3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC

70

Chứng minh. Ta có πt ◦ Σ(ξ) là tập compact trong C([0, t]; X) với mỗi t > 0.

Từ đó suy ra G(t, ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈ X kéo theo G(t, ·) là ánh xạ đa

trị có giá trị compact. Từ Bổ đề 1.3.2, ta cần chỉ ra G(t, ·) là tựa compact và có

đồ thị đóng.

Trước tiên ta chỉ ra rằng G(t, ·) là tựa compact. Giả sử K ⊂ X là tập compact.

Lấy {zn } ⊂ G(t, K), khi đó tồn tại một dãy {ξn } ⊂ K sao cho zn ∈ G(t, ξn ). Giả

sử dãy {ξn } hội tụ đến ξ ∗ trong X. Lấy xn ∈ Σ(ξn ) thỏa mãn

(3.23)



xn (0) = ξn , xn (t) = zn .



Từ Mệnh đề 3.2.8, ta thu được πt ◦Σ({ξn }) compact tương đối trong C([0, t]; X).

Do đó tồn tại dãy con của {xn } (ta vẫn kí hiệu là {xn }) sao cho

πt (xn ) → x∗ trong C([0, t], X).

Kết hợp với (3.23), ta suy ra {zn } hội tụ đến x∗ (t) trong X và x∗ (0) = ξ ∗ .

Ta sẽ chỉ ra G(t, ·) có đồ thị đóng. Lấy dãy {ξn } trong X hội tụ đến ξ ∗ và

ηn ∈ G(t, ξn ) sao cho ηn → η ∗ . Khi đó η ∗ ∈ G(t, ξ ∗ ). Thật vậy, chọn xn ∈ Σ(ξn )

sao cho ηn = xn (t). Theo Bổ đề 3.2.8, {xn } có dãy con hội tụ (vẫn kí hiệu bởi

{xn }). Giả sử x∗ = lim xn , khi đó xn (t) → x∗ (t) trong C([0, t]; X) và η ∗ = x∗ (t).

n→∞



Ta sẽ chứng minh x∗ ∈ πt ◦ Σ(ξ ∗ ). Lấy fn ∈ RG (un ) sao cho

xn (r) = S(t)ξn + W(fn )(r), r ∈ [0, t].



(3.24)



Do (3.16) và {xn } bị chặn, ta có {fn } ⊂ L1 (0, t; X) bị chặn tích phân. Hơn

nữa, K(r) = F ({xn (r)}) là compact và {fn (r)} ⊂ K(r) với mỗi r ∈ [0, t]. Vậy

{fn } là dãy nửa compact. Áp dụng Bổ đề 3.2.6, ta có fn



f ∗ và W(fn ) →



W(f ∗ ). Chuyển qua giới hạn đẳng thức (3.24), ta nhận được

x∗ (r) = S(t)ξ ∗ + W(f ∗ )(r), r ∈ [0, t].

Vì RG là nửa liên tục trên yếu nên f ∗ ∈ RG (u∗ ). Từ đây suy ra x∗ ∈ πt ◦ Σ(ξ ∗ ).

Bổ đề được chứng minh.

Để đưa ra các kết quả về sự tồn tại tập hút tồn cục của nửa dòng đa trị

được sinh ra bởi hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.2), ta cần đưa vào điều kiện

chặt chẽ hơn đối với tốn tử A.



71

(A∗ ) C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, và χ-giảm với

tốc độ mũ β, tức là

S(t)



L(X)



≤ N e−αt , S(t)



ở đây α, β > 0, N, P ≥ 1,



·



χ



χ



≤ P e−βt , ∀t > 0,



là chuẩn toán tử theo độ đo χ được xác



định trong (1.3).

Nếu {S(t)}t≥0 là nửa nhóm compact thì S(t)



χ



= 0, ∀t > 0. Khi đó ta có



β = +∞.

Với T > 0, định nghĩa toán tử tịnh tiến GT = G(T, ·). Ta sẽ chỉ ta tính nén

của tốn tử GT từ đó suy ra sự tồn tại tập hút tồn cục compact của nửa dòng

đa trị G trên X.

Bổ đề 3.3.2. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Nếu β − 4P (p +

qη1

ηB −η2 )



> 0 thì tồn tại T0 > 0 và một số ζ ∈ [0, 1) sao cho với mọi T ≥ T0 ta có

χ(GT (B)) ≤ ζ · χ(B), với mọi tập bị chặn B ⊂ X.



