2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

28

(iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 ∪ Ω1 ) ≤ max{β(Ω0 ), β(Ω1 )} với mọi Ω0 , Ω1 ∈

Pb (E);

(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω1 + Ω2 ) ≤ β(Ω1 ) + β(Ω2 ) với mỗi Ω1 , Ω2 ∈

Pb (E);

(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.

Dưới đây ta chỉ ra hai ví dụ về các độ đo khơng compact thỏa mãn tất cả

các tính chất trên. Đó là độ đo Hausdorff và độ đo Kuratowski, cho phép chúng

ta quan sát một tập bị chặn "gần với" một tập compact như thế nào.

Ví dụ 1.2.2.



(1) Hàm χ : Pb (E) → R+ xác định bởi

χ(B) = inf{ > 0 : B có một -lưới hữu hạn},



được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E.

(2) Hàm β : Pb (E) → R+ xác định bởi

β(B) = inf{d > 0 : B được phủ bởi hữu hạn các tập có

đường kính nhỏ hơn d},

được gọi là độ đo khơng compact Kuratowski trên E.

Từ cách xác định như trên, độ đo χ và β có mối liên hệ với nhau bởi

χ(B) ≤ β(B) ≤ 2χ(B).

Độ đo khơng compact Hausdorff còn được sử dụng để xác định một trong

những đặc trưng quan trọng của tốn tử tuyến tính trên khơng gian Banach.

Đó là chuẩn tốn tử theo độ đo như sau.

Định nghĩa 1.2.3. Cho L : E → E là một tốn tử tuyến tính bị chặn, B ⊂ E là

hình cầu đơn vị trong E. Khi đó

L



χ



được gọi là χ-chuẩn của tốn tử L .



:= χ(L(B)),



(1.3)



29

Ta có mệnh đề sau về ước lượng độ đo không compact của một tập bị chặn

thơng qua một dãy trong tập đó.

Mệnh đề 1.2.4. Cho Ω ⊂ E là một tập bị chặn. Khi đó, với mọi



> 0, tồn tại



một dãy {xn } ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + .

Ở phần tiếp theo trong mục này, ta kí hiệu J = [0, T ].

Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ L1 (J; E). Ta gọi D là tập bị chặn tích phân nếu tồn

tại hàm ν ∈ L1 (J) := L1 (J; R+ ) sao cho

f (t) ≤ ν(t),

với mọi f ∈ D và với hầu khắp t ∈ J.

Mệnh đề 1.2.6 ([33], Định lý 4.2.2). Nếu {wn } ⊂ L1 (J; E) bị chặn tích phân, thì

t



t



≤2



wn (s)ds



χ

0



χ({wn (s)})ds,

0



với t ∈ J.

Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 và Mệnh đề 1.2.6, ta có mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.2.7. Nếu D ⊂ L1 (J; E) sao cho D bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J,

và q ∈ L1 (J; R+ ), thì

t



χ



t



D(s)ds



≤4



q(s)ds



0



0



t



t



với t ∈ J, ở đây

Chứng minh. Với



ξ(s)ds : ξ ∈ D .



D(s)ds =

0



0



> 0, tồn tại một dãy {ξn } ⊂ D sao cho

t



t



D(s)ds ≤ 2χ



χ

0



ξn (s)ds

0



+ ,



30

do Mệnh đề 1.2.4. Áp dụng Mệnh đề 1.2.6, ta có

t



t



D(s)ds ≤ 4



χ

0



χ({ξn (s)})ds +

0

t



≤4



q(s)ds + .

0



Do



là bất kì, ta có điều phải chứng minh.



Hệ quả 1.2.8. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 1.2.7 thỏa mãn. Thêm vào đó,

giả sử E là một khơng gian Banach phản xạ. Khi đó ta có

t



χ



t



D(s)ds



≤2



0



q(s)ds.

0



Ta xét các độ đo không compact trên các không gian hàm C(J; E) và

BC([0, ∞); E) sẽ được sử dụng trong các chương sau. Cho trước L > 0 và

D ⊂ C(J; E), đặt

ωT (D) = sup e−Lt χ(D(t)), với D(t) := {x(t) : x ∈ D},

t∈[0,T ]



modT (D) = lim sup



max



δ→0 x∈D t,s∈[0,T ],|t−s|<δ



x(t) − x(s) .



