1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >

3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (773.62 KB, 110 trang )


34

Bổ đề 1.3.2 ([33, Định lý 1.1.12]). Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng,

tựa compact và có giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.3.3 ([11, Mệnh đề 2]). Cho E là một không gian Banach và Ω là một

tập khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử rằng G : Ω → P(E) là

ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu. Khi đó, G nửa liên tục trên yếu nếu

và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) kéo theo tồn tại dãy con

của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0 ).

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết quả được dùng

trong các chương sau của luận án.

Định nghĩa 1.3.4. Hàm F : [0, T ] → K(E) được gọi là hàm đo được mạnh nếu

tồn tại một dãy các hàm đa trị bậc thang {Fn }∞

n=1 sao cho

h(Fn (t), F (t)) → 0, khi n → ∞, h. k. n. t ∈ J,

trong đó h là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp trên K(E).

Định nghĩa 1.3.5. Hàm f : [0, T ] → E được gọi là hàm chọn đo được (tương

ứng, đo được mạnh) của hàm đa trị F : [0, T ] → Kv(E) nếu f đo được (tương

ứng, đo được mạnh) và

f (t) ∈ F (t) h.k.n. t ∈ [0, T ].

Ta kí hiệu tập các hàm chọn đo được của F bởi SF .

Định nghĩa 1.3.6. Một tập con D ⊂ L1 (J; E) được gọi là nửa compact nếu D bị

chặn tích phân và D(t) = {f (t) : f ∈ D} là compact tương đối trong E với hầu

khắp t ∈ J.

Nhắc lại rằng nếu {fn } là một dãy nửa compact trong L1 (J; E) thì {fn }

compact yếu (xem [33]).

Định nghĩa 1.3.7. [33, Định nghĩa 1.3.3] Một họ đếm được các hàm {fn }∞

n=1 ⊂ SF

được gọi là một biểu diễn Castaing của F nếu

∪∞

n=1 fn (t) = F (t)



hầu khắp



t ∈ J.



35

Bổ đề sau được suy ra từ [33, Bổ đề 1.3.3].

Bổ đề 1.3.8. Nếu E là không gian Banach và F : J → K(E) là hàm đa trị đo

được mạnh thì F có biểu diễn Castaing.



1.3.2



Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động



Định nghĩa 1.3.9. Ánh xạ F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là một ánh xạ nén theo

độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.

Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong E, từ Hệ quả 3.3.1 và

Mệnh đề 3.5.1 trong [33] ta có định lý điểm bất động sau.

Định lý 1.3.10. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → Kv(M) là ánh xạ đóng và β-nén. Khi đó, Fix(F) := {x ∈ F(x)} là

tập khác rỗng và compact.

Các nguyên lý điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lý 1.3.10.

Định lý 1.3.11. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact trong E và

F : M → P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi. Khi đó, Fix(F) là tập

khác rỗng.

Định lý 1.3.12. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → M là một ánh xạ liên tục và β-nén. Khi đó, Fix(F) là một tập

compact khác rỗng.

Định lý điểm bất động sau đây là một trường hợp đặc biệt của [33, Hệ quả

3.3.1].

Định lý 1.3.13. Cho M là một tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không

gian Banach E và giả sử ánh xạ đa trị F : M → P(M) là một ánh xạ compact,

nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact. Khi đó Fix(F) là một tập compact

khác rỗng.



36



1.4



TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ



Trong mục này, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút tồn

cục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ của Melnik và Valero (xem [43]). Giả sử Γ

là một nửa nhóm con khơng tầm thường của nửa nhóm cộng tính các số thực

R và Γ+ = Γ ∩ [0, ∞).

Định nghĩa 1.4.1. Ánh xạ G : Γ+ × E → P(E) được gọi là một nửa dòng đa trị

nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. G(0, w) = {w}, với mọi w ∈ E,

2. G(t1 + t2 , x) ⊂ G(t1 , G(t2 , x)), với mọi t1 , t2 ∈ Γ+ , x ∈ E,

trong đó G(t, B) = ∪x∈B G(t, x), B ⊂ E.

Nửa dòng đa trị G được gọi là ngặt nếu G(t1 + t2 , w) = G(t1 , G(t2 , w)) với mọi

w ∈ E và t1 , t2 ∈ Γ+ . G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn

B ⊂ E, tồn tại số T (B) > 0 sao cho γT+(B) (B) là bị chặn. Ở đây, γT+(B) (B) là

tập các quỹ đạo sau thời điểm T (B) : γT+(B) (B) =



G(t, B). G được gọi là

t≥T (B)



tiệm cận trên nửa compact nếu với mỗi B là một tập đóng trong E sao cho với

T (B) > 0, γT+(B) (B) bị chặn, thì mỗi dãy {ξn }, ξn ∈ G(tn , B) với tn → ∞ là tiền

compact trong E.

Mệnh đề 1.4.2. [43, Mệnh đề 1] Giả sử G(t, ·) : E → P(E) là compact khi t = t1

với t1 ∈ Γ \ {0} nào đó. Khi đó nửa dòng đa trị G là nửa compact tiệm cận trên.

Định nghĩa 1.4.3. Một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là tập hấp thụ của nửa

dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại τ = τ (B) ≥ 0 sao cho

γτ+(B) (B) ⊂ B1 .

Định nghĩa 1.4.4. Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng

đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1. A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,

với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng cách

Hausdorff của hai tập con trong E;



37

2. A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ+ .

Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ về sự tồn tại tập hút toàn

cục của một nửa dòng đa trị G.

Định lý 1.4.5. Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất:

1) G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ+ ;

2) G là tiêu hao điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈ G(t, w),

thì u(t)



E



≤ K với t ≥ t0 ( w



E );



3) G là tiệm cận trên nửa compact.

Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút tồn cục compact A trong

E. Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức là A = G(t, A)

với mỗi t ∈ Γ+ .



1.5

1.5.1



MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Một số bất đẳng thức thường dùng



Ta đưa ra một vài bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong luận án: bất

đẳng thức Gronwall , bất đẳng thức Halanay ([28, 29]), bất đẳng thức Poincaré

([48]).

Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối

trên [0; T ] và thỏa mãn

dx

≤ g(t)x + h(t), h.k.n. t ∈ [0, T ],

dt

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó

t



x(t) ≤ x(0)eG(t) +



eG(t)−G(s) h(s)ds,

0



với mọi 0 ≤ t ≤ T , ở đó

t



G(t) =



g(θ)dθ.

0



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (110 trang)

×