1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU

Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU

Tải bản đầy đủ - 0trang

7



ii) ( u + v,w ) = ( u,w ) + ( v,w ) , ∀u,v,w ∈ H ,

iii) ( λu,v ) = λ ( u,v ) , ∀u,v ∈ H ,λ ∈ ,

iv) ( u, u ) ≥ 0, ∀u ∈ H ; ( u, u ) = 0 ⇔ u = 0.

1



Nếu ( . , .) là tích vô hướng thì chuẩn tương ứng với nó là u = ( u, u ) 2 .

Đònh nghóa 2.1.8. Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được

sinh ra bởi một tích vô hướng.

Từ đây về sau ta giả sử H là không gian Hilbert.

Đònh nghóa 2.1.9. Hai phần tử u, v của H gọi là trực giao với nhau nếu ( u, v ) = 0 .

Khi đó, ta viết u ⊥ v .

Đònh nghóa 2.1.10. Hai tập hợp con M, N của H gọi là trực giao với nhau nếu mỗi

phần tử của M trực giao với mỗi phần tử của N. Khi đó, ta viết M ⊥ N .

Đònh nghóa 2.1.11. Phần tử u của H gọi là trực giao với tập hợp con M của H nếu

u trực giao với mọi phần tử của M. Khi đó, ta viết u ⊥ M .

Đònh nghóa 2.1.12. Dãy {un }n =1 gọi là hệ trực giao trong không gian H nếu các





phần tử của dãy đôi một trực giao với nhau.

Tính chất 2.1.13. Cho H là khoâng gian Hilbert, u, un , v, vi , vn ∈ H .

Ta coù

a) u ⊥ u ⇔ u = 0,

b) 0 ⊥ u, ∀u,

n



c) u ⊥ vi , i = 1, n ⇒ u ⊥ ∑ α i vi ,

i =1



⎧ u ⊥ vn

d) ⎨

⇒ u ⊥ v,

n →∞

→v

⎩vn ⎯⎯⎯



e) Tập hợp tất cả các phần tử của H trực giao với tập hợp M con của H

gọi là phần bù trực giao của M (ký hiệu M ⊥ ) là một không gian con

đóng của H,



8



2



2



2



f) u ⊥ v ⇒ u + v = u + v ,

g) Nếu {un }n =1 là hệ trực giao trong không gian H





thì











n =1



n =1



2



∑ un hội tụ ⇔ ∑ un < ∞ .



Đònh lý 2.1.14. M là một không gian con đóng của H thì mỗi phần tử x của H



được



biểu



diễn



duy



nhất



dưới



dạng



x=y+z



với



z∈ M ⊥



y∈M,







x − y = inf x − u .

u∈M



° y gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M.

° Toán tử P : H → M xác đònh bởi Px = y gọi là toán tử chiếu lên M và là

toán tử tuyến tính liên tục, P = 1 .

Đònh nghóa 2.1.15. Dãy {en } gọi là hệ trực chuẩn trong không gian H neáu



(e , e ) = δ

i



j



ij



⎧0 neáu i = j,

=⎨

⎩ 1 nếu i ≠ j.



Tính chất 2.1.16. {en } là hệ trực chuẩn trong không gian H. Khi đó với u ∈ H .

n



a) Phần tử v = ∑ ( u, ei ) ei là hình chiếu trực giao của u lên không gian sinh

i =1



bởi {e1 , e2 , ..., en } vaø



n



∑ ( u, e )

i =1



2



i



2



≤ u ,









b) Chuỗi ∑ ( u, ei ) ei hội tụ vaø ⎜ u - ∑ ( u, ei ) ei ⎟ ⊥ en , ∀n ,

i =1

⎝ i =1







c)







∑ ( u, e )

i =1



i



2



2



≤ u .



