Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH

Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM

Giả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại  

với thành phần vật liệu chỉ  thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ  theo quy  

luật lũy thừa như sau:

k



�2 z + h � V ( z ) = 1 − V ( z ),

Vc ( z ) = �

c

�, m

� 2h �  

trong đó   −h / 2



z



h / 2 , và   k



(1.1)



0   là chỉ  số  tỉ  phần thể  tích  xác định sự 



phân bố vật liệu theo bề dày  h  của vỏ FGM. Các chỉ số dưới  c, m  kí hiệu 

tương ứng là thành phần gốm và kim loại.

Các tính chất hiệu dụng  Preff  của vật liệu FGM được xác định bởi 

công thức:

Preff ( z ) = Prc Vc ( z ) + Prm Vm ( z )



  (1.2)



Theo quy luật đã nêu như trên, ta có mơ đun đàn hồi Young  E ( z )  và 

mật độ khối  ρ ( z )  được viết dưới dạng sau:



6



k



�2 z + h �

E ( z ) = E m + Ecm �

�

� 2h �

k

�2 z + h �

ρ ( z ) = ρ m + ρ cm �

�

� 2h �



(1.3) 



trong đó  E = E − E ,  ρ = ρ − ρ .

cm

c

m

cm

c

m

 Hệ số Poisson υ  giả thiết là hằng số.

1.1.2. Phương trình cơ bản

Sử  dụng lý thuyết vỏ  Donnell cùng với kỹ  thuật san đều tác 

dụng gân để  thiết lập phương trình chủ  đạo của vỏ. Vì vậy biến 

dạng dài và biến dạng trượt tại điểm bất kì cách mặt trung bình một  

khoảng  z  có dạng [1]:



ε x = ε xm + zk x ,

ε θ = ε θ m + zkθ ,



(1.4)



γ xθ = γ xθ m + 2 zk xθ ,

trong đó  ε xm , ε θ m  là biến dạng dài và  γ xθ m là biến dạng trượt tại mặt trung 

bình của vỏ;   k x , kθ   và   k xθ   tương  ứng là biến thiên của độ  cong và độ 

xoắn. Các thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]

     ε xm = u, x ,



εθ m =

     γ xθ m =



1

u w

v,θ + + cot gα ,

x sin α

x x

1

v

u,θ − + v, x ,

x sin α

x



và 



7



(1.5)



      k x = − w, xx ,

kθ = −

     k xθ = −



w, x

1

cos α

w

+

v

−

,

,

θθ

,

θ

x 2 sin 2 α

x 2 sin 2 α

x



(1.6)



1

1

cos α

cos α

w, xθ + 2

w,θ +

v, x − 2

v,

x sin α

x sin α

x sin α

x sin α



Liên hệ giữa ứng suất – biến dạng theo định luật Hooke đối với vỏ 

nón FGM cho bởi

    σ xsh =



E ( z)

( ε x + υεθ ) ,

1−υ2



σ θsh =

sh

     σ xθ =



E ( z)

( εθ + υε x ) ,

1−υ2



(1.7)



E( z)

γ xθ ,

2( 1 + υ )



và đối với gân 



σ xs = Esε x ,



σ θs = Erε θ ,



   (1.8)



trong đó các chỉ số  sh  và  s tương ứng kí hiệu là vỏ và gân,  Es  và  Er tương 

ứng là mơ đun đàn hồi của các gân theo phương  x  và theo phương  θ . Để 

đảm bảo sự  liên tục giữa gân và vỏ, các gân được gắn vào sẽ  là gân kim 

loại ở mặt kim loại, và gắn gân bằng gốm nếu mặt vỏ gốm. 

Để  tính đến tác dụng của các gân ta sử  dụng kỹ  thuật san đều tác  

dụng gân và bỏ  qua sự  xoắn của gân bởi vì các hằng số  xoắn này là nhỏ 

hơn rất nhiều so với momen qn tính. Thêm vào nữa, sự  thay đổi của 

khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến. Lấy 

tích phân các phương trình liên hệ   ứng suất ­ biến dạng và momen của  

8



chúng theo bề dày của vỏ  ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen 

và các lực cắt của vỏ nón ES ­ FGM như sau:

�

EA �

ε xm + A12εθ m + [ B11 + C1 ( x )] k x + B12kθ ,

    N x = �A11 + s 1 �

d

(

x

)

�

1

�

�

EA �

Nθ = A12ε xm + �A22 + r 2 �

εθ m + B12k x + ( B22 + C2 )kθ ,

d2 �

�



(1.9)



     N xθ = A66γ xθ m + 2 B66k xθ ,

�

EI �

k x + D12 kθ ,

  M x = [ B11 + C1 ( x ) ] ε xm + B12εθ m + �D11 + s 1 �

d

(

x

)