Theo [33, Ví dụ 2.1.2, 2.1.4], ωT và modT là các độ đo không compact thỏa

mãn tất cả các tính chất phát biểu trong Định nghĩa 1.2.1, ngoại trừ tính chính

quy. Rõ ràng, hai độ đo tương ứng lần lượt đặc trưng cho tính chất compact

tương đối của lát cắt D(t) và tính đồng liên tục của tập D. Từ đó nếu

χT (D) = ωT (D) + modT (D),

thì χT là một độ đo khơng compact chính quy trên C(J; E).

Bây giờ cho E = Rn . Xét không gian BC([0, ∞); Rn ) các hàm liên tục bị

chặn trên đoạn [0, ∞) lấy giá trị trong Rn . Kí hiệu πT là tốn tử hạn chế trên

BC([0, ∞); Rn ), tức là πT (x) là hạn chế của x trên J. Khi đó

χ∞ (D) = sup χT (πT (D)),

T >0



D ⊂ BC([0, ∞); Rn ),



(1.4)



31

là một độ đo khơng compact thỏa mãn các tính chất được đưa ra trong Định

nghĩa 1.2.1, trừ tính chính quy. Thật vậy,







0,







fk (x) = 2t − 2k,









−2t + 2k + 2,



lấy {fk } ⊂ BC([0, ∞); Rn ) như sau

t∈

/ [k, k + 1],

t ∈ [k, k + 1/2],

t ∈ [k + 1/2, k + 1].



Khi đó {πT (fk )} là một dãy compact (hội tụ về 0 trong C(J; R)) với mọi

T > 0 nhưng

sup |fk (t) − fl (t)| = 1,



k = l,



t≥0



do đó {fk } khơng là một dãy Cauchy trong BC([0, ∞); R. Từ đó χT (πT ({fk })) =

0 với mọi T > 0, suy ra χ∞ ({fk }) = 0, nhưng fk không phải là một dãy compact

tương đối.

Chúng ta thiết lập một độ đo không compact trên không gian BC([0, ∞); Rn ).

Ta gọi lại các độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn ) (xem [10, Ví dụ 2.1.4]).

dT (D) = sup sup x(t) ,



d∞ (D) = lim dT (D).

T →∞



x∈D t≥T



(1.5)



Định nghĩa

χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D).



(1.6)



Khi đó χ∗ là một độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn ). Ta sẽ chứng minh

rằng độ đo χ∗ có tính nửa chính quy, tức là χ∗ (D) = 0 kéo theo D là tập compact

tương đối trong BC([0, ∞); Rn ).

Bổ đề 1.2.9. Độ đo khơng compact χ∗ có tính chất nửa chính quy.

Chứng minh. Cho D ⊂ BC([0, ∞); Rn ) là một tập con bị chặn sao cho χ∗ (D) =

0. Ta sẽ chỉ ra rằng D là một tập compact tương đối. Lấy P BC([0, ∞); Rn ) là

không gian các hàm bị chặn, liên tục từng khúc trên R+ , nhận giá trị trong Rn .

Khi đó, P BC([0, ∞); Rn ) là một không gian Banach với chuẩn

x



P BC



= sup x(t) ,

t≥0



32

và chứa không gian con đóng BC([0, ∞); Rn ).

Với > 0, vì d∞ (D) = 0 nên ta có thể chọn T > 0 sao cho supt≥T x(t) < /2

với mọi x ∈ D. Từ đó

x − πT (x)



P BC



< /2,



∀x ∈ D,



ở đó πT là hàm của P BC([0, ∞); Rn ) xác định bởi



x(t), t ∈ [0, T ],

πT (x)(t) =

0,

t > T.

