1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 4: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ

Chương 4: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ

Tải bản đầy đủ - 0trang

45



Bước 2: Tính ( f , qih ) ,

Bước 3: Tính hệ số ci =



e−λ t



h

i *



( f ,q )

h

i



α + e−λ T

h

i



của (22),



Bước 4: Biến đổi trở lại ( nếu cần) tới cơ sở các điểm nút.

Nhận xét:

° Ta thấy bất kỳ tập hợp bộ ( λih , qih ) đều sử dụng trong (22), tuy nhiên muốn

chính xác việc xấp xỉ là gần như buộc đến tính chất xấp xỉ của không gian con



S h ( Ω) .

Từ (6) và (22) ta dễ dàng chỉ ra rằng

N



N



αφα ,h + ∑ e − λ T (φα ,h ,qih )qih = ∑ e− λ t ( f ,qih ) qih .

h

i



i =1



h

i *



i =1



Từ đònh nghóa của toán tử xấp xæ

N



K1,h v = ∑ e− λ T ( v, qih )qih ,

h

i



i =1

N



K2,h v = ∑ e − λ t ( v, qih )qih .

h

i *



i =1



°Một điều hạn chế của phương pháp này là bài toán giá trò riêng rời rạc khá

rộng. Đặc biệt, khi bài toán là chỉnh trong R2, R3, đó là lý do mà chúng ta sẽ xét

bằng phương pháp lặp ở phần sau. Tuy nhiên sự có mặt của những hàm số mũ

phân rã trong hệ số của khai triển xấp xỉ, chúng ta có thể chặt cụt khai triển. Ta

lấy ε là một sai số cho phép, thì ta có thể bỏ qua tất cả những số hạng sao cho



ξθ

t

f , qih ) ≤ ε ,θ = * , ξ = e− λ T .

(

α +ξ

T

h

i



(24)



Sự có mặt của số θ làm cho việc tính toán chi tiết của phần bò chặn λih rất khó

khăn. Tuy nhiên,



46



1



ξθ

ξ2

1

f , qih ) ≤

f , qih ) .

Nếu

≤ θ ≤ 1 thì

(

(

α +ξ

α +ξ

2

Để có (24) ta cần có điều kiện là



λih ≥



⎛ 1 ⎡

2

log ⎜

f ,qih ) +

(



T

⎝ 2αε ⎣



( f ,q )

h

i



2



⎤⎞

− 4αε 2 ⎥ ⎟ .

⎦⎠



Thaät vaäy

1

2



1

2



ξ

ξ

f ,qih ) =

f ,qih ) ≤ ε

(

(

α +ξ

α +ξ

⇔ εξ − ( f ,q



h

i



1

2



⇔ξ ≤



⇔e



− λihT

2







1

2



+ εα ≥ 0



( f ,q ) − ( f ,q )

h

i



h

i



− 4αε 2









( f ,q ) − ( f ,q )

h

i



h

i



2



− 4αε 2









h

−λ T

⎜ f ,qi −



≤ log ⎜

2







( f ,q )

h

i



h

i





2



⇔ λ ≥ log ⎜

T

⎜ f ,qih −



2



⇔ λih ≥ log ⎜ f ,qih +

T



h

i



Neáu 0 ≤ θ ≤



2









− 4αε 2 ⎟















2

( f ,qih ) − 4αε 2 ⎟⎠

2

( f ,qih ) − 4αε 2 ⎞⎟ .





1

ξθ

ξθ

h

thì

f

,

q



f , qih ) .

(

(

i )

α +ξ

α

2



Tương tự, để có (22) ta cần có điều kiện là



2







47



⎛ ( f ,qih )

1

λ ≥ log ⎜

⎜ αε

t*



h

i





⎟.







4.2. Xấp xỉ số qua lặp conjugate gradient (gọi tắt CG)



Có lẽ kỹ thuật lặp tốt nhất để sử dụng cho việc giải (6) là phương pháp

CG, nó cho ta tốc độ hội tụ nhanh đối với bài toán của chúng ta.

Để thấy rõ điều này, luận văn chúng tôi dựa vào kết quả của Winther



[17] .



Tác giả Winther nghiên cứu việc tìm nghòch đảo của toán tử I + B, ở đây B



là compắc. Thay đổi một ít chúng ta thu được phương pháp giải cho bài toán

của ta với các toán tử là α I + K1 , K1 là compắc.

Một cách tổng quát, phương pháp CG là phương pháp lặp của phương

trình toán tử Aφ = f là được cho bởi



⎪φ n+1 = φ n + an sn





⎨rn+1 = rn − an Asn ,



⎪s = r + b s

⎪ n+1 n +1 n n





, an =



rn



2



( Asn , sn )



,



(25)

, bn =



rn+1



2

2



rn



.



