Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.74 KB, 42 trang )
19
2.2.3
Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối
Định lý 2.5. Xét hàm f : [a, b] → R
ta có bất đẳng thức sau
f (a) + f (b)
b
(b − a)
a f (x)dx −
2
(b − a)2
f ∞ nếu
4
1
1+
(a − b) q
nếu
1
2(q + 1) q
(b − a) f 1
nếu
2
là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b]. Khi đó
f ∈ L∞ [a; b];
f ∈ Lp [a; b], p > 1,
1 1
+ = 1;
p q
(2.26)
f ∈ L1 [a; b];
với . p là chuẩn thông thường trong không gian các hàm khả tích Lebesgue Lp [a, b].
Nghĩa là,
f ∞ := ess sup |f (t)|,
t∈[a;b]
và
1
p
b
f
p
p
|f (t)| dt
:=
với p ≥ 1.
a
Chứng minh. Tích phân từng phần ta được
b
t−
a
a+b
(b − a)(f (a) + f (b))
−
f (t)dt =
2
2
b
f (t)dt
(2.27)
a+b
|f (t)|dt.
2
(2.28)
a
Từ đẳng thức (2.27) ta thu được bất đẳng thức sau
b
a
f (a) + f (b)
f (t)dt − (b − a)
2
b
t−
a
Nếu hàm f ∈ L∞ [a, b], thì ta có
b
b
(b − a)2
f ∞
.
∞
4
a
a
1 1
Nếu hàm f ∈ Lp [a, b], thỡ theo bt ng thc Hăolder vi p > 1,
+ = 1, ta có
p q
a+b
|f (t)|dt t −
2
a+b
t−
dt = f
2
20
bất đẳng thức
b
|f (t)|dt t −
a
b
a+b
2
a
1
1
(a − b)1+ q
a+b
q
=
f
dt
t−
1
2
2(q + 1) q
p.
Nếu hàm f ∈ L1 [a, b], thì ta có
b
a
b
a+b
a+b
|f (t)| t −
dt ≤ sup t −
2
2
t∈[a;b]
|f (t)|dt =
a
b−a
f
2
1
vậy ta có bất đẳng thức (2.26).
Nhận xét 2.5. Giả sử f là hàm như trên và In là một phân hoạch của [a, b]. Khi
đó ta có
b
f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )
(2.29)
a
với AT (f, In ) là quy tắc trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng thức
|RT (f, In )|
n−1
1
f ∞
h2i ;
4
i=0
n−1
1
q+1 q
1
; với p > 1, p1 + 1q = 1;
f
h
1
p
(2.30)
i
q
2(q+1)
i=0
1 f 1 ν(h),
2
trong đó hi := xi+1 − xi , (i = 0, · · · , n − 1) và ν(h) := max {hi }. Áp dụng đánh
i=0,n−1
giá (2.26) trên đoạn [xi , xi+1 ], ta thu được
xi+1
xi
f (xi ) + f (xi+1 )
f (x)dx − t −
hi
2
1
2(q + 1)
1+ 1q
h
1
i
q
xi+1
1
p
|f (t)|p dt
,
xi
với mọi i ∈ {0, · · · , n − 1}.
Lấy tổng theo i = 0, 1, . . . , n − 1 và áp dụng bất đẳng thức Hă
older ta thu c
n1
1
|RT (f, In )|
2(q + 1)
1
q
1
2(q + 1)
1
q
xi+1
1+ 1q
hi
i=0
n−1
i=0
|f (t)|p dt
1
p
(2.31)
xi
xi+1
xi
|f (t)|p dt
1
p
p
1
p
n−1
i=0
1+ 1
hi q
q
1
q
21
=
1
q
n−1
1
1
f
2(q + 1) q
hq+1
i
p
,
i=0
vậy ta thu được bất đẳng thức (2.30).
2.2.4
Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai
Định lý 2.6. Giả sử hàm f : [a, b] → R có đạo hàm f
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
f (a) + f (b)
b
f
(x)dx
−
(b − a)
a
2
f ∞
(b − a)3
nếu
12
1
1
1
2+
f ” p [B(q + 1; q + 1)] q (b − a) q nếu
2
1 f ” 1 (b − a)2
nếu
8
liên tục tuyệt đối trên [a, b].
f ” ∈ L∞ [a; b];
f ” ∈ Lp [a; b];
(2.32)
f ” ∈ L1 [a; b].
với . p là chuẩn thông thường (p ∈ [1, ∞]) trên Lp [a, b] và B(., .) là hàm Beta của
Euler, nghĩa là
1
tα−1 (1 − t)β−1 dt, α, β > 0.
B(α; β) =
(2.33)
0
Chứng minh. Tích phân từng phần hai lần trên [a, b], ta thu được
b
b
(x − a)(b − x)f ”(x)dx = (b − a)(f (a) + f (b)) − 2
a
f (x)dx,
(2.34)
a
vì vậy
b
a
f (a) + f (b)
f (x)dx −
(b − a)
2
1
2
b
(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx.
a
Nếu hàm f ” ∈ L∞ [a, b] thì
1
2
b
a
b
1
(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx
f” ∞
(x − a)(b − x)dx
2
a
f” ∞
(b − a)3 .
=
12
Vậy ta chứng minh được bất đẳng thức đầu trong (2.32).
(2.35)
22
Nếu hàm f ” ∈ Lp [a, b], thì theo bất ng thc Hăolder ta cú
b
(x a)(b x)|f (x)|dx
a
f
p
b
1
q
(x − a)q (b − x)q dx , p > 1,
1 1
+ =1
p q
a
(2.36)
Sử dụng biến đổi x = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1] ta có
(x − a)q (b − x)q = (b − a)2q tq (1 − tq ), dx = (b − a)dt
Vì vậy
b
(x − a)q (b − x)q dx = (b − a)2q+1 B(q + 1, q + 1).
a
Từ bất đẳng thức (2.35) và (2.36) ta thu được phần hai của bất đẳng thức (2.32).
Nếu hàm f ” ∈ L1 [a, b] thì ta có
b
(x − a)(b − x)|f (x)|dx
max [(x − a)(b − x)] f ”
x∈[a,b]
1
a
(b − a)2
=
f ” 1.
4
Vậy ta thu được bất đẳng thức sau cùng trong (2.32).
Nhận xét 2.6. Giả sử hàm f xác định như trên và In là một phân hoạch của đoạn
[a, b]. Khi đó ta có
b
f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )
(2.37)
a
trong đó AT (f, In ) là cơng thức trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng
thức sau
1
f ” ∞ n−1
h3i ;
i=0
12
1
1
1
q
2q+1
n−1
q
|RT (f, In )| ≤
(2.38)
f ” p [B(q + 1, q + 1)]
hi
,
i=0
2
1 f ” 1 v 2 (h),
8
trong đó hi := xx+1 − xi (i = 0, . . . , n − 1) và v(In ) := max {hi }.
i=0,n−1
