1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ

21

Định nghĩa 1.1.3. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh

(C0 -nửa nhóm) nếu

lim S(t)x = x, với mọi x ∈ E.

t→0



Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để tốn tử tuyến tính A sinh ra

một C0 -nửa nhóm.

Định lý 1.1.4. [23, Định lý 1.4] Nếu A là một toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm

thì A là một tốn tử tuyến tính đóng và D(A) trù mật trong E.

Mệnh đề dưới đây đưa ra ước lượng về chuẩn toán tử của một C0 -nửa nhóm.

Mệnh đề 1.1.5. [23, Mệnh đề 5.5] Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi

đó tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho

S(t) ≤ M eωt , với mọi t ≥ 0.

Đặc biệt, nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định

mũ ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.

Định nghĩa 1.1.6. Cho {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên E. Nửa nhóm {S(t)}t≥0

được gọi là:

(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ (0, ∞)



t → S(t) ∈ L(E) liên



tục theo chuẩn trong L(E);

(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ E thì ánh xạ t → S(t)x khả vi tại mọi

t > 0;

(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là tốn tử compact với mọi t > 0.

Nếu toán tử sinh của một nửa nhóm tuyến tính là tốn tử bị chặn, nghĩa là

A ∈ L(E), nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A được định nghĩa bởi

∞

tA



S(t) = e



=

n=0



Khi đó



tn A n

, với mỗi t ≥ 0.

n!



22

(i) D(A) = E và {etA }t≥0 là nửa nhóm compact.

(ii) {etA } là nửa nhóm khả vi.

Đặc biệt, nếu E = Rn , do mọi tốn tử tuyến tính trên E đều bị chặn nên A

được biểu diễn thơng qua ma trận cấp n × n. Khi đó ta cũng có dạng biểu diễn

của nửa nhóm sinh bởi A theo biểu diễn chuỗi lũy thừa như trên. Trường hợp

này được xem xét trong chương đầu tiên của luận án.

Ví dụ 1.1.7.



(1) Nửa nhóm tịnh tiến: Xét họ các tốn tử tuyến tính.

S(t) : E → E

(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+ .



Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm và có toán tử sinh là

Af := f ,

với miền xác định

(i) D(A) = {f ∈ Cub (R+ ) : f khả vi và f ∈ Cub (R+ )} nếu E := Cub (R+ )

và

(ii) D(A) = {f ∈ Lp (R+ ) : f liên tục tuyệt đối và f ∈ Lp (R+ )} nếu

E := Lp (R+ ), 1 ≤ p < +∞.

(2) Nửa nhóm sinh bởi tốn tử Laplace: Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với

biên ∂Ω thuộc lớp C 2 . Xét toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet

A := ∆;



D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω).



Khi đó nửa nhóm {etA }t≥0 trên E := L2 (Ω) là compact và ổn định mũ.

Thật vậy, khẳng định được suy ra từ Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8

trong [54]. Cụ thể, tính compact của {S(t)} := {etA } nhận được bởi định lý

Sobolev-Rellich-Kondrachov. Tính ổn định mũ được chứng minh trực tiếp

bởi công thức Green. Với ξ ∈ D(A), đặt u(t) = S(t)ξ. Gọi f : R+ → R+



23

sao cho f (t) = (eλt S(t)ξ



2

L2 (Ω) ) ,



trong đó λ là giá trị riêng đầu tiên của



tốn tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet. Ta có

e−2λt f (t) = 2λ



u(t)2 dx + 2

u(t)2 dx + 2



= 2λ



∇u(t) 2 dx ≤ 0.



u(t)2 dx − 2



= 2λ



Ω



Ω

L2 (Ω)



u(t)∆u(t)dx

Ω



Ω



Từ đó dẫn đến S(t)ξ



u(t)u (t)dt

Ω



Ω



−λt



≤e



ξ



L2 (Ω)



với mỗi ξ ∈ D(A) và t ≥ 0.



