = UIS (ρ, k) ± UIV (ρ, δ, k)

(M3Y)



= [F0 (ρ) + ∆F0 (ρ)]UIS



(ρ, k)



(M3Y)



± [F1 (ρ) ± ∆F1 (ρ, δ)]UIV



(ρ, δ, k).



(2.21)



Dấu (-) trong (2.21) tương ứng với thế SP proton và dấu (+) tương ứng với

thế SP neutron. Để thuận tiên cho các tính tốn thế tán xạ nucleon-hạt nhân

sử dụng hàm sóng SP cho các nucleon liên kết trong hạt nhân và tương tác

21



NN hiệu dụng phụ thuộc mật độ CDM3Yn, thành phần bổ chính ∆F0(1) cũng

được tham số hóa [23, 64] dưới dạng hàm phụ thuộc mật độ (2.6).



Thế quang học nucleon trong CHN

Trong CHN vô hạn, thế quang học nucleon chính là thế NMF mơ tả

tương tác giữa hạt nucleon tự do (với năng lượng E > 0 và xung lượng



k > kF ) và các nucleon liên kết trong CHN [44]. Áp dụng phép gần đúng liên

tục cho thế SP nucleon tại năng lượng E > 0 [39, 40], OP nucleon được xác

định theo phương pháp HF tương tự như thế SP nucleon (2.21) cho nucleon

liên kết. Trong CHN đối xứng với spin và spin đồng vị bão hòa, kF3 = 3π 2 ρ/2,

ta thu được OP nucleon dưới dạng thế IS phụ thuộc năng lượng như sau

(HF)



U0 (ρ, E) = UIS



(RT)



(ρ, E) + UIS (ρ, E)



= [F0 (ρ) + ∆F0 (ρ)] J0D +

(M3Y)



= [F0 (ρ) + ∆F0 (ρ)]UIS



EX

ˆj1 (kF r)j0 k(E)r v00

(r)d3 r .



ρ, k(E)



(2.22)



Bổ chính ∆F0 (ρ) cho hàm phụ thuộc mật độ F0 (ρ) là đóng góp của RT và

được xác định theo hệ thức (2.20). Xung lượng k(E) của nucleon tán xạ trên

CHN được xác định tự hợp với OP nucleon (2.22)



k(E) =



2m

2



[E − U0 (ρ, E)].



(2.23)



Kết quả tính tốn HF cho OP nucleon trong CHN đối xứng tại mật độ bão

hòa ρ0 được trình bày trên Hình 2.2, và ta dễ thấy rằng OP nucleon thực

chất là thế SP nucleon tại xung lượng k lớn. Từ các kết quả tính tốn mơ tả

tiết diện thực nghiệm tán xạ nucleon-hạt nhân theo mẫu quang học - optical

model (OM), thành phần IS của OP nucleon trong CHN tại mật độ ρ0 có

thể xác định gần đúng bằng độ sâu của phần thực của OP tại tâm hạt nhân

bia nặng như 208 Pb... Đây chính là các giá trị bán thực nghiệm thu được

cho U0 (ρ0 ) tại năng lượng nucleon E khác nhau trình bày trên Hình 2.2. Tại

22



0.84



k



F



-1



2.1



1.6



k (fm )



2.8



2.5



0



CDM3Y6

=



0



-40



U



0



(MeV)



-20



-60



U

U



HF



HF



+U



RT



g(k)*(U



HF



+U



RT



)



-80



-50



0



50



100



150



200



E (MeV)



Hình 2.2: Sự phụ thuộc năng lượng của OP nucleon trong CHN đối xứng tại

mật độ bão hòa ρ0 tính theo phương pháp HF (2.22) với tương tác CDM3Y6

có và khơng có đóng góp của RT. Những giá trị bán thực nghiệm rút ra từ

phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ nucleon-hạt nhân theo các nguồn [65]

(điểm tròn), [66] (điểm vuông) và [67] (tam giác). Hệ số phụ thuộc xung

lượng g(k) được xác định tự hợp sao cho OP thu được từ tính tốn HF (2.24)

mơ tả tốt nhất những điểm bán thực nghiệm.



năng lượng thấp, đóng góp quan trọng của RT vào OP nucleon (2.22) giúp

cho các kết quả tính tốn (HF+RT) phù hợp tốt với số liệu bán thực nghiệm.