Đònh nghóa 2.1.17. Hệ trực chuẩn {en }n =1 gọi là cơ sở trực chuẩn trong không gian





H



nếu



mọi



véc







trực



u ⊥ en , ∀n = 1, 2, ... ⇒ u = 0 ).



giao



với



hệ



đều



bằng



0



(tức







9







Nếu u ∈ H và {en }n=1 ⊂ H cơ sở trực chuẩn ta có thể viết u=∑ ( u, en )en .





n=1



Đònh lý 2.1.18. Giả sử



{en }n=1





là hệ trực chuẩn trong không gian H . Các mệnh



đề sau là tương đương.

a) Hệ {en }n=1 là cơ sở trực chuẩn trong không gian H,









2



b) ∀u ∈ H , u = ∑ ( u, ei ) ,

2



i =1







c) ∀u, v ∈ H , ( u, v ) = ∑ ( u, ei )( v, ei ) ,

i =1



{en }n=1 tuyến tính trù mật trong H (tức là bao tuyến tính của {en }n=1 ) là





d)







trù mật trong H.

Đònh nghóa 2.1.19. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , toán tử liên hợp của



nó là A∗ : H → H thỏa mãn ( Au, v ) = ( u, A∗ v ) , ∀u, v ∈ H.

Đònh nghóa 2.1.20. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , A gọi là tự liên hợp



nếu A = A∗ , nói cách khác A tự liên hợp khi và chỉ khi



( Au, v ) = ( u, Av ) , ∀u, v ∈ H .

°Toán tử chiếu lên không gian con M là toán tử P biến mỗi u thành hình chiếu

Pu của nó lên M là tự liên hợp. Thật vậy,

∀u, v ∈ H ta coù

u = u'+u'' , v = v'+v''

với

u', v' ∈ M, Pu = u', Pv = v' và u'', v'' ∈ M ⊥



cho nên



( Pu, v ) = ( u', v ) = ( u', v' ) = ( u, v' ) = ( u, Pv ) .

°A, B tự liên hợp thì A-1, A+ B, I, αA (α ∈



) là các toán tử tự liên hợp.



10



Đònh nghóa 2.1.21. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , A gọi là toán tử đối



xứng nếu ∀u, v ∈ H ta có ( Au, v ) = ( u, Av ) .

°Toán tử tự liên hợp là toán tử đối xứng.

°Nếu A là toán tử đối xứng thì mọi giá trò riêng đều là số thực và các véc tơ



riêng của A ứng với 2 giá trò riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao .

°H là không gian n chiều, {ei }i =1,n hệ n véc tơ riêng của toán tử đối xứng A ứng

với cacù giá trò riêng λi làm thành cơ sở trực chuẩn và với mọi u thuộc H ta có





n







i =1







( Au, u ) = ⎜ A ⎛⎜ ∑ ( u, ei ) ei ⎞⎟ , ∑ ( u, ei ) ei ⎟

n



⎝ ⎝ i =1







⎛ n

= ⎜ ∑ ( u, ei ) Aei ,

⎝ i =1



= ⎜ ∑ λi ( u, ei ) ei ,

⎝ i =1

n



n



n







∑ ( u, e ) e ⎟⎠

i =1



i



i



n







∑ ( u, e ) e ⎟⎠

i =1



i



i



2



=∑ λi ( u, ei ) .

i =1



Đònh lý 2.1.22. Nếu A là toán tử đối xứng thì A = sup ( Au, u ) = sup ( Au, u ) .

u ≤1



u =1



Đònh lý 2.1.23. Toán tử A : H → H tự liên hợp



Khi đó

Phổ của A ký hiệu σ (A) là tập các giá trò riêng của A thoả

σ(A) ∈ [ m, M ] với m, M ∈ σ(A)



vaø

m = inf ( Ax, x ) , M =sup ( Ax, x ) .

x =1



x =1



Hệ quả 2.1.24. Nếu A tự liên hợp, khác 0



Thì σ(A) ≠ ∅ và A = m hoặc A = M .



11



Đònh nghóa 2.1.25. Toán tử A : H → H gọi là xác đònh dương nếu



( Au, u ) > 0, ∀u ∈ H , u ≠ 0

°Neáu λi , i = 1, 2, ... là các giá trò riêng của toán tử A xác đònh dương

thì λi > 0, i = 1, 2, ...

Đònh nghóa 2.1.26. Toán tử tuyến tính liên tục gọi là toán tử compắc nếu nó biến



một tập giới nội thành một tập hoàn toàn giới nội.

Với mọi A, B : H → H là toán tử tuyến tính liên tục.

°A compắc, B liên tục thì AB, BA compắc.