Vậy {S(t)}t≥0 là ổn định mũ.



1.1.2



Nửa nhóm phi tuyến



Cho tập hợp D sao cho ∅ = D ⊂ E. Dưới đây ta trình bày các khái niệm

về nửa nhóm phi tuyến khơng giãn, tốn tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến.

Chú ý rằng một nửa nhóm là phi tuyến khi mỗi thành phần của nó khơng còn

thuộc lớp các ánh xạ tuyến tính trên E.

Định nghĩa 1.1.8. Một họ {S(t)}t≥0 các hàm S(t) : D → D được gọi là một nửa

nhóm các ánh xạ khơng giãn trên D nếu

S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0,

S(0) = I,

lim S(t)x = x, ∀x ∈ D,



t→0+



S(t)x − S(t)¯

x ≤ x − x¯ , ∀t ≥ 0, x, x¯ ∈ D.

Nếu bất đẳng thức cuối cùng được thay bởi

S(t)x − S(t)¯

x ≤ eωt x − x¯ , ∀t ≥ 0, x, x¯ ∈ D,

ta gọi {S(t)}t≥0 là nửa nhóm khơng giãn kiểu ω.

Tương tự như trong trường hợp nửa nhóm tuyến tính, ta cũng có khái niệm

về tốn tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến. Tốn tử A0 được gọi là tốn tử

sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó xác định bởi

A0 x = lim+

h→0



S(h)x − x

,

h



24

với những x ∈ D sao cho giới hạn trên tồn tại.

Ta nêu ra định nghĩa về toán tử tăng trưởng và ω-tăng trưởng trên không

gian Banach E. Trước hết, với X, Y là hai khơng gian tuyến tính, kí hiệu X × Y

là tích Cartesian của chúng. Nếu T là một ánh xạ đa trị từ X vào Y , ta có

thể đồng nhất T với đồ thị của nó {(x, y) : x ∈ D(A), y ∈ T x}. Ngược lại

nếu T ⊂ X × Y thì ta xác định được ánh xạ đa trị T trên D(T ) ⊂ X bởi

T x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ T }.

Gọi E ∗ là không gian đối ngẫu của E với chuẩn



·



∗,



và ·, · là tích vô hướng



của cặp đối ngẫu E, E ∗ . Ta kí hiệu J : E → P(E ∗ ) là ánh xạ đối ngẫu của E,

tức là

J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : x, x∗ = x



2



= x∗ 2∗ }.



Định nghĩa 1.1.9. Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E) (hay tập A ⊂ E × E) được

gọi là

(i) tăng trưởng nếu với mọi (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ A, tồn tại w ∈ J(x1 − x2 ) sao

cho

y1 − y2 , w ≥ 0.

Khi đó nếu A là tốn tử tăng trưởng thì ta gọi −A là toán tử tiêu hao;

(ii) ω-tăng trưởng (với ω ∈ R) nếu A + ωI là toán tử tăng trưởng;

(iii) m-tăng trưởng nếu nó tăng trưởng và R(A + I) = E;

(iv) ω-m-tăng trưởng nếu nó là ω-tăng trưởng và m-tăng trưởng.

Về mặt thuật ngữ, ta có thể gọi toán tử A tăng trưởng (ω-tăng trưởng,

m-tăng trưởng, ω-m-tăng trưởng) trên E × E.

Định nghĩa 1.1.10. Tốn tử A : D(A) ⊂ E → P(E ∗ ) (hay tập A ⊂ E × E ∗ )

được gọi là

(i) đơn điệu nếu x1 − x2 , y1 − y2 ≥ 0, ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ A;

(ii) đơn điệu cực đại nếu nó khơng bị chứa trong bất kì một tập đơn điệu nào

của E × E ∗ .