Với n ≥ 0, s0 = r0 = f − Aφ 0 , ta có một tính chất tối ưu của Phương pháp



{ }



CG là nếu có một dãy ψ n xấp xỉ khác của φ sinh bởi (25) với ψ 0 = φ 0 thì



( φ − φ , A (φ − φ ) ) ≤ ( φ − ψ , A ( φ − ψ ) ) , n ≥ 0 .

n



n



n



n



(26)



Bây giờ ta chứng minh một kết quả quan trọng sau

Đònh lý 4.2. Nếu A =I + B với B compắc, xác đònh dương, tự liên hợp và các giá



trò riêng



0 ≤ β min ≤ ... ≤ β 2 ≤ β1 ≤ β max



(27)



Thì ước lượng sai số trong phép lặp CG (25) được xác đònh bởi



48



φ − φ n ≤ (cn )n φ − φ 0 ,



(28)



ở đây

1



⎡⎛ 1 + β max ⎞ n β i ⎤ n

cn = ⎢⎜

⎥ .

⎟∏

⎣⎝ 1 + β min ⎠ i =1 β i + 1 ⎦



(29)



Chứng minh. Từ (25) ta viết lại



φ n = φ 0 + Pn−1 ( A)r0 ,



(30)



ở đây

r0 = f − Aφ 0 = A (φ − φ 0 ) vaø Pn−1 là đa thức của A có bậc cao nhất là n-1.



Nên ta có



φ n = φ 0 + Pn−1 (B)r0 .



(31)



ở đây Pn−1 là đa thức của B có bậc cao nhất là n - 1. Sự tối ưu của CG là quan



tâm tới việc lựa chọn đa thức thích hợp, để có điều này ta đònh nghóa



ψ n = ψ 0 + Qn −1 (B)r0 , ψ 0 = φ 0 ,



(32)



Đối với đa thức Qn−1 có bậc cao nhất là n - 1, ta đònh nghóa



Q n (β ) = 1 − (1 + β ) Qn−1 (β ) ,



(33)



β −β

.

Q n ( β ) = ∏ i

i =1 β i + 1



(34)



thoả mãn

n



Do đó



A (φ −ψ n ) = Aφ − Aψ n

= f - Ay n

= f - A ( f 0 + Qn-1 ( B)r0 )



49



= f - Af 0 - AQn-1 ( B)r0

= r0 - AQn-1 ( B )r0



= ( I - AQn-1 (B) ) r0



= ( I - ( I + B ) Qn-1 ( B) ) r0

(33)



= Q n ( B)r0 .



Và từ các giả thiết của A ta có





A = 1 + βmax







A-1 =







(A có các giá trò riêng là 1+ βi ),



1

1

(A-1 có các giá trò riêng là

),

1 + βmin

1 + βi



1 + β min ≤



( x, Ax ) = ( x, Ax ) ≤ 1 + β .

max

2

( x, x )

x



Nên ta có



(1 + β min ) φ -φ n



2



(

)

≤ (φ -ψ , A (φ -ψ ) )



≤ φ -φ n , A ( φ -φ n )

n



(do (26))



n



(



≤ A −1 A (φ -ψ n ) , A (φ -ψ n )

≤ A −1 A (φ -ψ n )

≤ A −1 Q n ( B )



2



≤ A −1 Q n ( B )



2



)



2



r0



2



A



2



2



φ −φ0 .



Vậy



φ -φ



n 2



2

Vấn đề còn lại chỉ là chặn Q n ( B ) .



Ta coù



2



⎛ 1 + β max ⎞ 

≤⎜

⎟ Qn ( B )

⎝ 1 + β min ⎠



2



2



φ −φ0 .



(35)



50



2



Q n ( B ) = sup



Q n (B)v

v



v≠ 0







2



2



∑ Q (β )v



= sup k =1

v≠0



2

n



2

k



k







∑v

k =1



2

k



2



⎛ βi − β k ⎞ 2



⎟ vk

∑∏

k =1 i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

= sup





n







∑v



v≠ 0



2

k



k =1



2



⎛ βi − β k ⎞ 2



⎟ vk





k = n +1 i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

= sup

n











∑v



v≠ 0



2

k



k =1



2



⎛ βi ⎞ 2

∑∏



⎟ vk

k =1 i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

≤ sup





n







(do 0 ≤



∑v



v≠0



k =1







∑v



2

k



2

k



⎛ βi ⎞

≤ sup







v≠0

2 i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

∑ vk

k = n +1





n



βi − β k

βi



, ∀k ≥ n + 1 )

βi + 1 βi + 1



2



k =1



2



⎛ β ⎞

≤ ∏⎜ i ⎟ .

i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

n



(36)



Từ (35), (36) ta thu được



φ -φ



n 2



⎛ 1 + β max ⎞

≤⎜



⎝ 1 + β min ⎠



2



neân



φ -φ n ≤ ( cn ) φ − φ 0 ,

n



2



⎛ βi ⎞

0 2



⎟ φ −φ .



i =1 ⎝ β i + 1 ⎠

n



51



với

1



⎡⎛ 1 + β max ⎞ n ⎛ β i ⎞ ⎤ n

cn = ⎢⎜

⎟⎥ .