Chứng minh. Lấy B là tập bị chặn trong X. Đặt D = Σ(B), ta có

t



D(t) ⊂ S(t)B +



S(t − s)RG (D)(s)ds, t ≥ 0.



(3.25)



0



Ta có πt (D) bị chặn trong C([0, t]; X) với mỗi t > 0. Vì vậy nếu {S(t)}t≥0

là nửa nhóm compact thì χ(D(t)) = 0. Xét trường hợp {S(t)}t≥0 là nửa nhóm

khơng compact. Từ (3.25) ta có

t



χ(D(t)) ≤ P e−βt χ(B) + χ(



S(t − s)RG (D)(s)ds)

0

t



≤ Pe



−βt



e−β(t−s) χ(RG (D)(s))ds



χ(B) + 4P

0

t



≤ P e−βt χ(B) + 4



eβs (p +

0



qη1

)χ(D(s))ds .

ηB − η2



Do đó ta có

eβt χ(D(t)) ≤ P χ(B) + 4P (p +



qη1

)

ηB − η2



t



eβs χ(D(s))ds.

0



72

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có

eβt χ(D(t)) ≤ P e



qη1

)t

B −η2



4P (p+ η



χ(B).



Từ đây suy ra ước lượng sau

χ(D(t)) ≤ P e



−(β−4P (p+ η



qη1

))t

B −η2



χ(B).



Điều này dẫn đến

χ(Gt (B)) ≤ ζt χ(B),

qη1

))t

B −η2



−(β−4P (p+ η



ở đây ζt = P e



Cuối cùng, chọn T0 >



.



ln P

qη1

β−4P (p+ η −η

)



và ζ = ζT0 , ta nhận được kết luận của



2



B



bổ đề.

Bổ đề 3.3.3. Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 3.3.2 được thỏa mãn. Khi đó G có

một tập hấp thụ nếu α > N (a +



bη1

ηB −η2 ).



Chứng minh. Lấy t > 0 và B là tập bị chặn trong X. Lấy ξ ∈ B, khi đó tồn tại

số dương C sao cho ξ ≤ C, giả sử x là nghiệm của bài toán được cho bởi

t



S(t − s)f (s)ds,



x(t) = S(t)ξ +

0



với f ∈ PG (x). Sử dụng ước lượng (3.16) và giả thiết (A∗ ), ta có

t



x(t)



X



≤ Ne



−αt



ξ



X



e−α(t−s) a +



+N

0



bη1

ηB − η2



x(s)



X



+ d ds.



Bởi đánh giá tương tự như Bổ đề 3.3.2, ta thu được

eαt x(t)



X



≤ N( ξ



X



+



d αt

bη1

(e − 1)) + N (a +

)

α

ηB − η2



t



eαs x(s)



X ds.



0



Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được:

eαt x(t)



X



≤N ξ



X



+ dN (a +



bη1

)

ηB − η2



t



e



bη1

)(t−s)

B −η2



N (a+ η



eαs ds.



0



Từ đó suy ra

x(t)



X



≤N ξ



−αt

+ dN (a +

Xe



bη1

bη1

[N (a+ η −η

)−α]t

2

B

)e

ηB − η2



t



−(N (a+ η



e

0



bη1

)−α)s

B −η2



ds



73



≤ N Ce

≤1+



−αt



+



bη1

bη1

ηB −η2 )

[N (a+ η −η

)−α]t

2

B

e

(−1

bη1

+ ηB −η2 )



dN (a +

α − N (a



+e



bη1

)−α)t

B −η2



−(N (a+ η



)



dN (a(ηB − η2 ) + bη1 )

(α − N a)(ηB − η2 ) − N bη1



với mọi t ≥ τ (B) :=



ln(N d(B))

,

α



ở đó d(B) = sup{ ξ



X



: ξ ∈ B}. Vì vậy, ta có



thể lấy hình cầu tâm O bán kính R là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G với R

dN (a(ηB − η2 ) + bη1 )

được chọn sao cho R > 1 +

.

(α − N a)(ηB − η2 ) − N bη1

Bổ đề 3.3.4. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Nếu β − 4P (p +

qη1

ηB −η2 )



> 0 thì G là nửa compact tiệm cận trên.



Chứng minh. Lấy B là tập bị chặn trong X và ΞB là hợp của tất cả các dãy

{ξk : ξk ∈ G(tk , B), tk → ∞}. Kí hiệu

µ = sup{χ(Ω) : Ω ∈ ΞB }.

Ta sẽ chứng minh µ = 0. Giả sử ngược lại có θ ∈ (0, (1 − ζ)µ), tồn tại Ωθ =

{ξk } ∈ ΞB sao cho

χ(Ωθ ) > µ − θ.