25

Trong trường hợp E = H là một khơng gian Hilbert ta có mệnh đề nói lên

mối liên hệ giữa toán tử m-tăng trưởng và toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.1.11 (Định lý Minty). Cho H là một khơng gian Hilbert và A là một

tốn tử (đa trị) tăng trưởng trên H. Khi đó A là m-tăng trưởng nếu và chỉ nếu

nó là tốn tử đơn điệu cực đại.

Ta thấy rằng nếu nửa nhóm khơng giãn {S(t)}t≥0 nhận A làm một tốn tử

sinh thì A có tính chất tiêu hao (xem [7]). Bây giờ để nói lên mối quan hệ giữa

nửa nhóm phi tuyến khơng giãn {S(t)}t≥0 và toán tử m-tăng trưởng, ta xét bài

toán Cauchy thuần nhất sau:

x (t) + Ax(t)



0,



x(0) = x0 .



(1.1)

(1.2)



Với mỗi x, y ∈ E, ta định nghĩa

[x, y]+ = lim

h↓0



x + hy − x

.

h



Theo [9, trang 102], giới hạn vế phải tồn tại và ta gọi [x, y]+ là tích của hai

phần tử x và y. Sau đây ta đưa ra định nghĩa nghiệm tích phân của bài tốn

(1.1)-(1.2).

Định nghĩa 1.1.12. [9, trang 132] Một hàm x ∈ C([0, T ]; E) với x(0) = x0 được

gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.2) nếu

t



x(t) − u ≤ x(s) − u +



[x(τ ) − u, v]+ dτ, 0 ≤ s ≤ t ≤ T, ∀(u, v) ∈ A.

s



Mệnh đề sau được suy ra từ [9, Định lý 4.1].

Mệnh đề 1.1.13. Giả sử A là một toán tử ω-m-tăng trưởng. Với mỗi x0 ∈ D(A),

tồn tại nghiệm tích phân duy nhất của bài tốn (1.1)-(1.2).

Khi đó ta định nghĩa họ các ánh xạ {SA (t)}t≥0 bởi

SA (t) : D(A) → D(A);

SA (t)x0 = {x(t, x0 ), với x là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2).}



26

Mệnh đề 1.1.14. {SA (t)}t≥0 được xác định ở trên là một nửa nhóm khơng giãn

kiểu ω trên D(A). Khi đó {SA (t)}t≥0 là nửa nhóm sinh bởi tốn tử đa trị −A.

Mệnh đề dưới đây là trường hợp đặc biệt khi toán tử sinh của nửa nhóm là

m-tăng trường, tuyến tính và có miền xác định trù mật.

Mệnh đề 1.1.15. Giả sử A là tốn tử tuyến tính, m-tăng trưởng, có miền xác

định D(A) trù mật trong E. Khi đó nửa nhóm sinh bởi −A là C0 -nửa nhóm

tuyến tính khơng giãn trên E và ánh xạ S(t) là toán tử bị chặn với mỗi t ≥ 0.

Định lý 1.1.16 (Định lý Komura).



(i) Cho A là một tốn tử đơn điệu cực đại



trên khơng gian Hilbert H. Khi đó, D(A) là một tập con lồi, đóng của H

và D(SA ) = D(A).

(ii) Giả sử C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert H và {S(t)}t≥0

là nửa nhóm khơng giãn trên C. Khi đó, tồn tại duy nhất tốn tử đơn điệu

cực đại A trên H sao cho D(A) = C và SA (t) = S(t) với mọi t ≥ 0.

Ví dụ 1.1.17. Đặt

S(t)x =





max(0, x − t)



với x > 0



x



với x ≤ 0.



Khi đó {S(t)}t≥0 là nửa nhóm các ánh xạ phi tuyến khơng giãn trên R với tốn

tử sinh xác định bởi









−1







Ax = [−1, 0]









0



với x > 0

với x = 0

với x < 0.