°A compắc thì A∗ , AA∗ , A∗ A compắc.

°Tập hợp các giá trò riêng của toán tử compắc, đối xứng là hữu hạn, hoặc đếm

được và nếu đếm được thì lập thành một dãy hội tụ về không.

°Nếu H tách được thì mọi toán tử compắc, đối xứng đều có một cơ sở trực chuẩn

véc tơ riêng.

°Toán tử Fredhom là toán tử compắc trong L2[a , b] .

2.2.



Nửa nhóm liên tục [12]



Đònh nghóa 2.2.1. Một họ {S(t )}t ≥0 các toán tử xác đònh với mỗi giá trò tham số



t ≥ 0 và thỏa các điều kiện sau :

a) S (t ) : X → X là một toán tử tuyến tính bò chặn , X là không gian Banach,

b) S (t1 + t2 ) = S (t1 )S (t2 ), ∀t1 , t2 ≥ 0 ,

c) S(0) = I (I là toán tử đồng nhất),

d) lim S(t ) x = x , ∀x ∈ X .

t →0+



goïi là nửa nhóm liên tục mạnh hay còn gọi C0- nửa nhóm. Nếu họ {S(t )}t ≥0 chỉ

thoả a), b), c) ta nói {S(t )}t ≥0 là nửa nhóm.



12



Đònh nghóa 2.2.2. Nửa nhóm liên tục mạnh {S(t )}t ≥0 gọi là nửa nhóm liên tục đều



nếu lim S(t ) − I

t →0+



= 0 , . là chuẩn trên L(X) .



Mệnh đề 2.2.3. Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm {S(t )}t ≥0 là C0- nửa nhóm là



tồn tại δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X sao cho thỏa 2 điều kiện sau :

i) S(t) ≤ M, ∀t ∈ [ 0, δ] ,

ii) Lim S(t ) x = x , ∀x ∈ D .

t → 0+



Mệnh đề 2.2.4. Đối với mỗi họ {S(t )}t ≥0 C0- nửa nhóm luôn tồn tại hằng số



ω∈



và M≥ 1 sao cho S(t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0 .



Đònh nghóa 2.2.5. Toán tử sinh A : D( A) ⊆ X → X của C0- nửa nhóm {S(t )}t ≥0



trên không gian Banach X là toán tử đònh bởi Ax := lim

t →0+



S (t ) x − x

xác đònh với mọi

t



S (t ) x − x



tồn tại

x thuộc miền xác đònh D( A) = ⎨ x ∈ X : lim

t →0

t



+





⎬.





Đònh lý 2.2.6. Nếu A là toán tử tuyến tính bò chặn từ X vào X thì

n



⎧⎪

tA ) ⎫⎪

(

tA

⎨S (t ) = e := ∑

⎬ là nửa nhóm liên tục đều .

n

!

=

0

n

⎩⎪

⎭⎪t ≥ 0



Tính chất 2.2.7. A là toán tử sinh của C0- nửa nhóm {S(t )}t ≥ 0 .



i) A : D( A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính,

ii) Nếu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) vaø

iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta coù :



t



∫ S(s)xds ∈ D(A) ,

0



iv) ∀t ≥ 0 ta coù



d

S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x, ∀t ≥ 0 ,

dt



13



⎧ t

⎪ A ∫ S(s)xds neáu x ∈ X,

⎪ 0

S(t)x-x= ⎨ t

⎪ S(s)Axds neáu x ∈ D(A).

⎪⎩ ∫0



Đònh lý 2.2.8. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử đóng và miền



xác đònh là trù mật. Toán tử này xác đònh duy nhất nửa nhóm liên tục mạnh.

Hệ quả 2.2.9. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X với



toán tử sinh A. Các khẳng đònh sau là tương đương.

(a) Toán tử sinh A bò chặn, nghóa laø, ∃ M>0 sao cho

Ax ≤ M x , ∀x ∈ D( A) .



(b) Miền xác đònh D(A) là đóng trong X .

(c) {S(t )}t ≥ 0 là nửa nhóm liên tục đều.