ở đây ζ được cho bởi Bổ đề 3.3.2. Cố định T > 0, với mỗi tk ∈ (T, ∞) tồn tại

số mk ∈ N sao cho tk = mk T + rk , rk ∈ [0, T ). Đặt τk = (mk − 1)T + rk , thì

ξk ∈ G(tk , B) = G(T + τk , B) = GT (G(τk , B)), từ đó ta lấy ηk ∈ G(τk , B) sao cho

ξk ∈ GT (ηk ). Điều này kéo theo

χ(Ωθ ) = χ({ξk })

≤ χ(GT ({ηk })) ≤ ζχ({ηk }) ≤ ζµ < µ − θ.

Từ đó dẫn đến mâu thuẫn.

Kết hợp các Bổ đề 3.3.1, 3.3.3 và 3.3.4, ta có kết luận sau về sự tồn tại tập

hút của nửa dòng đa trị sinh bởi bài tốn.

Định lý 3.3.5. Giả sử (A∗ ), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại một

tập hút tồn cục compact của nửa dòng đa trị G sinh bởi hệ động lực liên kết với

bất đẳng thức vi biến phân (3.1)-(3.2) nếu

bη1

qη1

min{α − N (a +

), β − 4P (p +

)} > 0.

ηB − η2

ηB − η2



74



3.4



ÁP DỤNG



Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn thuộc lớp C 2 . Xét bài toán

sau:

∂Z

(t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x), t ≥ 0, x ∈ Ω,

∂t

f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))], t > 0, x ∈ Ω,



(3.27)



∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x))



(3.28)



g(x, Z(t, x), u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,



(3.26)



Z(t, x) = u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,



(3.29)



Z(0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω,



(3.30)



trong đó f1 , f2 , g : Ω × R × R → R là các hàm liên tục, ψ ∈ H 2 (Ω), ψ(x) ≤

0, ∀x ∈ Ω và β : R → 2R là ánh xạ đa trị







0







β(r) = R−









∅



đơn điệu cực đại

nếu r > 0,

nếu r = 0,

nếu r < 0.



Cho X = L2 (Ω), V = H01 (Ω), H = L2 (Ω), V = H −1 (Ω). Chuẩn trong X và

V lần lượt được cho bởi

|u(y)|2 dy, ∀u ∈ L2 (Ω),



|u|2 =

Ω



|∇u(y)|2 dy, ∀u ∈ H01 (Ω),



u =

Ω



Ta định nghĩa hàm đa trị sau:

F : X × V → P(X),

¯ u¯)(x) = {λf1 (x, Z(x),

¯

¯

F (Z,

u¯(x)) + (1 − λ)f2 (x, Z(x),

u¯(x)) : λ ∈ [0, 1]}.

Khi đó bài tốn (3.26) và (3.27) được viết lại thành

Z (t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)), t ≥ 0,



75

ở đó A = ∆, D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), Z(t) ∈ X, u(t) ∈ V sao cho Z(t)(x) =

Z(t, x), u(t)(x) = u(t, x). Do Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong [54], nửa nhóm

S(t) = etA được sinh bởi toán tử A là compact và ổn định mũ, cụ thể

S(t)

với λ1 := inf{ ∇u



2

X



L(X)



: u ∈ H01 (Ω), u



X



≤ e−λ1 t ,

= 1}. Điều kiện (A∗ ) được thỏa mãn



với α = λ1 .

Giả sử tồn tại các hàm không âm a1 , a2 , b1 , b2 ∈ L∞ (Ω), c1 , c2 ∈ L2 (Ω) sao

cho

|f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x),

|f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|p| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p, q ∈ R.

Ta thấy rằng ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact. Hơn nữa ta còn có

¯ u¯) ≤ max{ a1

F (Z,



∞,



+ max{ b1

≤ max{ a1

+



a2



∞,

∞,



∞}



b2

a2



max{ b1 ∞ , b2

√

λ1



Z¯



u|

∞ }|¯

∞}

∞}



+ max{|c1 |, |c2 |}



Z¯

u¯ + max{|c1 |, |c2 |}.



Ta có, vì f1 và f2 liên tục nên F có đồ thị đóng. Thêm vào đó, nếu {Z¯n } ⊂ X

và {¯

un } ⊂ V , ta có thể tìm được dãy fn ∈ F (Z¯n , u¯n ) hội tụ trong X do định

lý hội tụ trội Lebesgue. Theo Bổ đề 1.3.2, F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.