⎟∏⎜

⎣⎝ 1 + β min ⎠ i =1 ⎝ β i + 1 ⎠ ⎦



Trong luận văn này ta có B = α −1 K1 ở đây βi = α −1e−T λ ≥ 0 .

i



Neân



cn = ⎢ 1 + α −1e− λ1T





(



) ∏ 1 + α1e



1

n



n



i =1



λiT





⎥ .





rõ ràng

n →∞

cn ⎯⎯⎯

→0 .



Để ứng dụng phương pháp CG cho bài toán, chúng ta xây dựng xấp xỉ

hữu hạn cho toán tử compắc K1 .

Ước lượng sai số trong phương pháp lặp CG của bài toán được điều chỉnh

bởi α I + K1 , K1 là compắc, là được điều chỉnh bởi



φα ,h − φαn ,h ≤ ( cnh ) φα ,h − φα0,h ,

n



ở đây chỉ số lặp là chỉ số trên, φα ,h được đònh nghóa mục 4.1, φαn,h là xấp xỉ của



φα ,h thoả (25). Tốc độ hội tụ đònh bởi



cnh = ⎢ 1 + α −1e





(



− λ1hT



) ∏ ⎛⎜⎝ 1 + α1e



1

n



n



k =1



λkhT



⎞⎤

⎟⎥ ,

⎠⎦



đây

λkh là giá trò riêng thứ k của xấp xỉ trong dạng của K1 .

k →∞

k →∞

→∞ thì cn ⎯⎯⎯

→ 0 rất nhanh, thậm chí số α rất nhỏ.

Ta thấy ngay khi λnh ⎯⎯⎯



Điều này cho ta thấy sự hội tụ phép lặp rất nhanh về 0.



52



4.3.



Đánh giá sai số



Để tạo điều kiện cho việc đánh giá sai số, trước tiên ta nhắc lại một số

tính chất sau.

X Không gian con xấp xỉ



Ta giả sử rằng nghiệm xấp xỉ là một phần tử của khoâng gian con



V h ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω ) với tính chất,

∀ψ ∈ H s ( Ω ) , ∃ψ I ∈ V h ( Ω ) sao cho ψ -ψ I ≤ Ch r ψ



r



,



(37)



với 0 ≤ r ≤ s , đây là một kết quả cơ bản của xấp xỉ các phần tử hữu hạn [ 2] .

Trong trường hợp cổ điển các xấp xỉ tuyến tính từng mẩu ta có kết quả là



ψ -ψ I ≤ Ch 2 ψ 2 .

Ta cũng để ý mỗi cách chọn (có nhiều cách chọn) ψ I là hình chiếu trực

giao Phψ trong L2 đònh nghóa bởi



(ψ − Phψ , vh ) = 0, ∀vh ∈V h ( Ω ) .



(38)



Y Toán tử xấp xỉ



Ở đây ta giả sử rằng các toán tử xấp xỉ K1,h , K 2,h là chính xác trong nghóa là

tồn tại 2 hằng số dương sao cho



(K



i



− K i ,h ) v ≤ Ci h q v q , i = 1, 2 , với q > 0 .



(39)



Z Tính trơn của dữ liệu ban đầu



Ta nói dữ liệu f là pre-diffused bởi γ nếu tồn tại một hằng số M γ sao cho





∑ b e γλ

i =1



2 2

i



i



≤ M γ2 ,



ở đây bi là các hệ số của f trong khai triển theo cơ sở của các hàm riêng.

lưu ý : nếu u (0) ≤ m thì f là pre-diffused bởi T.



(40)



53



Để kết thúc luận văn này ta chứng minh đònh lý sau.