Trong mỗi trường hợp, nửa nhóm được cho bởi S (t ) = e := ∑

tA



( tA )



n=0



n!



n



, t≥0



Đònh nghóa 2.2.10. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X



được gọi là nửa nhóm liên tục co nếu S(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0 .

Đònh lý 2.2.11. (Hill, yosida, 1948) . Cho A : D( A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính



trong không gian Banach. Các khẳng đònh sau là tương đương.

(a) A là toán tử sinh nửa nhóm liên tục co.

(b) A là toán tử đóng, miền xác đònh D(A) trù mật trong X và với mỗi λ>0

ta có λ ∈ ρ ( A) vaø R ( λ , A ) ≤



1



λ



.



(c) A là toán tử đóng, miền xác đònh D(A) trù mật trong X và với mỗi



λ∈

đây



với Reλ >0 ta có λ ∈ ρ ( A) và R ( λ , A ) ≤



1

.

Reλ



14



\ σ ( A) vaø R ( λ , A ) := ( λ − A ) là toán tử tuyến tính từ X vào X.

−1



ρ ( A) :=



Mệnh đề 2.2.12. A : D( A) ⊆ H → H



Hilbert

∃ω∈



H



sinh



nửa



nhóm



là toán tử tự liên hợp trong không gian

liên



tục



mạnh



nếu







chỉ



nếu



: ( Ax, x ) ≤ ω x , ∀x ∈ D(A) .

2



Đònh nghóa 2.2.13. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X



được gọi là nửa nhóm compắc nếu S (t ) là compắc, ∀t ≥ 0 .

Đònh nghóa 2.2.14. Toán tử tuyến tính A với ρ (A) ≠ ∅ được gọi có tập giải



compắc nếu R ( λ , A ) là compắc với mọi λ ∈ ρ ( A) .

Đònh lý 2.2.15. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X. Các



khẳng đònh sau là tương đương.

(a) {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm compắc.

(b) Hàm t



{S(t )}



t≥0



S(t ) liên tục từ ( 0 , + ∞ ) vào L(X), và toán tử sinh của

có tập giải compắc.



2.3. Không gian phần tử hữu hạn [2]

2.3.1. Xây dựng không gian phần tử hữu hạn.

Đònh nghóa 2.3.1.1 (Ciarlet 1978). Cho



(i) K ⊆



n



là tập đóng, bò chặn với phần trong không rỗng và biên trơn từng



mẫu ( miền phần tử),

(ii) P là không gian hữu hạn chiều của các hàm trên K (không gian của các

dạng hàm),

(iii) N = { N 1 ,N 2 ,...,N k } là cơ sở của P ’ không gian đối ngẫu của P (tập các

biến nút).

Khi đó (K, P, N) được gọi là phần tử hữu hạn.



15



Đònh nghóa 2.3.1.2. Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn. Cơ cở



{φ ,φ

1



2



,...,φk }



của P đối ngẫu với N (nghóa là, Ni (φ j ) = δ ij ) được gọi là cơ sở nút của P.

Ví dụ 2.3.1.3. (phần tử Lagrange 1 chiều) Cho K = [0, 1], P là tập hợp tất cả



các đa thức tuyến tính, N = { N 1 , N 2 } , với N 1 (v)=v(0), N 2 (v)=v(1) ∀v ∈P.

Khi đó (K, P, N) là phần tử hữu hạn và cơ sở nút là φ1 (x) = 1-x, φ2 (x) = x .

Tổng quát, cho K=[a, b], Pk là tập tất cả các đa thức có bậc bé hơn hoặc

i⎤



bằng k, Nk = { N 0 ,N 1 ,N 2 ,...,N k } , với N i (v)=v ⎢ a+(b-a) ⎥ ∀v ∈Pk , i = 0, 1,…,

k⎦





k.

Khi đó (K, Pk , Nk) là phần tử hữu hạn.

Bổ đề 2.3.1.4. Cho P là không gian véc tơ d chiều, {N 1 ,N 2 ,...,N d } là tập con



của không gian đối ngẫu P’. Khi đó 2 khẳng đònh sau là tương đương.

(a) {N 1 ,N 2 ,...,N d } là cơ sở của P’.

(b) Cho v ∈ P với N i (v)=0 , I = 1, 2,…, d, khi đó v ≡ 0 .