Tuy nhiên tại năng lượng cao, cường độ OP nucleon thu được theo phương

pháp HF sâu hơn so với số liệu bán thực nghiệm. Như vậy, tại năng lượng cao

của nucleon tán xạ, sự phụ thuộc năng lượng của OP nucleon trở nên mạnh

hơn so với dự đoán theo phương pháp HF mở rộng. Do tương tác CDM3Yn

(2.5)-(2.6) không phụ thuộc tường minh vào năng lượng, ta không thể chờ

đợi mơ hình HF mở rộng (2.22) có được mơ tả tốt sự phụ thuộc năng lượng

của OP nucleon tại E lớn. Cụ thể, trong tính tốn HF sự phụ thuộc tường

minh vào năng lượng của OP nucleon chỉ xuất hiện đơn thuần từ thành phần

23



g(k)



4



k (fm )



Hình 2.3: Hệ số phụ thuộc xung lượng g(k) cho các phiên bản tương tác

CDM3Y3, CDM3Y4 và CDM3Y6 được xác định để OP nucleon (2.24) trong

CHN đối xứng tại mật độ ρ0 phù hợp tốt nhất với số liệu bán thực nghiệm

tại năng lượng E khác nhau. Các điểm tròn là kết quả tính tốn và đường

liền nét là hàm g(k) nội suy theo đa thức bậc ba.



trao đổi của thế tương tác nucleon-hạt nhân do tác động của phản đối xứng

hóa. Trong khi đó, những tính tốn BHF cho OP nucleon đã khẳng định

rằng sự phụ thuộc năng lượng của OP nucleon bao gồm đóng góp của cả hai

thành phần trực tiếp và trao đổi của thế tương tác nucleon-hạt nhân [39, 40]

tính từ G ma trận của tương tác NN tự do. Trong hình thức luận HF khơng

phụ thuộc thời gian, sự phụ thuộc xung lượng k của thế SP nucleon trong

CHN cũng đồng nhất với sự phụ thuộc năng lượng E . Để mô tả OP nucleon

ở năng lượng E cao, chúng tơi đưa vào các tính tốn HF mở rộng một hàm

hệ số phụ thuộc xung-năng lượng g k(E) sao cho OP nucleon trong CHN

tại mật độ ρ0 phù hợp tốt nhất với số liệu bán thực nghiệm tại năng lượng



E khác nhau (xem Hình. 2.2). Cụ thể, thành phần IS của OP nucleon trong

CHN đối xứng tại mật độ ρ gần điểm bão hòa được tính như sau

(M3Y)



U0 (ρ, E) = g k(E) [F0 (ρ) + ∆F0 (ρ)]UIS



24



ρ, k(E) ,



(2.24)



trong đó k(E) được xác định tự hợp từ U0 (ρ, E) theo hệ thức (2.23). Dạng

hàm hệ số g(k) được xác định chuẩn tại mật độ ρ0 để U0 (ρ0 , E) mô tả được

các giá trị bán thực nghiệm như trình bày trên Hình 2.2. Hàm g(k) thu được

cho các phiên bản tương tác CDM3Y3, CDM3Y4 và CDM3Y6 gần như đồng

nhất như trình bày trên Hình 2.3. Hàm hệ số g(k) cho phép đánh giá chuẩn

xác tác động của NMF tạo bởi các nucleon liên kết trong CHN lên nucleon

tán xạ. Về bản chất, sự phụ thuộc xung-năng lượng này tương tự như sự phụ

thuộc xung lượng của G-ma trận, nghiệm của phương trình Bethe-Goldstone

trong các tính tốn vi mơ BHF [8, 9]. Sự khác biệt ở đây là g(k) được xác

định một cách bán thực nghiệm như bàn ở trên. Từ Hình 2.3 ta có g(k) ≈ 1

ở xung lượng thấp và g(k) < 1 khi k 1.6 fm−1 .

Đối với nucleon tán xạ trên CHN phi đối xứng thì độ phụ thuộc xung

lượng của OP không thể xác định tương tự như thế IS (2.24) do thiếu thông

tin bán thực nghiệm. Tuy nhiên, những kết quả tính tốn OP nucleon theo

mẫu folding cho tán xạ nucleon trên hạt nhân bia giàu neutron [24, 25, 66]

cho thấy thành phần IV của OP nucleon có cường độ chỉ khoảng vài phần

trăm cường độ thành phần IS và sự phụ thuộc xung-năng lượng của OP

nucleon cơ bản được xác định bởi sự phụ thuộc năng lượng của thế IS [66].

Do đó, hàm hệ số phụ thuộc xung lượng g(k) trình bày trên Hình 2.3 có thể

được dùng để tính thành phần IV của OP nucleon theo phương pháp HF mở

rộng như sau



Uτ (ρ, δ, E) = U0 (ρ, E) ± g k(E, δ) U1 (ρ, δ, E),

(M3Y)



với U1 (ρ, δ, E) = [F1 (ρ) ± ∆F1 (ρ, δ)]UIV



(2.25)



ρ, δ, k(E, δ) . (2.26)



Dấu (-) trong vế phải của các biểu thức (2.25) và (2.26) tương ứng với OP

proton (τ = p) và dấu (+) tương ứng với OP neutron (τ = n). Thành phần



U0 (ρ, E) của OP được tính tốn theo (2.24) và xung lượng k(E, δ) được xác

định tự hợp với OP tại năng lượng E theo hệ thức

k(E, δ) =



2m

2



[E − Uτ (ρ, δ, E)].



