1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3.PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY

Chương 3.PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY

Tải bản đầy đủ - 0trang

Do i) nên tồn tại u0 là một cận trên của un  , nghĩa là ta có un  u0 n

Với u  u0 , ta có u  M n , n 







(do định nghĩa Mn )



Khi đó, do định nghĩa  n nên ta có S  u    n  2S  un1   S  un 











Mà S  un  tăng và bị chặn trên, S  un   S  u0 

Do đó tồn tại lim S  un  : a 

n



. Suy ra S  u   a : lim S  un 

n



Do S tăng nên u  u0  S  u   S  u0 

Vậy S  u   S  u0  (đpcm)

Hệ quả 3.1.1



Giả sử

i.



X là tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy giảm trong X có một cận dưới.



ii. S : X    ;    là một phiếm hàm tăng và bị chặn dưới.

Khi đó tồn tại phần tử u0  X sao cho

Với mọi u  X , u  u0 kéo theo S  u   S  u0  .

Chứng minh.



Trong X ta định nghĩa quan hệ thứ tự mới “  ” như sau x  y  x  y

Ta kiểm tra  X ,   và phiếm hàm   S  thỏa mãn các điều kiện sau của mệnh đề

3.1.1.

 Kiểm tra mỗi dãy tăng  un  trong  X ,   có một cận trên.



Ta có x1  x2  ...  x1  x2  ...

Dãy các phần tử bên phải là một dãy giảm nên theo giá trị i) thì dãy này có một cận

dưới. Nghĩa là tồn tại u  X thỏa xn  u với mọi n . Suy ra xn  u , n .

 Kiểm tra hàm   S  : X    ;    tăng, bị chặn trên.



Vì S tăng nên với x  y  x  y

Suy ra S  x   S  y  . Do đó  S  x    S  y 



Hàm   S  bị chặn trên do hàm S bị chặn dưới.

Theo mệnh đề 3.1.1 thì tồn tại u0  X sao cho



u  X , u  u0  S  u   S  u0 

Do đó u  X , u  u0  S  u   S  u0  .

3.2.



Ứng dụng vào bài toán điểm bất động



Định nghĩa 3.2.1



1. Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu

i.



K là tập đóng.



ii. K  K  K ,



 K  K   0 .



iii. K    K     .

2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi



x  y  y  xK

Mỗi x  K \   gọi là dương.

Định lí 3.2.1



Giả sử X là khơng gian Banach sắp bởi nón K , M  X là tập đóng và



F : M  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn

i.



F  M   M , x 0  M : x 0  F  x 0  .



ii. F biến đổi mỗi tăng thuộc M thành dãy hội tụ.

Khi đó F có điểm bất động trong M .

Chứng minh.



Đặt M0   x  M : x  F  x   0 (do i)











g  x   sup F  y   F  z  : y, z  M0 , y  z  x



 Tập M0 và hàm   g  thỏa mãn điều kiện của nguyên lí Entropy do:



i.   xn   M0  M ,  xn  tăng



 x : lim F  xn  (do ii), và x  M (do M đóng)

Ta có xn  F  xn   x , n



 x là lân cận trên của  xn  trong  M ,  

Mặt khác xn  x n  F  xn   F  x 



 x  F x







x  M0



Do đó x là cận trên của  xn  trong  M0 ,   .

ii. Với x1 , x2  M0



x1  x2   y, z  M0 : y  z  x2    y, z  M0 : y  z  x1

 

A



B



ta có sup F  y   F  z   sup F  y   F  z 

y , z A



y , zB



Suy ra g  x2   g  x1    g  x1    g  x2 

Do đó  g tăng và bị chặn trên bởi 0 .

 Áp dụng nguyên lí Entropy cho tập M 0 và hàm   g  ta có



a  M 0 , x  M 0 , x  a   g  x    g  a   g  x   g  a 



 



 Ta chứng minh g  a   0



Giả sử g  a   c  0 . Ta có



g  a   c  0  y1 , y2  M 0 : y2  y1  a, F  y2   F  y1   c

 



g  y2   g  a   c  y3 , y4  M 0 : y4  y3  y2 , F  y4   F  y3   c



Kết quả ta có dãy tăng  yn   M 0 , F  yn   F  yn1   c .











Điều này mâu thuẫn với F  yn  hội tụ (do giả thiết ii). Vậy g  a   0 .



 Điểm bất động



g  a   0 suy ra F  y   F  z  , y  z  a (do định nghĩa g )

 F  y   F  a  , y  a



  



Ta lại có a  M 0  F  a   a





 F  F  a   F  a 



do đó x : F  a  là điểm bất động.