Đònh nghóa 2.3.1.5. Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn, tập {φ1 ,φ2 ,...,φk } ⊆ P



là cơ sở đối ngẫu với N và v ∈P, N i ∈ N, N i (v) xác đònh với mọi i = 1, 2, …, k.

Khi đó, phép nội suy đòa phương được xác đònh bởi

k



I K v := ∑ N i (v)φi

i=1



Mệnh đề 2.3.1.6. I K tuyến tính.

Mệnh đề 2.3.1.7. N i (I K v) = N i (v), ∀1 ≤ i ≤ d.

Mệnh đề 2.3.1.8. I K v=v với v ∈P và I 2 = I K .

K



16



Đònh nghóa 2.3.1.9. Một phép phân hoạch của miền Ω là tập hợp hữu hạn



các miền phần tử {Ki } sao cho

(1) intKi ∩ intK j = ∅ nếu i ≠ j,

(2)



∪K



i



=Ω.



Đònh nghóa 2.3.1.10. Giả sử Ω là một miền với phép phân hoạch T. Giả sử



mỗi K của miền phần tử được trang bò loại dạng hàm P và các biến nút N sao

cho (K, P, N) tạo thành một phần tử hữu hạn. Cho m là bậc cao nhất của đạo



( )



hàm riêng nằm trong mỗi biến nút. Với f ∈ C m Ω , phép nội suy toàn cục được

xác đònh bởi I T f⎪K = I K f với mọi Ki ∈ T .

i



i



Đònh nghóa 2.3.1.11.



Một phép nội suy được gọi là liên tục bậc r nếu



( )



I T f ∈ C r với mọi f ∈ C m Ω . Khoâng gian, VT = {I T f: f ∈ C m } , được gọi là một

không gian phần tử hữu hạn “ C r ”.

Đònh nghóa 2.3.1.12. Cho (K, P, N ) là phần tử hữu hạn, F(x)=Ax+b (A không



suy biến) là một ánh xạ afin. (K , P , N ) là tương đương afin với (K, P, N)

neáu

(i)



F(K) = K ,



(ii)



F * P = P,



(iii)



F* N = N .



đây

F* ( f ) := f F ,



( F* N)f : = N( F* ( f ) ).

Meänh đề 2.3.1.13. Tương đương afin là một quan hệ tương đương.



17



Đònh nghóa 2.3.1.14. Ω được gọi là dạng hình sao đối với quả cầu B nếu với



mọi x∈ Ω , bao của { x} ∪ B là tập con của Ω .



B



B'



H ìn h 1 . Mi ền dạn g hì nh sao đo iá v ơ iù q uả

cầu B nh ư ng kh o ân g đo iá v ơ ùi q uả cầu B'



H ìn h 2 . Mi ền kh o n

â g là d ạn g h ìn h sao

đ ối vơ ùi mo ïi q uả cầu



Đònh nghóa 2.3.1.15. Cho {T h } , 0


của miền Ω sao cho max {diam T: T ∈ T h } ≤ h diam Ω .

Hoï {T h } được gọi là không suy biến nếu tồn tại ρ > 0 sao cho mọi T ∈ T h

và mọi h ∈ ( 0 , 1] , diam BT ≥ ρ diamT.



(2.3.1.16)



đây, diam BT là đường kính của quả cầu lớn nhất chứa trong T sao cho T

là dạng hình sao đối với BT .

Đònh nghóa 2.3.1.17. Phần tử hữu hạn (K, P, N) được gọi là phần tử C r nếu r



là số nguyên không âm lớn nhất để



( )



V h = I hC l Ω ⊆ C l ( Ω ) ∩ W∞r+1 ( Ω ) .



( )



ở đây I h :C l Ω → L1 ( Ω ) là một toán tử nội suy toàn cục được đònh bởi



I h u⎟T := I Th u với T ∈ T h , h ∈ ( 0,1] , I Th là toán tử nội suy của phần tử tương

đương afin



(T , P , N ) .

T



Đònh lyù 2.3.1.18. Cho



T



{T } , 0 < h ≤ 1 , là một họ không suy biến của các phép

h



phân hoạch miền đa diện Ω và (K, P, N) là phần tử hữu hạn thoả 3 điều kiện



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×