25



(2.27)



Các tham số của hàm phụ thuộc mật độ F1 (ρ) của số hạng IV trong tương



18



16



CDM3Y6



14



U



1



(MeV)



12



10



8



6



HF



4



HF + RT

JLM



2



0

0.05



0.10



0.15



0.20



-3



(fm )



Hình 2.4: Thành phần IV (2.25) của OP neutron trong chất neutron (δ = 1)

tại mật độ khác nhau và E = 1 MeV, trong hai trường hợp có và khơng có

đóng góp của RT. Hàm phụ thuộc mật độ F1 (ρ) của tương tác CDM3Yn được

xác định sao cho kết quả HF+RT phù hợp tốt nhất với kết quả tính tốn

BHF của nhóm JLM (đường liền) [61, 62].



tác CDM3Yn được điều chỉnh sao cho thành phần IV của OP nucleon trong

chất neutron (với δ = 1) thu được từ tính tốn HF+RT (2.26) phù hợp tôt

nhất với thành phần tương ứng của OP neutron thu được từ tính tốn vi mơ

BHF thực hiện bởi các tác giả Jeukenne, Lejeune và Mahaux (JLM) [61, 62].

Đóng góp của RT được tính qua bổ chính ∆F1 (ρ, δ) của hàm phụ thuộc mật

độ F1 (ρ), xác định (2.20) trên cơ sở định lý HvH. Khác với những nghiên

cứu trước đây [25, 29] với hàm F1 (ρ) được xác định riêng biệt tại từng năng

lượng E , trong luận án này chúng tôi sử dụng thống nhất một bộ tham số

của F1 (ρ) chỉnh chuẩn theo kết quả vi mơ BHF của nhóm JLM như trình

bày trên Hình 2.4. Giá trị các tham số của hai hàm phụ thuộc mật độ F0 (ρ)

và F1 (ρ) được đưa vào Bảng 2.2.

26



40

Symmetric nuclear matter



20



0



-20



no



g k



( )



-40



U

U

U



-60



U



(MeV)



-80



(HF)



(RT)



(HF)



U



+



(RT)



20



0



-20



with



g k



( )



-40



-60



-80



-100

0



1



k



2



3



4



-1



(fm )



Hình 2.5: Sự phụ thuộc xung lượng của thế SP nucleon trong CHN đối xứng

tại mật độ bão hòa ρ0 với đóng góp của hai thành phần HF và RT. Hình trên

trình bày kết quả tính tốn HF theo (2.21). Hình dưới trình bày kết quả tính

tốn theo (2.25), có tính đến hiệu chỉnh của hệ số g(k) xác định bởi dữ liệu

bán thực nghiệm của OP nucleon như thảo luận trên Hình 2.2.



Như vậy trong mơ hình NMF thống nhất trình bày trong luận án này,

thế SP nucleon được xác định liên tục tại mọi giá trị xung lượng khác nhau

trên cơ sở mơ hình HF mở rộng (2.21) và (2.25), từ nucleon liên kết trong

CHN với E < 0 và k < kF τ tới nucleon tán xạ với E > 0 và k > kF τ

(như minh họa trên Hình 2.2 cho thế SP nucleon trong CHN đối xứng tại

xung-năng lượng khác nhau). Sự phụ thuộc xung lượng của thế SP nucleon

có ảnh hưởng quan trọng đến việc mô tả EOS của CHN phi đối xứng trong

27



40

Pure neutron matter



20



0

no



-20



g k



( )



-40



U

U

U



U



(MeV)



-60



(HF)



(RT)



(HF)



U



+



(RT)



-80

20



0

with



-20



g k



( )



-40



-60



-80

0



1



2



k



3



4



-1



(fm )



Hình 2.6: Tương tự như Hình 2.5 nhưng đối với thế SP nucleon trong chất

neutron với δ = 1.



các mơ hình NMF khác nhau. Do đó, mức độ phụ thuộc xung lượng của

thế SP nucleon cũng đã được nghiên cứu nhiều theo phương mơ hình vi mơ

BHF [9]. Các kết quả tính tốn HF mở rộng cho sự phụ thuộc xung lượng

của thế SP nucleon trong CHN đối xứng và chất neutron tại mật độ bão hòa



ρ0 , với đóng góp tường minh của thành phần HF và RT được trình bày trên

các Hình 2.5 và 2.6. Ta thấy đóng góp của RT lớn nhất tại xung lượng nhỏ,

tương ứng với nucleon nằm liên kết sâu trong CHN (k

kF ) và giảm dần

khi xung-năng lượng nucleon tăng. Đặc biệt RT giảm nhanh tại xung lượng

cao khi hiệu chỉnh của hàm hệ số g(k) trở nên đáng kể. Thế SP nucleon

28