Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.74 KB, 42 trang )
19
2.2.3
Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối
Định lý 2.5. Xét hàm f : [a, b] → R
ta có bất đẳng thức sau
f (a) + f (b)
b
(b − a)
a f (x)dx −
2
(b − a)2
f ∞ nếu
4
1
1+
(a − b) q
nếu
1
2(q + 1) q
(b − a) f 1
nếu
2
là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b]. Khi đó
f ∈ L∞ [a; b];
f ∈ Lp [a; b], p > 1,
1 1
+ = 1;
p q
(2.26)
f ∈ L1 [a; b];
với . p là chuẩn thông thường trong không gian các hàm khả tích Lebesgue Lp [a, b].
Nghĩa là,
f ∞ := ess sup |f (t)|,
t∈[a;b]
và
1
p
b
f
p
p
|f (t)| dt
:=
với p ≥ 1.
a
Chứng minh. Tích phân từng phần ta được
b
t−
a
a+b
(b − a)(f (a) + f (b))
−
f (t)dt =
2
2
b
f (t)dt
(2.27)
a+b
|f (t)|dt.
2
(2.28)
a
Từ đẳng thức (2.27) ta thu được bất đẳng thức sau
b
a
f (a) + f (b)
f (t)dt − (b − a)
2
b
t−
a
Nếu hàm f ∈ L∞ [a, b], thì ta có
b
b
(b − a)2
f ∞
.
∞
4
a
a
1 1
Nếu hàm f ∈ Lp [a, b], thỡ theo bt ng thc Hăolder vi p > 1,
+ = 1, ta có
p q
a+b
|f (t)|dt t −
2
a+b
t−
dt = f
2
20
bất đẳng thức
b
|f (t)|dt t −
a
b
a+b
2
a
1
1
(a − b)1+ q
a+b
q
=
f
dt
t−
1
2
2(q + 1) q
p.
Nếu hàm f ∈ L1 [a, b], thì ta có
b
a
b
a+b
a+b
|f (t)| t −
dt ≤ sup t −
2
2
t∈[a;b]
|f (t)|dt =
a
b−a
f
2
1
vậy ta có bất đẳng thức (2.26).
Nhận xét 2.5. Giả sử f là hàm như trên và In là một phân hoạch của [a, b]. Khi
đó ta có
b
f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )
(2.29)
a
với AT (f, In ) là quy tắc trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng thức
|RT (f, In )|
n−1
1
f ∞
h2i ;
4
i=0
n−1
1
q+1 q
1
; với p > 1, p1 + 1q = 1;
f
h
1
p
(2.30)
i
q
2(q+1)
i=0
1 f 1 ν(h),
2
trong đó hi := xi+1 − xi , (i = 0, · · · , n − 1) và ν(h) := max {hi }. Áp dụng đánh
i=0,n−1
giá (2.26) trên đoạn [xi , xi+1 ], ta thu được
xi+1
xi
f (xi ) + f (xi+1 )
f (x)dx − t −
hi
2
1
2(q + 1)
1+ 1q
h
1
i
q
xi+1
1
p
|f (t)|p dt
,
xi
với mọi i ∈ {0, · · · , n − 1}.
Lấy tổng theo i = 0, 1, . . . , n − 1 và áp dụng bất đẳng thức Hă
older ta thu c
n1
1
|RT (f, In )|
2(q + 1)
1
q
1
2(q + 1)
1
q
xi+1
1+ 1q
hi
i=0
n−1
i=0
|f (t)|p dt
1
p
(2.31)
xi
xi+1
xi
|f (t)|p dt
1
p
p
1
p
n−1
i=0
1+ 1
hi q
q
1
q
21
=
1
q
n−1
1
1
f
2(q + 1) q
hq+1
i
p
,
i=0
vậy ta thu được bất đẳng thức (2.30).
2.2.4
Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai
Định lý 2.6. Giả sử hàm f : [a, b] → R có đạo hàm f
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
f (a) + f (b)
b
f
(x)dx
−
(b − a)
a
2
f ∞
(b − a)3
nếu
12
1
1
1
2+
f ” p [B(q + 1; q + 1)] q (b − a) q nếu
2
1 f ” 1 (b − a)2
nếu
8
liên tục tuyệt đối trên [a, b].
f ” ∈ L∞ [a; b];
f ” ∈ Lp [a; b];
(2.32)
f ” ∈ L1 [a; b].
với . p là chuẩn thông thường (p ∈ [1, ∞]) trên Lp [a, b] và B(., .) là hàm Beta của
Euler, nghĩa là
1
tα−1 (1 − t)β−1 dt, α, β > 0.
B(α; β) =
(2.33)
0
Chứng minh. Tích phân từng phần hai lần trên [a, b], ta thu được
b
b
(x − a)(b − x)f ”(x)dx = (b − a)(f (a) + f (b)) − 2
a
f (x)dx,
(2.34)
a
vì vậy
b
a
f (a) + f (b)
f (x)dx −
(b − a)
2
1
2
b
(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx.
a
Nếu hàm f ” ∈ L∞ [a, b] thì
1
2
b
a
b
1
(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx
f” ∞
(x − a)(b − x)dx
2
a
f” ∞
(b − a)3 .
=
12
Vậy ta chứng minh được bất đẳng thức đầu trong (2.32).
(2.35)
22
Nếu hàm f ” ∈ Lp [a, b], thì theo bất ng thc Hăolder ta cú
b
(x a)(b x)|f (x)|dx
a
f
p
b
1
q
(x − a)q (b − x)q dx , p > 1,
1 1
+ =1
p q
a
(2.36)
Sử dụng biến đổi x = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1] ta có
(x − a)q (b − x)q = (b − a)2q tq (1 − tq ), dx = (b − a)dt
Vì vậy
b
(x − a)q (b − x)q dx = (b − a)2q+1 B(q + 1, q + 1).
a
Từ bất đẳng thức (2.35) và (2.36) ta thu được phần hai của bất đẳng thức (2.32).
Nếu hàm f ” ∈ L1 [a, b] thì ta có
b
(x − a)(b − x)|f (x)|dx
max [(x − a)(b − x)] f ”
x∈[a,b]
1
a
(b − a)2
=
f ” 1.
4
Vậy ta thu được bất đẳng thức sau cùng trong (2.32).
Nhận xét 2.6. Giả sử hàm f xác định như trên và In là một phân hoạch của đoạn
[a, b]. Khi đó ta có
b
f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )
(2.37)
a
trong đó AT (f, In ) là cơng thức trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng
thức sau
1
f ” ∞ n−1
h3i ;
i=0
12
1
1
1
q
2q+1
n−1
q
|RT (f, In )| ≤
(2.38)
f ” p [B(q + 1, q + 1)]
hi
,
i=0
2
1 f ” 1 v 2 (h),
8
trong đó hi := xx+1 − xi (i = 0, . . . , n − 1) và v(In ) := max {hi }.
i=0,n−1