Vậy điều kiện (F) được thỏa mãn.

Ta xét bất đẳng thức biến phân elliptic (3.28). Đặt B := −∆ : V → V , ở

đây −∆ là toán tử Laplace được xác định như sau

∇u∇vdy, với mỗi u, v ∈ H01 (Ω).



u, −∆v :=

Ω



Dễ thấy u, Bu = u



2

.

H01 (Ω)



Từ đó, giả thiết (B) được thỏa mãn với ηB = 1.



Đối với g, giả sử tồn tại các hàm không âm η1 , η2 ∈ L∞ (Ω) sao cho:

|g(x, p, q) − g(x, p , q )| ≤ η1 (x)|p − p | + η2 (x)|q − q |, ∀x ∈ Ω, p, q, p , q ∈ R.



76

Ta viết lại g dưới dạng sau:

g : X × V → H,

¯ u¯)(x) = g(x, Z(x),

¯

g(Z,

u¯(x)),

Từ đó ta nhận được

g(Z¯1 , u¯1 ) − g(Z¯2 , u¯2 )



2



≤ η1



∞



Z¯1 − Z¯2



X



+ η2



u¯1 − u¯2



X,



≤ η1



∞



Z¯1 − Z¯2



X



η2 ∞

+ √

u¯1 − u¯2

λ1



V,



∞



với mọi Z¯1 , Z¯2 ∈ X, u¯1 , u¯2 ∈ V . Từ đó suy ra giả thiết (G) được thỏa mãn. Biến

đổi tương tự như Mệnh đề 2.11 trong [9], bất đẳng thức biến phân (3.28) được

viết lại thành

Bu(t) + ∂IK (u(t))



g(Z(t), u(t)),



trong đó

K = {u ∈ H01 (Ω); u(x) ≥ ψ(x) với hầu khắp x ∈ Ω}.

Chúng ta đi đến kết quả dưới đây nhờ áp dụng Định lý 3.3.5.

Định lý 3.4.1. Nếu η2

λ1 > max{ a1



2

∞

∞,



< λ1 và

a2



∞}



+ max{ b1



∞,



b2



∞



η1 ∞

}√

λ1 − η2



∞



thì tồn tại một tập hút toàn cục compact trong L2 (Ω) của nửa dòng đa trị sinh

bởi bài tốn (3.26)-(3.30).

Kết luận Chương 3

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của một lớp bất

đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic. Các kết quả thu được bao gồm:

1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục (Định lý 3.2.7).

2) Xây dựng nửa dòng đa trị của hệ động lực sinh bởi bài tốn và các tính

chất của nửa dòng đa trị đó (Bổ đề 3.3.1, Bổ đề 3.3.2).



77

3) Chỉ ra sự tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị cho

hệ động lực liên kết với bài toán (Định lý 3.3.5).

Trong Chương 3, dưới các giả thiết phù hợp, chúng tôi đã đưa bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-elliptic về bao hàm thức vi phân. Từ đó, chúng tơi

sử dụng các kĩ thuật của giải tích đa trị, các đánh giá thơng qua độ đo không

compact để nhận được kết quả về sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại một tập hút

toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài tốn. Yếu tố ràng buộc u được xác

định duy nhất thông qua hàm trạng thái. Đó là cơ sở để nghiên cứu hệ động lực

đối với thành phần động lực x(·) của nghiệm bất đẳng thức vi biến phân. Các

khảo sát được thực hiện khi bài toán được chuyển về bao hàm thức vi phân nửa

tuyến tính với tốn tử tuyến tính sinh ra một C0 -nửa nhóm.



Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC

TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Cho X là không gian Banach với chuẩn



·



X,



U và H là các không gian



Hilbert thực, U trù mật trong H và phép nhúng U ⊂ H là liên tục. Chuẩn của

U và H lần lượt là ·



U



và | · |. Không gian Hilbert H đồng nhất với khơng gian



đối ngẫu của nó và gọi U là không gian đối ngẫu của U . Ta có bộ ba tiến hóa

U ⊂H=H ⊂U.

Kí hiệu tích vơ hướng trong H và tích vơ hướng của cặp đối ngẫu (U, U ) là ·, · .

Bài toán được nghiên cứu trong chương này là một DVI khi ràng buộc u(·) là

nghiệm của bất đẳng thức biến phân tiến hóa dạng parabolic. Do đó ta gọi đây

là bất đẳng thức vi biến phân kiểu parabolic-parabolic.

