2 Thế quang học phi định xứ

Thành phần thế hạt nhân xuyên tâm VN được xác định như sau



ξ 21 ms ψA |vc (i, j)|ξ 21 ms ψA .



VN =



(3.15)



j∈A



Trạng thái cơ bản ψA của hạt nhân bia được biểu diễn bởi định thức Slater

là tổ hợp của tích các hàm sóng đơn hạt ϕj (r, σ, τ ) của nucleon liên kết

trong hạt nhân có tính đến yếu tố trao đổi tọa độ của hai nucleon. Toán tử



vc (i, j) trong yếu tố ma trận (3.15) chỉ tác động vào hàm sóng nucleon tới

i và nucleon j trong bia, các hàm sóng của các nucleon còn lại trong bia sẽ

bị triệt tiêu do tính chất trực giao chuẩn hóa. Do đó, thành phần thế hạt

nhân xuyên tâm được xác định qua yếu tố ma trận của tương tác NN giữa

các trạng thái đơn hạt của nucleon tới i và nucleon j liên kết trong hạt nhân

bia và có tính đến yếu tố phản xứng,

ξ 12 ms ψA |V |ξ 21 ms ψA =



A ij|vc (i, j)|ij .



(3.16)



j∈A



Thế folding (3.16) có dạng tương tự như SP nucleon (2.9) trong CHN theo

phương pháp HF, hàm sóng phẳng của nucleon trong CHN thay bằng hàm

sóng của nucleon liên kết trong hạt nhân. Toán tử phản xứng A hoán đổi

tọa độ r và R của nucleon j liên kết trong hạt nhân và nucleon tán xạ. Do

đó, trong phương trình tán xạ xuất hiện số hạng tích phân chứa thế trao đổi

phi định xứ phụ thuộc vào hai biến tọa độ r và R,



A ij|vc (i, j)|ij χms ms (k, R)

j∈A



= UD (R)χms ms (k, R) + KEX (R, r)χms ms (k, r)dr,



(3.17)



Thành phần xuyên tâm của thế hạt nhân khơng những phụ thuộc vào khoảng

cách R mà còn phụ thuộc vào năng lượng E của nucleon tới qua hàm phụ

thuộc năng-xung lượng g(k(E)) của tương tác CDM3Yn (3.2). Sử dụng dạng

tường minh của tương tác dạng (3.2), thế folding bao gồm số hạng đồng vị

50



vô hướng và đồng vị vector

D

D

UD (E, R) = UIS

(E, R) ± UIV

(E, R)

EX

EX

KEX (E, R, r) = KIS

(E, R, r) ± KIV

(E, R, r),



(3.18)



Như vậy, theo mẫu folding, thành phần xuyên tâm của OP đặc trưng cho thế

tương tác của nucleon với hạt nhân bao gồm các số hạng đồng vị vô hướng

(IS) và đồng vị vector (IV) có dạng tường minh như sau

D

UIS(IV)

(E, R) = g k(E, R)



D

ρn (r) ± ρp (r) v00(01)

(ρ, s)d3 r, (3.19)



KIS(IV) (E, R, r) = g k(E, R)



EX

ρn (R, r) ± ρp (R, r) v00(01)

(ρ, s),



trong đó, s = |R − r| là khoảng cách giữa nucleon đến và nucleon trong hạt

nhân bia. Mật độ định xứ và phi định xứ của proton và neutron được xác

định qua tổng các hàm sóng đơn hạt của nucleon liên kết trong hạt nhân

(τ )∗



ϕj



ρτ (r, r ) =



(τ )



(r, σ)ϕj (r , σ ), với ρτ (r) ≡ ρτ (r, r), và τ = n, p.



j∈A



(3.20)

Hàm sóng đơn hạt này được khai triển theo tích của hàm bán kính, hàm phụ

thuộc góc và spin Ylj jj mjj (ˆ

r , σ) và hàm phụ thuộc spin-đồng vị χ(τ ):

(τ )



ϕj (r, σ) =



unj lj jj (r)

Ylj jj mjj (ˆ

r , σ)χ(τ )

r



với



r , σ) =

Ylj jj mjj (ˆ

ml ms



1

lj ml ms |jj mjj Ylj ml (ˆ

r)ξ 12 ms (σ)

2



(3.21)



(3.22)



trong đó j ≡ {τ , nj , lj , jj , mjj }, nj là số lượng tử chính, lj là số lượng tử mô

men quỹ đạo, jj là mô men góc tổng cộng có hình chiếu mjj , và Ylm là hàm

harmonic cầu. Khi đó mật độ định xứ của hạt nhân bia được xác định



ρτ (r) ≡ ρτ (r) =



1

4πr2

51



(2jj + 1)u2j (r)

j



(3.23)



Thành phần phụ thuộc bán kính uj (r) của hàm sóng đơn hạt là nghiệm của

phương trình Schrăodinger xỏc nh trng thỏi liờn kt ca nucleon trong hạt

nhân. Trong luận án này, phương pháp HF xác định hàm sóng liên kết của

nucleon liên kết được trình bày chi tiết trong phụ lục B. Sử dụng tương tác

NN hiệu dụng CDM3Yn có tính đến hiệu ứng tái chỉnh hơp RT, thành phần

thế trực tiếp UD (E, R) có dạng tường minh sau

D

UIS

(E, R) = g(k(E, R))



D

ρn (r) + ρp (r) F0 (ρ(r)) + ∆F0 (ρ(r)) v00

(s)d3 r,



D

UIV

(E, R) = g(k(E, R))