Định nghĩa 3.2.2 Cho kg Banach thực X .



1. Nón K gọi là nón chuẩn nếu



N  0 :   x  y  x  N . y

2. Đoạn u , v :  x  X : u  x  v

Hệ quả 3.2.1



Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn

i. u  Fu , Fv  v .

ii. F  u , v



 là tập compact tương đối. K



là nón chuẩn.



Khi đó, F có điểm bất động trong u, v .

Chứng minh.





M  u , v  X là tập đóng.



xM  u  x  v

 u  F u   F  x   F  v   v

 F  x  M

do đó F  M   M và x0  u  M : x0  F  x0  .

Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.







 xn   u , v ,  xn  tăng, ta có



F  x  có dãy con hội tụ.

n



F  xn  tăng, K nón chuẩn (giả thiết ii)

Suy ra



F  x  hội tụ.

n



Do đó hàm F thỏa điều kiện ii) của định lí 3.2.1

Vậy F có điểm bất động trong u , v .



Định nghĩa 3.2.3



Nón K gọi là chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ.

Hệ quả 3.2.2



Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng thỏa

i. u  Fu , Fv  v .

ii. K là nón chính qui.

Khi đó, F có điểm bất động trong u, v .

Chứng minh.





M  u , v  X là tập đóng.



xM  u  x  v

 u  F u   F  x   F  v   v

 F  x  M

do đó F  M   M và x0  u  M : x0  F  x0  .

Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.

 Ta có  xn   M ,  xn  tăng thì F  xn   v







n , F  xn  tăng







Suy ra F  xn  hội tụ (do K nón chính qui)

Do đó F thỏa điều kiện ii) của định lí 3.2.1. Vậy F có điểm bất động trong u , v .



Chương 4.

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO

4.1. Ánh xạ co suy rộng và điểm bất động

Định nghĩa 4.1.1



Cho  X , d  là không gian metric và T : X  X

Ta có



 T là ánh xạ co nếu với x  y, d Tx, Ty   d  x, y  .

 Nếu có số 0  k  1 sao cho với mọi x, y thuộc X , d Tx, Ty   kd  x, y 

thì T là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản T là k – co.

Hiền nhiên nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T , nếu có,

sẽ là duy nhất.

Định lí 4.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach)



Cho  X , d  là không gian mêtric đầy đủ và T : X  X là ánh xạ k – co. Khi đó,



T có điểm bất động duy nhất, ghi là x0 và lim T n x  x0 với x  X .

n 



kn

Hơn nữa d  x0 , T x  

d  x, Tx  với mọi x  X .

1 k

n



Chứng minh.

 Với x  X , đặt x1  Tx, xn1  Txn



Với n, p 



, ta có



d  xn , xn p   d T n x, T n p x 

 kd T n1 x, T n p 1 x   ...  k n d  x, T p x  

 k n  d  x, Tx   d Tx, T 2 x   ...  d T p 1 x, T p x  

 k 1  k  k  ...  k

n



2



p 1



1 k p

 d  x,Tx   k . 1  k d  x,Tx 

n











Vậy 0  d xn , xn  p 



kn

d  x, Tx 

1 k



(1) (do 0  k  1  0  1  k p  1 ).







 Do k  1 , bất đẳng thức trên chứng tỏ T n  x 







Mà  X , d  đầy đủ nên T n  x 







n







n



là dãy cơ bản.



hội tụ.



Đặt x0  lim T n  x  .

n 



Do T liên tục nên x0  T  x0  .

Suy ra x0 là điểm bất động của T và là điểm bất động duy nhất (do T là k – co)



kn

 Từ (1) cho p   , ta được d  x0 , T x  

d  x, Tx 

1 k

n



Định lí được chứng minh.

Định nghĩa 4.1.2



Ánh xạ T trong không gian mêtric  X , d  được gọi là   ,   – co nếu với mọi



  0 đều tồn tại   0 sao cho nếu   d  x, y      thì d Tx, Ty    (1).

Định lí 4.1.2 (Meir – Keeler)



Cho  X , d  là một không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ   ,   – co trong



X . Khi đó, T có điểm bất động duy nhất x và với mọi x0  X , ta có T n x0  x

khi n   .

Chứng minh.



Nhận xét

Mọi ánh xạ   ,   – co đều thỏa mãn điều kiện

Nếu x  y thì d Tx, Ty   d  x, y 



(2)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3.PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×