�

1

�

�

EI �,

M θ = B12ε xm + ( B22 + C2 )ε θ m + D12 k x + �D22 + r 2 �

kθ

d

�

2 �



(1.10)



M xθ = B66γ xθ m +2 D66 k xθ ,

trong đó các hệ số  Aij , Bij  và  Dij được cho bởi công thức sau

A1 = b1h1 ,  A2 = b2 h2 ,  z1 =



d2 =



I1 =



h + h1

h + h2 C =

,  z2 =

, 2

2

2



L

2π sin α

C10 C 0 =

λ

=

,  0

,  C1 ( x) =

,  1

nr

ns

x

 



Er A2 z2

,  d1 ( x) = λ0 x , 

d2



Es A1 z1

.

λ0



1

1

b1h13 + A1 z12 ,   I 2 = b2 h23 + A2 z22 ,

12

12



A11 = A22 =



E1

E1

υ E1

A

=

A

=

, 

, 

,

66

12

2(1 + υ )

1−υ2

1−υ2



B11 = B22 =



E2

E2

υ E2

B

=

B

=

, 

, 

,

66

12

2(1 + υ )

1−υ2

1−υ2

9



(1.11)



D11 = D22 =



E3

E3

υ E3

D

=

D

=

, 

, 

,

66

12

2(1 + υ )

1−υ2

1−υ2



và

E1 = Em h +



Ecm h

, 

k +1



� 1

1 �

E2 = Ecm h 2 �

−

,

(k + 2) (2k + 2) �

�

�

E3 =



(1.12)



1

1  .

1

1

−

+

Em h3 + Ecm h3

k + 3 k + 2 (4k + 4) 

12

Ở đây kí hiệu  ns , nr  tương ứng là số gân dọc theo đường sinh và số 



gân vòng;   h1 , b1   là bề  dày, chiều rộng của gân dọc (theo phương   x ) và 

h2 , b2  là bề  dày, chiều rộng của gân vòng (theo phương  θ ). Và  d1 = d1 ( x) , 

d 2   tương  ứng là khoảng cách giữa hai gân dọc và hai gân vòng. Các đại 

lượng   A1 , A2   là phần diện tích mặt cắt ngang của các gân .   I1 , I 2   là các 

momen qn tính bậc hai của phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung 

bình của vỏ; và  z1 , z2  biểu diễn độ lệch tâm của các gân dọc và gân vòng so 

với mặt giữa của vỏ. 

Phương trình chuyển động đối với  bài tốn dao động tự do của vỏ 

nón cụt ES ­ FGM  có dạng  [2,3]

Nx

1

N xθ

Nθo � 2u

w�

+

+ 2 2 � 2 − x cos α sin α

1)   

�

x x sin α θ

x sin α � θ

x�



     



1

ρ �

v �

ρ 3 � 2u

�

+ ( N x − Nθ ) + 2 �ρ 2 + 3 �

Ω sin α

− ρ 2 + � 2 = 0,

x

x �

t �

x �t

�

�



10



   



2)   



N xθ

1

Nθ cot α M xθ

cos α M θ

+

+

+ 2 2

x

x sin α θ

x

x

x sin α θ

2

Nθo

u

u

v

+ 2 2

x sin α

+ sin α

+ x sin 2 α

x sin α

x θ

θ

x



       +



2 N xθ

x



ρ3 ��

u

w� �

ρ3 � 2v

�

−2Ω �ρ 2 + ��

sin α

+ cos α

�− ρ 2 + � 2 = 0,

x ��

t

t ��

x �t

�

�

3)    



2



Mx

2

+

2

x

x sin α



2



M xθ

1

+ 2 2

θ x x sin α



2



Mθ 2 M x

+

θ2

x x



2

u�

1 Mθ

Nθo � w

             −

              

+ 2 2 � 2 − x sin α cos α �

x�

x x

x sin α � θ



cot α

Nθo

Nθ

             + 2 2 ( w cos 2 α + u sin α cos α ) −

x

x sin α



ρ �

ρ � 2w

v �

�

− �ρ 2 + 3 � 2 = 0,                             (1.13)

             +2 �ρ 2 + 3 �Ω cos α

x �

x �t

t �

�

ρ �2 2 2

�

0

Ω x sin α ,   Ω  (rad/s) là tốc độ quay của vỏ nón.

trong đó   Nθ = �ρ 2 + 3 �

x

�

�

A2

ρ s A1

ρ − ρm �

�

ρ 2 = �ρm + c

�h + ρ r d ,   ρ3 = λ .

k +1 �

�

2

0



(1.14)



 Ở đây  ρ r , ρ s là mật độ khối của gân vòng và gân dọc tương ứng.