Hệ parabolic-parabolic là một mơ hình với nhiều ứng dụng trong hóa sinh

(các hệ Keller-Segel), trong các bài toán tương tác quần thể, các q trình hóa

học có số hạng bình lưu,... Điểm đặc biệt trong mơ hình parabolic-parabolic của

chúng tơi là tổng qt hóa được một lớp bài tốn parabolic-parabolic trước đó

thơng qua dạng hệ hai bao hàm thức vi phân. Trong đó, DVI-PP bao gồm bao

hàm thức parabolic theo nghĩa Fillipov (xem [24]) liên kết với bao hàm thức

parabolic phi tuyến chứa toán tử tăng trưởng ở dạng dưới vi phân (xem [7]).

Đây là lần đầu tiên mơ hình như vậy được xét đến.

Mục đích của chương này nhằm thiết lập kết quả về tính giải được và sự tồn

tại một tập hút tồn cục của nửa dòng đa trị liên kết với bài tốn. Các kết quả

được trình bày dựa trên cơng trình ở dạng tiền ấn phẩm [3] trong Danh mục

các cơng trình khoa học liên quan đến luận án.

78



79



4.1



ĐẶT BÀI TỐN



Xét bài tốn DVI dạng parabolic-parabolic như sau

x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)),



(4.1)



u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t))



(4.2)



x(0) = x0



h(x(t)),



và u(0) = u0 ,



(4.3)



trong đó φ : H → R là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới, A : D(A) ⊂

X → X là tốn tử tuyến tính, B : U → U và h : X → H là các hàm liên tục

cho trước. Hàm F là hàm đa trị xác định trên X × U .

Từ khái niệm của dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức tiến hóa (4.2) có thể được

viết lại ở dạng bất đẳng thức như sau

u (t) + Bu(t) − h(x(t)), v − u(t) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ H.

Trong trường hợp đặc biệt φ = IK với K là tập lồi, khác rỗng và đóng trong

H, bài tốn có dạng như sau

x (t) ∈ Ax(t) + F (x(t), u(t)), t > 0, x(t) ∈ X,

u(t) ∈ K, ∀t > 0,

u (t) + Bu(t), u(t) − z) ≤ (h(x(t)), u(t) − z , ∀z ∈ K,

x(0) = x0 , u(0) = u0 .

Kí hiệu BH là toán tử hạn chế của toán tử B sao cho tập giá trị của nó nằm

trong H, tức là

BH : D(BH ) ⊂ U → H,

BH u = Bu với u ∈ D(BH ),

D(BH ) = {u ∈ U : Bu ∈ H}.

Ta xét các giả thiết cho bài toán (4.1)-(4.3) như sau:

(A) Toán tử A sinh ra một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X.



80

(B) Tốn tử B : U → U là tốn tử tuyến tính liên tục, đối xứng thỏa mãn

(B1) điều kiện cưỡng

Bu, u ≥ ω u



2

U;



với số ω > 0 nào đó;

(B2) D(BH ) ∩ D(φ) = ∅ và tồn tại θ ∈ H sao cho

φ((I + λBH )−1 (x + λθ)) ≤ φ(x) + Cλ(1 + φ(x)), ∀x ∈ D(φ), λ > 0.

(F ) Ánh xạ đa trị F : X ×H → P(X) nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact,

khác rỗng và thỏa mãn các điều kiện

(F 1) tồn tại các hằng số η1F > 0, η2F > 0, a ≥ 0, sao cho bất đẳng thức

sau được thỏa mãn với mọi x ∈ X, u ∈ H

F (x, u) := sup{ ξ



X



: ξ ∈ F (x, u)} ≤ η1F x



X



+ η2F |u| + a;



(F 2) tồn tại các hằng số p > 0 và q > 0 sao cho

χ(F (B, D)) ≤ pχ(B) + qϑ(D), ∀B ∈ Pb (X), D ∈ Pb (H);

trong đó χ và ϑ lần lượt là kí hiệu các độ đo khơng compact Hausdorff

trên khơng gian X và H.

(H) Ánh xạ h : X → H liên tục, thỏa mãn điều kiện h(0) ∈ ∂φ(0) và tồn tại

các số ηh > 0, b ≥ 0 sao cho

|h(x)| ≤ ηh x



X



+ b.



Nhận xét 4.1.1. (1) Trong trường hợp φ = IK , với K là tập con lồi, đóng

khác rỗng của H, (H) được thay thế bởi điều kiện sau: Tồn tại phần

tử θ ∈ H sao cho

(I + B)−1 (y + θ) ∈ K,



∀ > 0, ∀y ∈ K.



(4.4)