Một trong những lớp toán tử m-tăng trưởng là các toán tử dưới vi phân, vốn

được mở rộng từ khái niệm đạo hàm Gateaux của một ánh xạ. Gọi H là một

khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (·, ·). Giả sử φ : H → (−∞, +∞] là một

hàm chính thường (tức là D(φ) ∩ R = ∅), lồi và nửa liên tục dưới. Khi đó ta

định nghĩa dưới vi phân ∂φ : H → P(H) là hàm tập

∂φ(x) = {y ∈ H : φ(z) − φ(x) ≥ y, z − x với mọi z ∈ H}.



27

Khi đó bởi [9, Mệnh đề 1.1, Định lý 2.8] và [53, Mệnh đề 2.2.2], ta suy ra

các mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1.18. Hàm φ bị chặn dưới bởi một hàm affin, nghĩa là tồn tại số

α ∈ R và một phần tử x∗ ∈ H sao cho

φ(x) ≥ (x∗ , x) + α.

Mệnh đề 1.1.19. Dưới vi phân ∂φ là tốn tử m-tăng trưởng trên H × H.

Mệnh đề 1.1.20. Nửa nhóm phi tuyến {S(t)} sinh bởi −∂φ là đồng liên tục trên

H, tức là với mọi 0 < a < b và mọi tập D bị chặn trong H, tập S(·)D là một tập

đồng liên tục trong C([a, b]; H). Nếu tập mức Hr = {u ∈ H : u



2

H



+ φ(u) ≤ r}



là tập compact trong H với mỗi r > 0, thì nửa nhóm này là compact, tức là S(t)

là compact với mỗi t > 0.



1.2



ĐỘ ĐO KHƠNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC

LƯỢNG



Độ đo khơng compact (measure of noncompactness - MNC) là một trong

những khái niệm quan trọng trong lý thuyết giải tích đa trị. Trong mục này, ta

đưa ra khái niệm về độ đo không compact, các tính chất của một độ đo khơng

compact và một số ước lượng liên quan (xem [3, 33]).

Định nghĩa 1.2.1. Hàm β : Pb (E) → R+ được gọi là một độ đo không compact

trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb (E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω.

Độ đo β được gọi là

(i) đơn điệu nếu Ω1 , Ω2 ∈ Pb (E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1 ) ≤ β(Ω2 );

(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb (E);

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact

tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb (E);



28

(iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 ∪ Ω1 ) ≤ max{β(Ω0 ), β(Ω1 )} với mọi Ω0 , Ω1 ∈

Pb (E);

(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω1 + Ω2 ) ≤ β(Ω1 ) + β(Ω2 ) với mỗi Ω1 , Ω2 ∈

Pb (E);

(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.

Dưới đây ta chỉ ra hai ví dụ về các độ đo khơng compact thỏa mãn tất cả

các tính chất trên. Đó là độ đo Hausdorff và độ đo Kuratowski, cho phép chúng

ta quan sát một tập bị chặn "gần với" một tập compact như thế nào.

Ví dụ 1.2.2.



(1) Hàm χ : Pb (E) → R+ xác định bởi

χ(B) = inf{ > 0 : B có một -lưới hữu hạn},



được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E.

(2) Hàm β : Pb (E) → R+ xác định bởi

β(B) = inf{d > 0 : B được phủ bởi hữu hạn các tập có

đường kính nhỏ hơn d},

được gọi là độ đo khơng compact Kuratowski trên E.

Từ cách xác định như trên, độ đo χ và β có mối liên hệ với nhau bởi

χ(B) ≤ β(B) ≤ 2χ(B).

Độ đo khơng compact Hausdorff còn được sử dụng để xác định một trong

những đặc trưng quan trọng của tốn tử tuyến tính trên khơng gian Banach.

Đó là chuẩn tốn tử theo độ đo như sau.

Định nghĩa 1.2.3. Cho L : E → E là một tốn tử tuyến tính bị chặn, B ⊂ E là

hình cầu đơn vị trong E. Khi đó

L



χ



được gọi là χ-chuẩn của toán tử L .



:= χ(L(B)),



(1.3)