 



1.2. Phương pháp giải

Trong phần này phương trình xác định tần số  dao động của vỏ  nón 

cụt ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích.



11



1.2.1.  Điều kiện biên

Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu. Khi đó điều kiện biên 

được viết dưới dạng như sau:

v = 0,    w = 0       tại  x = x0 ,   x0 + L ,

N x = 0,   M x = 0  tại  x = x0 ,   x0 + L .



(1.15)



1.2.2. Dạng nghiệm

Nghiệm gần đúng thỏa mãn các điều kiện biên (1.15) có thể chọn 

dưới dạng 

u = U cos

v = V sin



mπ ( x − x0 )

cos(nθ + ωt ),

L



mπ ( x − x0 )

sin(nθ + ωt ),

L



w = W sin



(1.16)



mπ ( x − x0 )

cos(nθ + ωt ),

L



trong đó  m, n  lần lượt là số nửa sóng hướng theo dọc đường sinh vỏ nón  

và số  sóng theo hướng vòng tương  ứng;  ω  (rad /s) là tần số riêng của vỏ 

nón quay.

 



1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng 

Trước hết  thế  các phương trình liên hệ  giữa nội lực, momen với 



biến dạng ở (1.9) và (1.10) vào hệ phương trình (1.13)  ta được 

T11 (u ) + T12 (v) + T13 ( w) = 0,



      



(1.17)



T21 (u ) + T22 (v) + T23 ( w) = 0,



      



(1.18)



T31 (u ) + T32 (v) + T33 ( w) = 0,



     



12



(1.19)



trong đó 

�

Es A1 � 2

1

ρ3 � 2 

�

Ω 

   T11 = �A11 +

� 2 + 2 2 A66 + �ρ2 + �

λ

x

x

sin

α

x

x

�

�



0

�

�

           −



1

x2



2



θ



2



+



A11

x x



�

Er A2 �

ρ3 2

A

+

,

� 22

�−( ρ + )

d2 � 2 x t 2

�



1

cotα 

T12 =

( A12 + A66 ) +( B12 + 2 B66 ) 2

x sin α

x sin α 



2



x θ



�

�

Er A2

cotα 

+ A66 �+( B12 + 2 B66 + B22 + C2 ) 3

�A22 +

d2

x sin α 

�

�



−



1

x 2 sin α



θ



ρ �

�

+2 �ρ 2 + 3 �Ω sin α ,

x �

t

�

3

�

C0 � 3

1

1

B11 2

T13 = − �B11 + 1 � 3 − 2 2 (B12 + 2 B66 )

+

−

3

2

x �x

x sin α

x θ2

x x 2 x sin α

�



(B12 + 2B66 + B22 + C2 )



2



θ2



+



1

1

A12 cot α + 2 ( B22 + C2 )

x

x



ρ �

�

− �ρ 2 + 3 �Ω 2 xcosα sin α 

x �

�

T21 =



x



−



Er A2 �

cot α �

A

+

�

�,

22

d2 �

x2 �



1

ρ �2



cot α

�

( A12 + A66 ) + 2

(B12 + B66 ) + �ρ 2 + 3 �

Ω x sin α 

x sin α

x �

x sin α

�





              +



1

x sin α

2



�

� cot α

Er A2

+ A 66 �+ 3

( B22 + C2 − B66 )

�A22 +

d

x

sin

α

�

2

�



ρ �

�

+ 3 �Ω 2 sin α 

x �

�



                        + �

ρ2



ρ �

�

−2 �ρ 2 + 3 �Ω sin α ;

x �

θ

t

�



13



2



x θ





2cot 2 α

3cot α

D66 

T22 = A66 +

B66 +

2

x

x





2



x2



+



1

x sin 2 α

2



�

Er A2 �

�A22 +

�

d2 �

�



2



Er I 2 �

2cot α

cot 2 α �

+ 3 2 ( B22 + C2 ) + 4 2 �D22 +



�

2

d2 �

x sin α

x sin α �

 θ



+



1

ρ3 � 2



cot α

�

4cot 2 α

2

A66 − 2 B66 −

+

ρ

+

Ω

x

sin

α

D

2

�

�



66

x

x �

x

x3

�





x



 �

4cot 2 α

1

ρ3 � 2

cot α

D

−

ρ

+

+ − 2 A66 + 3 B66 +

66 

�2

� 2,

x

x4

x

x

�

�t



T23 = −



1

cot α 

( B12 + 2 B66 ) + ( D12 + 2 D66 ) 2

x sin α

x sin α 



3



x2 θ



3



1

Er I 2 �

cot α �

             − 3

( B22 + C2 ) + 4 3 �D22 +



�

3

x sin 3 α

d2 �

x sin α �

 θ



             +



−



1

cot α

( B22 + C2 ) + 3

2

x sin α

x sin α



2



�

Er I 2 �

4

D

−

D

−



� 66

�

22

d2 �

�

 x θ





cot α �

Er A2 � 4cot α

cot 2 α

             +

( B22 + C2 ) 