D

ρn (r) − ρp (r) F1 (ρ(r)) ± ∆F1 (ρ(r)) v01

(s)d3 r,



(3.24)

Dấu (+) cho hạt tới là neutron và dấu (-) cho proton. Hàm phụ thuộc mật

độ F0(1) (ρ(r)) và ∆F0(1) (ρ(r)) được xác định qua mật độ toàn phần của hạt

nhân bia ρ(r) ≡ ρp (r) + ρn (r). Để đưa phương trình tán xạ vi tích phân

ba chiều phụ thuộc góc và bán kính (3.10) về phương trình chỉ phụ thuộc

bán kính, tương tác trao đổi vcEX (s, ρ) (3.3) được khai triển theo các hàm

harmonic cầu

EX

v00(01)

(s) =

λµ



4π

(λ)

∗ ˆ

X00(01) (R, r)Yλµ

(R)Yλµ (ˆ

r)

2λ + 1



(3.25)



trong đó,

3

(λ)

X00(01) (R, r)



EX(ν) (ν)

fλ (R, r)



=



Y00



(3.26)



ν=1



với

(ν)



fλ (R, r) = (2λ + 1)jλ (iµν r< )hL (iµν r> ),



(3.27)



jλ (iµν r< ) và hL (iµν r> ) tương ứng là các hàm Bessel cầu và hàm Hankel cầu,

và r< (r> ) là giá trị bán kính nhỏ hơn (lớn hơn) trong cặp giá trị (R, r).

Phương trình tán xạ trên có thể biến đổi về dạng đơn giản hơn bằng phương



52



pháp khai triển sóng riêng phần



χms ms (k, R) =



4π

1

1

∗ ˆ

ˆ

χlj (k, R) l mms |lmj l m ms |jmj [il Ylm (R)]Y

lm (k).

kR jlm

2

2

j



(3.28)

với m = mj − ms và m = mj − ms . Nhân cả hai vế của phương trình (3.10)

ˆ , ta thu

ˆ và k

với các hàm harmonic cầu và lấy tích phân theo góc khối R

được phương trình phụ thuộc bán kính cho hàm sóng riêng phần χLJ (k, R)



d2

L(L + 1)

−

−

χLJ (k, R) + VD (E, R) + VC (R)

2µ dR2

R2

2



(LJ)



+ALJ Vso (R) χLJ (k, R) +



KEX (E, R, r)χLJ (k, r)dr = EχLJ (k, R),



trong đó ALJ = L khi J = L +



1

2



KLJ (E, R, r) = g k(E, R)



và ALJ = −L − 1 khi J = L −



=



(n)



F0 (ρ(r)) + ∆F0 (ρ(r))

(λ)



×(2j + 1)X00 (R, r)



L l λ

0 0 0



(p)



2



,



(3.31)

(p)



(n)



(p)



Rr



nlj,λ

(λ)



(p)



unlj (R)unlj (r) − unlj (R)unlj (r)



F1 (ρ(r)) ± ∆F1 (ρ(r))



×(2j + 1)X01 (R, r)



(3.30)



Rr



(n)



=



và



unlj (R)unlj (r) + unlj (R)unlj (r)

nlj,λ



IV

KLJ

(E, R, r)



1

2



IS

IV

KLJ

(E, R, r) ± KLJ

(E, R, r) ,



(n)



IS

KLJ

(E, R, r)



(3.29)



L l λ

0 0 0



2



.



(3.32)



Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp R-matrix [57, 58] để

giải chính xác phương trình Schrăodinger (3.29) vi OP phi nh x. Phng

phỏp R-matrix kt hợp với tính tích phân theo phương pháp cầu phương

Gauss-Legendre được trình bày chi tiết trong phụ lục A.

53



3.3



Phương pháp gần đúng định xứ



Trong những tính tốn folding, thành phần trao đổi có dạng phi định xứ của

OP thường được đưa về dạng định xứ để việc giải phương trình tán xạ trở

nên đơn giản hơn. Việc sử dụng OP dạng định xứ được sử dụng rộng rãi

trong các mô hình lý thuyết phản ứng khi cần giải hệ phương trình liên kênh

phức tạp và mẫu quang học định xứ được sử dụng nhằm đơn giản q trình

tính tốn. Phương trình vi-tích phân (3.29) có thể được đưa về dạng vi phân

chỉ chứa OP định xứ theo một số phép gần đúng được đề xuất bởi Brieva và

Rook (BR) [52]. Phép xấp xỉ sóng phẳng đưa hàm sóng tán xạ về dạng



χ(k, r) = χ(k, R + s)



χ(k, R) exp(ik(E, R)s).



(3.33)



Khi đó thành phần thế trao đổi phi định xứ có thể đưa về thế định xứ



KEX (E, R, r)χ(k, r)dr



(loc)



UEX (E, R)χ(k, R)



(3.34)



trong đó

(loc)



ρτ (R, r)vcEX (s, ρ) exp(ik(E, R)s)d3 r



UEX (E, R) =



(3.35)



τ



với s = r − R và k(E, R) là xung lượng chuyển động tương đối của nucleonhạt nhân



k(R, E) =



2µ

2



(loc)



[E − UD (R) − UEX (R) − VC (R)]



(3.36)



Biểu thức tích phân (3.35) phụ thuộc vào góc giữa k(R, E) và s, do đó để

đơn giản trong tính tốn, hàm exp(ik(R, E)s) được xấp xỉ về dạng vô hướng



exp(ik(E, R)s)



54



j0 (k(R, E)s),



(3.37)