III. Phương pháp nghiên cứu

thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu của luận văn.

CHƯƠNG 1

Trình bày tóm tắt các kết quả nghiên cứu khoa học luận đã có của khái niệm giới hạn, qua đó

làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử tiến triển của nó. Đồng thời

nêu lên các ổ chức toán học tham chiếu liên quan đến khái niệm giới hạn của hàm số. Trong

t

chương gồm các mục :

1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình cải cách

giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000

1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng

1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1



CHƯƠNG 2

Phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với

khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Đầu tiên, chúng tôi phân tích bộ sách giáo khoa của chương

trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và hai bộ sách giáo khoa của chương trình hiện hành, qua đó làm

rõ mối quan hệ thể chế với giới hạn hữu hạn của hàm số, đồng thời cũng làm rõ những tiến triển

trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở thể chế hiện hành so với các thể chế trước kia.

Tiếp theo, chúng tôi đi phân tích một bộ sách giáo khoa Mỹ để làm rõ các ràng buộc của thể

chế và hợp đồng didactic gắn liền với giới hạn hữu hạn của hàm số. Đồng thời so sánh và tổng hợp

với việc nghiên cứu thể chế Việt Nam, qua đó đề ra các giả thuyết nghiên cứu như là hệ quả của

việc phân tích khoa học luận trong chương 1 và phân tích quan hệ thể chế trong chương 2.

Trong chương này gồm các mục :

2.1 Phân tích chương trình

2.2 Phân tích sách giáo khoa

2.3 Kết luận và so sánh

2.4 Câu hỏi nghiên cứu Q2 và giả thuyết nghiên cứu

CHƯƠNG 3

Trình bày vi c nghiên cứu thực tế giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số của giáo viên Việt

ệ

Nam thông qua việc : phân tích tổ chức toán học cần giảng dạy và tổ chức didactic mà giáo viên sử



dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn. Qua đó kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả

thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.

Trong chương gồm các mục :

3.1 Các tổ chức toán học cần xây dựng

3.2 Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn

3.3 Đánh giá tổ chức toán học

3.4 Một số kết luận

KẾT LUẬN

Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương 1, chương 2, chương 3. Đề xuất hướng nghiên cứu

có thể mở ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC



CHƯƠNG 1

TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ CÁC VẤN

ĐỀ ĐẶT RA

Mục tiêu của chương

Chương này có m tiêu là : tóm lại vắn tắt những đặc trưng khoa học luận của khái niệm

ục

giới hạn trong lịch sử đã được tổng hợp từ các công trình nghiên cứu trước đây; Ghi nhận một số kết

quả nổi bật từ việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn của hàm số trong chương

trình chỉnh lí hợp nhất. Từ đó chúng tôi sử dụng các kết quả này làm cơ sở tham chiếu cho việc

nghiên cứu thể chế hiện hành và đặt ra các câu hỏi định hướng cho nghiên cứu trong chương 2.

Chúng tôi t p trung tham khảo và p hân tích hai công trình nghiên ứu trong nước về khái

ậ

c

niệm giới hạn (2004) : Một là luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung; Hai là luận văn thạc sĩ

của Nguyễn Thành Long. Ghi nhận các kết quả về sự vô hạn trong luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị

Phương Mai (2005), các kết quả liên quan đến khái niệm giới hạn trong luận án của Lê Thái Bảo

Thiên Trung (2007).

1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

1.1.1 Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn

Đó chính là khía c vô tận (vô hạn) trong khái niệm này. Tiến trình vô hạn trong khái

ạnh

niệm giới hạn chỉ là một trường hợp đặc biệt của khái niệm vô hạn nói chung. Như vậy có những

quan niệm thế nào về sự vô hạn ?

Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả của một số công trình nghiên cứu về khoa học

luận lịch sử của khái niệm vô hạn, trong luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), tác giả đã

rút ra những quan điểm khác nhau về vô hạn :

« Vô hạn chỉ một dạng vật chất không xác định là cơ sở đầu tiên của thế giới

Vô hạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất cả các số

Vô hạn là một quá trình liên tục, không có điểm kết thúc

Vô hạn là phủ định của hữu hạn

Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả những giới hạn đã biết,

không xác định được ranh giới

Vô hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng

Vô hạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vô hạn »

[8, tr.19-20]

Đối với một tiến trình vô hạn thì các quy tắc đại số đối với các tiến trình hữu hạn không



còn hợp thức. Việc vận dụng vô tình những quy tắc của hữu hạn vào quá trình vô hạn đã dẫn đến sai

lầm thể hiện qua một số nghịch lí như :

« Nghịch lý Asin đuổi rùa : Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa chạy với vận tốc

1km/h. Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là 100km. Hỏi nếu A -sin và rùa xuất

phát cùng một lúc thì A-sin có đuổi kịp rùa không? D. Zenon lý giải rằng, khi A-sin chạy

đến vị trí A (100km) thì rùa đã chạy đến vị trí A 1 (1km), khi A-sin chạy đến A 1 thì rùa đã

chạy đến vị trí A 2 (



1

ậy

ờ

km ), … Do v A -sin không bao gi đuổi kịp rùa. Nghịch lí này

100



xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vô hạn không thể là một số hữu

hạn. » [8, tr.10]

« Nghịch lí chia đôi : Nếu có thể cắt đôi một đối tượng, bằng cách lặp quy trình này một

cách vô hạn, thì về mặt Toán học luôn còn lại một đoạn nào đó. Ngược lại về mặt vật lý

ta biết rằng sẽ có một thời điểm ta không còn có thể cắt đôi được nữa! Khó khăn là ở chỗ

ta không thể trừ một số vô hạn các độ dài ngày càn g bé và khó khăn đ quan niệm tổng

ể

này có thể là một số hữu hạn. » [8, tr.7]

« Nghịch lí 1 = 0 : Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

Ta có : S = (1 – 1) + (1 – 1) + … + (1 – 1) + … = 0 (1)

S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + … + (-1 + 1) + … = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 = 0!

Nghịch lý -2 là số dương: Cho

2



n



3

3

x =1 + +   + ... +   + ... (3)

2 2

2

3



3



n



3

3

⇒ x = +   + ... +   + ... (4)

2

2 2

2

3



3



x là tổng các số dương nên x > 0. Nhưng lấy (3) – (4) ta có x = -2 hay -2 là số dương! »

[6, tr.121]

Các nghịch lí trên chỉ ra rằng các phép toán và quy tắc đại số không hoàn toàn hợp thức cho

việc nghiên cứu các quy trình vô hạn. Trong luận văn của mình, tác giả Nguyễn Thị Phương Mai

cũng đưa ra một nhận định : “Với khái niệm giới hạn thì vô hạn có vai trò vừa như một chướng ngại

vừa như một động cơ. Không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan niệm thỏa đáng

về vô hạn.” [8, tr.9]

1.1.2 Các quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn của hàm số