D66 + 3

�A22 +

�− 4

2

x sin α �

d 2 � x sin α

x sin α





ρ �

�

+ 3 �Ωcosα ,

x �

t

�



               −2 �

ρ2



2

3

�

C10 � 3 2

( B12 + 2 B66 )

1

T31 = �B11 +

+

+

B

+ 3 2

� 3

11

2

2

2

2

x �x

x sin α

x sin α

x

x

x θ

�



( B22 + C2 − 2 B66 )



2



θ2



−



cot α

1

A12 + 2 ( B22 + C2 ) +

x

x



14



θ



ρ3 � 2

�

�ρ 2 + �Ω x sin α cosα 

x �

�



x



+



EA �

1

cot α �

( B22 + C2 ) − 2 �A22 + r 2 �

3

d2 �

x

x �



ρ �

�

+ �ρ 2 + 3 � Ω 2 sin α cosα ,

x �

�

1

cotα 

T32 =

( B12 + 2 B66 ) + ( D12 + 4 D66 ) 2

x sin α

x sin α 



3



x2 θ



3



1

Er I 2 �

cotα �

+ 3 3 ( B22 + C2 ) + 4 3 �D22 +



�

3

x sin α

d2 �

x sin α �

 θ



     −



+



−



cotα

x3 sin α



2cot α

x 4 sin α



�

EI �

1 

2( D12 + 4 D66 ) + D22 + r 2 �+ (B22 + C2 +2 B66 ) 2

�

d2 �

x sin α 

�



�

Er I 2 � (1 − cot 2 α )( B22 + C2 ) + 2 B66

D

+

4

D

+

D

+

� 12

�+

66

22

d2 �

x3 sin α

�





cot α �

Er A2 �

ρ �

�

A

+

+2 �ρ 2 + 3 �Ωcosα ,



� 22

�

2

x sin α �

d2 �

x �

t

�

 θ



�

�

Es I1 � 4

Er I 2 � 4 2( D12 + 2 D66 )

1

T33 = − �D11 +

D

+

−

� 4

� 22

� 4 −

4

4

λ

x

x

d

x

sin

α

x 2 sin 2 α

0

�

2 �θ

�

�

3

3

2

2

− D11 3 + 3 2 ( D12 + 4 D66 )

x sin α

x2 θ 2 x

x

x θ2

4



2



1�

Er I 2 �

2cot α

+ 2 �D22 +

( B22 + C2 )

+



�

3

2

2

x �

d2 �

x

sin

α

x





15



+



2cot α

B12

x



2



x θ



−



−



�

Er I 2 � �

ρ3 � 2 

2

Ω

�D12 + 4 D66 + D22 +

�+ �ρ 2 + �

4

2

d2 � �

x � 

x sin α �



2



θ2



1�

Er I 2 �

Er A2 �

cot α

cot 2 α �

D

+

A

+

+

(

B

+

C

)

�

�

�

22

2 −

22

3 � 22

3

x �

d2 � x

d2 �

x

x2 �



ρ3 � 2 2  � ρ3 � 2

�

+ �ρ 2 + �

Ω cos α  − �ρ 2 + � 2 .

x �

x � t

�

 �

Do điều kiện  x 0 x x 0 + L , tức là  x 0  và để thuận lợi trong vi ệc 

tính tích phân, ta nhân phương trình (1.17) với   x 2   và nhân các phương 

trình (1.18), (1.19) v ới   x 3 . Thay nghiệm (1.16) vào hệ  phương trình hệ 

quả và áp dụng phương pháp Galerkin cho các phương trình đó, tức là

Φ1cos

�

�

�

t F



mπ ( x − x0 )

cos(nθ + ωt ) dFdt = 0

L



Φ 2sin

�

�

�



mπ ( x − x0 )

sin(nθ + ωt ) dFdt = 0,

L



Φ 3sin

�

�

�



mπ ( x − x0 )

cos(nθ + ωt ) dFdt = 0

L



t F



t F



(1.20)



      



trong đó   F  là diện tích thiết diện theo phương dọc đường sinh và theo 

phương vòng của vỏ nón ( dF = dθ dx ) và 

  Φ1 = x 2 [ T11 (u ) + T12 (v) + T13 ( w) ] ,

Φ 2 = x 3 [ T21 (u ) + T22 (v) + T23 ( w) ] ,

  Φ 3 = x 3 [ T31 (u ) + T32 (v) + T33 ( w)] .



16



     



 (1.21)