Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.74 KB, 42 trang )
10
và
x
x
(t − a)f (t)dt = (x − b)f (x) −
f (t)dt.
b
b
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta thu được đẳng thức Montgomery
x
(b − a)f (x) =
b
f (t)dt +
b
p(x, t)f (t)dt,
(2.2)
a
trong đó ánh xạ p : [a; b]2 → R, xác định như sau
p(x, t) :=
t − a nếu t ∈ [a; x]
t − b nếu t ∈ [x; b].
Tiếp theo, ta có
b
b
sup | f (t) |
p(x, t)f (t)dt
t∈(a;b)
a
p(x, t)dt
a
x
= f
b
(t − a)dt +
∞
a
= f
∞
= f
∞
(t − b)dt
x
(x − a)2 + (b − x)2
2
a+b
2
x
−
1
2
+
(b − a)2 ,
4
b−a
như vậy ta chứng minh được khẳng định đầu tiên trong (2.1).
1 1
Áp dng bt ng thc Hăolder dng tớch phõn vi p > 1, + = 1, ta có đánh
p q
giá sau:
b
b
p(x, t)f (t)dt
a
1
| p(x, t) |q dt p f
p
a
x
b
(t − a)q dt +
=
a
p
x
q+1
=
1
(t − b)q dt q f
(x − a)
q+1
+ (b − x)
q+1
1
q f
p.
Kết hợp với khẳng định (2.1), ta thu được khẳng định thứ hai trong (2.1).
11
Để chứng minh khẳng định thứ ba trong (2.1), ta có
b
b
p(x, t)f (t)dt
|f (t)|dt
sup |p(x, t)|
t∈(a;b)
a
a
= max{x − a; b − x} f
b−a
a+b
=
+ x−
2
2
1
f
1.
từ đánh giá này và đẳng thức (2.2), ta thu được đánh giá cuối của bất đẳng thức
(2.1).
Chú ý: Trong chứng minh trên ta đã sử dụng đẳng thức hiển nhiên sau
X +Y
1
max{X, Y } =
+ |X − Y |.
2
2
1
Nhận xét 2.1. (a) Hằng số trong bất đẳng thức đầu là đánh giá tốt nhất, tức
4
là không thể thay thế bẳng số bé hơn. Bấ đẳng thức này. Trong bất đẳng thức
(2.1), nếu ta chọn hàm số f (x) = x thì ta thu được
a+b
x−
2
1
+
4
a+b
2
b−a
x−
2
(b − a)
(2.3)
với mọi x ∈ [a, b]. Nếu trong bất đẳng thức (2.3), ta chọn x = a hoặc x = b,
thì dấu đẳng thức xảy ra.
(b) Trong bài báo của Peachey, McAndrew, và Dragomir xuất bản năm 1999, chứng
1
minh được rằng hằng số trong đánh giá cuối của bất đẳng thức (2.1) là đánh
2
giá tốt nhất.
1
trong đánh giá thứ hai của bất đẳng thức (2.1) không thể thay
q+1
c
thế bằng hằng số dạng
với 0 < c < 1.
q+1
Thật vậy, giả sử tồn hằng số c như vậy, thì với f (x) = x ta có
1
q+1
q+1
a+b
c
x−a
b−x
q (b − a)
x−
+
(2.4)
2
q+1
b−a
b−a
(c) Hằng số
với mọi x ∈ [a, b].
1
Nếu trong bất đẳng thức (2.4) ta chọn x = a, thì được
2
c
q+1
1
q
từ đó
12
q+1
với mọi q > 1. Cho q → 1+ , ta được c ≥ 1 vậy hằng số 1 là
q
2
đáng giá tốt nhất.
ta có c ≥
2.1.2
Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn
Định lý 2.2. Xét hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b]. Khi đó ta
có bất đẳng thức.
1
f (x) −
b−a
b
f (t)dt
a
1
+
2
a+b
|
2
b−a
|x −
b
(f )
(2.5)
a
b
với mọi x ∈ [a, b], trong đó
(f ) là biến phân tồn phần của hàm số f trên [a, b].
a
1
Hằng số là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.5).
2
Chứng minh.
x
x
(t − a)df (t) = (x − a)f (x) −
a
f (t)dt.
(2.6)
f (t)dt.
(2.7)
a
và
b
b
(t − b)df (t) = (b − x)f (x) −
x
x
Cộng hai vế của phương trình (2.6) và (2.7), ta thu được đẳng thức sau
b
b
f (t)dt = (b − a)f (x) +
x
p(t, x)df (t),
(2.8)
a
trong đó
p(t, x) :=
t − a nếu t ∈ [a; x]
, x ∈ [a; b].
t − b nếu t ∈ (x; b]
Ta đã biết, nếu hàm g : [a, b] → R liên tục trên các phân hoạch của [a, b] và hàm
v : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì hàm g khả tích Riemann-Stieltjes
ứng với v, vì vậy ta có đánh giá sau
b
b
g(x)dv(x)
a
sup |g(x)|
t∈[a;b]
(v).
a
(2.9)
13
Áp dụng bất đẳng thức (2.9) cho hàm p và f , ta có khẳng định sau
b
b
p(t, x)df (t)
sup |p(t, x)|
t∈[a;b]
a
(f ).
(2.10)
a
với
a+b
1
sup |p(t, x)| = max {x − a, x − b} = (b − a) + x +
2
2
x∈[a;b]
t∈[a;b]
ở đây ta đã sử dụng đẳng thức 2. max{A, B} = A + B+ | B − A | .
Khi đó, từ bất đẳng thức (2.10) và đẳng thức (2.8) ta thu được bất đẳng thức
1
(2.5). Để chứng minh hằng số , là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.5),
2
ta giả sử bất đẳng thức này thỏa mãn với hằng số C > 0 nào đó, nghĩa là
1
f (x) −
b−a
a+b
|
2
b−a
|x −
b
f (t)dt
C+
a
b
(f )
(2.11)
a
với mọi x ∈ [a, b].
Chọn hàm số f : [a, b] → R xác định bởi
0 nếu x ∈ [a; a + b ) ∪ ( a + b ; b],
2
2
f (x) =
a+b
1 nếu x =
.
2
b
Khi đó hàm f có biến phân bị chặn trên [a, b], với
b
a f (t)dt
= 0 và
(f ) = 2.
a
a+b
Thay hàm f và bất đẳng thức (2.11) Và chọn x =
, ta thu được 1
2
1
C
ta có điều phải chứng minh.
2
2C. Hay
Nhận xét 2.2. Giả sử f là ánh xạ xác định như trên và
In := a < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b
là một phân hoạch của [a, b], hi = xi+1 − xi , ξi ∈ [xi ; xi+1 ], i = 0, n − 1, và tổng
Riemann được biểu diễn bởi
n−1
σ(f, ξ, In ) =
f (ξi )hi .
i=0