Bây giờ vì D là bị chặn và χT (D) = 0 nên theo định lý Arzelà-Ascoli, πT (D) là

một tập compact tương đối trong C([0, T ]; Rn ), do đó ta có

πT (D) ⊂ ∪N

i=1 BT (xi , /2),

ở đó xi ∈ C([0, T ]; Rn ), i = 1, . . . , N, và BT (x, r) là hình cầu trong C([0, T ]; Rn )

tâm x, bán kính r. Đặt



xi (t), t ∈ [0, T ],

xˆi =

0,

t > T;

n

khi đó {ˆ

xi }N

i=1 ⊂ P BC([0, ∞); R ). Ta suy ra rằng



D ⊂ ∪N

xi , ),

i=1 B∞ (ˆ

ở đây B∞ (x, r) là hình cầu trong P BC([0, ∞); Rn ) tâm x bán kính r. Ta thấy

rằng nếu x ∈ D thì tồn tại k ∈ {1, 2, . . . , N } sao cho

πT (x) − xk

ở đó



·



C



C



< /2,



là chuẩn trong C(J; Rn ). Ta suy ra

πT (x) − xˆk



P BC



< /2.



Từ đó dẫn đến

x − xˆk



P BC



≤ x − πT (x)



P BC



+ πT (x) − xˆk



P BC



≤ /2 + /2 = .



33

xi , ) và do đó D là tập comVì vậy x ∈ B∞ (ˆ

xk , ). Ta có D ⊂ ∪N

i=1 B∞ (ˆ

pact tương đối trong P BC([0, ∞); Rn ). Để chỉ ra D cũng compact tương đối

trong BC([0, ∞); Rn ), ta thấy rằng với mỗi {xn } ⊂ D, tồn tại một hàm x ∈

P BC([0, ∞); Rn ) sao cho

lim xn − x



n→∞



P BC



= lim sup xn (t) − x(t) = 0.

n→∞ t≥0



Vậy dãy {xn } hội tụ đến x đều trên R+ . Vì xn liên tục nên x liên tục, do đó

x ∈ BC([0, ∞); Rn ). Bổ đề được chứng minh.



1.3



GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH

LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG



Trong mục này, một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị và định lý

điểm bất động được trình bày, chi tiết hơn có thể xem trong [33]. Cho Y là một

không gian metric.



1.3.1



Một số vấn đề về giải tích đa trị



Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là tập con đóng

của Y với mọi tập đóng V ⊂ E;

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là tập con đóng của Y với mọi tập đóng

yếu V ⊂ E;

(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập đóng trong Y × E;

(iv) compact nếu F(Y ) compact tương đối trong E;

(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất kì

là compact.

Ta có kết quả sau về điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của một ánh xạ

đa trị.



34

Bổ đề 1.3.2 ([33, Định lý 1.1.12]). Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng,

tựa compact và có giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.3.3 ([11, Mệnh đề 2]). Cho E là một không gian Banach và Ω là một

tập khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử rằng G : Ω → P(E) là

ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu. Khi đó, G nửa liên tục trên yếu nếu

và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) kéo theo tồn tại dãy con

của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0 ).

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết quả được dùng

trong các chương sau của luận án.

Định nghĩa 1.3.4. Hàm F : [0, T ] → K(E) được gọi là hàm đo được mạnh nếu

tồn tại một dãy các hàm đa trị bậc thang {Fn }∞

n=1 sao cho

h(Fn (t), F (t)) → 0, khi n → ∞, h. k. n. t ∈ J,

trong đó h là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp trên K(E).

Định nghĩa 1.3.5. Hàm f : [0, T ] → E được gọi là hàm chọn đo được (tương

ứng, đo được mạnh) của hàm đa trị F : [0, T ] → Kv(E) nếu f đo được (tương

ứng, đo được mạnh) và

f (t) ∈ F (t) h.k.n. t ∈ [0, T ].

Ta kí hiệu tập các hàm chọn đo được của F bởi SF .

Định nghĩa 1.3.6. Một tập con D ⊂ L1 (J; E) được gọi là nửa compact nếu D bị

chặn tích phân và D(t) = {f (t) : f ∈ D} là compact tương đối trong E với hầu

khắp t ∈ J.

Nhắc lại rằng nếu {fn } là một dãy nửa compact trong L1 (J; E) thì {fn }

compact yếu (xem [33]).

Định nghĩa 1.3.7. [33, Định nghĩa 1.3.3] Một họ đếm được các hàm {fn }∞

n=1 ⊂ SF

được gọi là một biểu diễn Castaing của F nếu

∪∞

n=1 fn (t) = F (t)



hầu khắp



t ∈ J.