Đònh lý 4.3. Lấy φα ,h là nghiệm xấp xỉ của nghiệm chỉnh hoá



⎛ e− λ t ⎞

φα = ∑ ⎜

f , qi ) qi ,

−λ T ⎟ (

i =1 ⎝ α + e







i *



i



đã tính toán theo kỹ thuật xấp xỉ theo giá trò riêng (mục 4.1)

Nếu X,Y,Z đúng, với γ ≤ 2T − t∗ và φα ∈ H r (Ω) thì tồn tại một hằng số C > 0 sao

cho



(



φ − φα ,h ≤ C α θ M γ + h r φα r + mα ,h h q



(f



q



+ φα



q



)) ,



ơ ûđây,



θ=



γ + t∗ − T

T



≤ 1,

eh



mα ,h =

2



2

2

1

2

1, h h



,



α eh + K e

eh = Phφα − φα ,h .



Chứng minh. Ta có bất đẳng thức tam giaùc



φ − φα ,h ≤ φ − φα + φα − φα ,h .

° Mỗi γ thõa γ ≤ 2T − t∗ ta coù: θ =



γ + t∗ − T

T



(41)



≤ 1 , từ đònh lý 3.2.1



ta có

1



φ − φα



⎞2

⎛ ∞

≤ α θ ⎜ ∑ bi 2 e 2(1+θ ) λ T ⎟

⎝ i =1





(42)



i



maø

1

2



1

2



1

2



1

2











2 2(1+θ ) λ T ⎞

2 2( γ + t ) λ ⎞

2 2 γλ ⎞

2 2( γ + t ) λ ⎞

⎜ ∑ bi e

⎟ = ⎜ ∑ bi e

⎟ .

⎟ ≥ ⎜ ∑ bi e ⎟ , đặt M γ = ⎜ ∑ bi e

⎝ i =1

⎠ ⎝ i =1

⎝ i =1



⎠ ⎝ i =1







i



neân từ (42) ta có:











i



φ − φα ≤ α θ M γ .







i











i



(43)



54



°Ta coù



( K1 + α I )φα



(K



1, h



= K2 f ,



+ α I ) φα ,h = K 2,h f .



Neân



(K



− K 2,h ) f = ( K1 + α I ) φα − ( K1,h + α I ) φα ,h



2



= ( K1,h + α I )( vh − φα ,h ) + K1φα − K1,h vh − α ( vh − φα ) .

Do đó



(K



1, h



+ α I )( vh − φα ,h ) = ( K 2 − K 2,h ) f + α ( vh − φα ) + ( K1,h vh − K1φα )



(44)



Laáy vh = Phφα ∈ V h (Ω) và đònh nghóa eh = Phφα − φα ,h

Khi đó (44) được viết laïi



(K



1, h



+ α I ) eh = ( K 2 − K 2,h ) f + α ( Phφα − φα ) + ( K1,h − K1 ) φα + K1,h ( Phφα − φα )



(45)

Lấy tích vô hướng 2 vế của (45) với eh ta có



(( K



1, h



) (( K



+ α I ) eh , eh =



2



)



− K 2,h ) f , eh − α (φα − Phφα , eh ) − ( K1,h (φα − Phφα ) , eh )



(



)



+ ( K1,h − K1 ) φα , eh .



( 46)



Từ Y ta có



(( K

(( K



2



)

− K )φ , e ) ≤ ( K − K )φ



− K 2,h ) f , eh ≤ ( K 2 − K 2,h ) f eh ≤ C2 h q f



1, h



1



α



h



1



1, h



α



eh ≤ C1h q φα



q



eh ,



q



eh .



Từ X đònh nghóa Phφα ta coù



α (φα − Phφα , eh ) =0 (do eh ∈ V h ( Ω ) ),



nên từ (46) ta coù



( K (φ

1, h



α



− Phφα ) , eh ) =0 (do K1,h tự liên hợp).



55



(( K



1, h



)



+ α I ) eh , eh ≤ C3 h q eh



(



f



q



+ φα



q



).



(47)

Mặt khác



(( K



1, h



)



+ α I ) eh , eh = ( K1,h eh , eh ) + α ( eh , eh )

2



1

2



≥ K eh +α eh



2



1,h



1



K 2 eh



≥ ⎜α +

2



eh









2



1,h







⎟ e 2.

⎟ h









(48)



Từ (47) và (48) ta có

1



K 2 eh



⎜α +

2



eh







1,h



2







⎟ e 2 ≤ C hq e

h

3

⎟ h









(f



q



+ φα



q



).



neân



Phφα − φα ,h = eh ≤



C3 h q



(f



+ φα



q



2



1

2



α+

= C3 h q mα ,h eh



2



mα ,h =

2



eh

q



2



α eh + K eh

1,h



Vậy



3



2



.



eh



2



(



f



q



+ φα

1

2



α eh + K eh

1,h



2



+ φα



q



2



1,h



(f



1

2



)=Ch



K eh



Với

eh



q



q



),



2



q



)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 4: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×