1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >

Chương 3.PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (559.23 KB, 55 trang )


Do i) nên tồn tại u0 là một cận trên của un  , nghĩa là ta có un  u0 n

Với u  u0 , ta có u  M n , n 







(do định nghĩa Mn )



Khi đó, do định nghĩa  n nên ta có S  u    n  2S  un1   S  un 











Mà S  un  tăng và bị chặn trên, S  un   S  u0 

Do đó tồn tại lim S  un  : a 

n



. Suy ra S  u   a : lim S  un 

n



Do S tăng nên u  u0  S  u   S  u0 

Vậy S  u   S  u0  (đpcm)

Hệ quả 3.1.1



Giả sử

i.



X là tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy giảm trong X có một cận dưới.



ii. S : X    ;    là một phiếm hàm tăng và bị chặn dưới.

Khi đó tồn tại phần tử u0  X sao cho

Với mọi u  X , u  u0 kéo theo S  u   S  u0  .

Chứng minh.



Trong X ta định nghĩa quan hệ thứ tự mới “  ” như sau x  y  x  y

Ta kiểm tra  X ,   và phiếm hàm   S  thỏa mãn các điều kiện sau của mệnh đề

3.1.1.

 Kiểm tra mỗi dãy tăng  un  trong  X ,   có một cận trên.



Ta có x1  x2  ...  x1  x2  ...

Dãy các phần tử bên phải là một dãy giảm nên theo giá trị i) thì dãy này có một cận

dưới. Nghĩa là tồn tại u  X thỏa xn  u với mọi n . Suy ra xn  u , n .

 Kiểm tra hàm   S  : X    ;    tăng, bị chặn trên.



Vì S tăng nên với x  y  x  y

Suy ra S  x   S  y  . Do đó  S  x    S  y 



Hàm   S  bị chặn trên do hàm S bị chặn dưới.

Theo mệnh đề 3.1.1 thì tồn tại u0  X sao cho



u  X , u  u0  S  u   S  u0 

Do đó u  X , u  u0  S  u   S  u0  .

3.2.



Ứng dụng vào bài toán điểm bất động



Định nghĩa 3.2.1



1. Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu

i.



K là tập đóng.



ii. K  K  K ,



 K  K   0 .



iii. K    K     .

2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi



x  y  y  xK

Mỗi x  K \   gọi là dương.

Định lí 3.2.1



Giả sử X là khơng gian Banach sắp bởi nón K , M  X là tập đóng và



F : M  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn

i.



F  M   M , x 0  M : x 0  F  x 0  .



ii. F biến đổi mỗi tăng thuộc M thành dãy hội tụ.

Khi đó F có điểm bất động trong M .

Chứng minh.



Đặt M0   x  M : x  F  x   0 (do i)











g  x   sup F  y   F  z  : y, z  M0 , y  z  x



 Tập M0 và hàm   g  thỏa mãn điều kiện của nguyên lí Entropy do:



i.   xn   M0  M ,  xn  tăng



 x : lim F  xn  (do ii), và x  M (do M đóng)

Ta có xn  F  xn   x , n



 x là lân cận trên của  xn  trong  M ,  

Mặt khác xn  x n  F  xn   F  x 



 x  F x







x  M0



Do đó x là cận trên của  xn  trong  M0 ,   .

ii. Với x1 , x2  M0



x1  x2   y, z  M0 : y  z  x2    y, z  M0 : y  z  x1

 

A



B



ta có sup F  y   F  z   sup F  y   F  z 

y , z A



y , zB



Suy ra g  x2   g  x1    g  x1    g  x2 

Do đó  g tăng và bị chặn trên bởi 0 .

 Áp dụng nguyên lí Entropy cho tập M 0 và hàm   g  ta có



a  M 0 , x  M 0 , x  a   g  x    g  a   g  x   g  a 



 



 Ta chứng minh g  a   0



Giả sử g  a   c  0 . Ta có



g  a   c  0  y1 , y2  M 0 : y2  y1  a, F  y2   F  y1   c

 



g  y2   g  a   c  y3 , y4  M 0 : y4  y3  y2 , F  y4   F  y3   c



Kết quả ta có dãy tăng  yn   M 0 , F  yn   F  yn1   c .











Điều này mâu thuẫn với F  yn  hội tụ (do giả thiết ii). Vậy g  a   0 .



 Điểm bất động



g  a   0 suy ra F  y   F  z  , y  z  a (do định nghĩa g )

 F  y   F  a  , y  a



  



Ta lại có a  M 0  F  a   a





 F  F  a   F  a 



do đó x : F  a  là điểm bất động.

Định nghĩa 3.2.2 Cho kg Banach thực X .



1. Nón K gọi là nón chuẩn nếu



N  0 :   x  y  x  N . y

2. Đoạn u , v :  x  X : u  x  v

Hệ quả 3.2.1



Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn

i. u  Fu , Fv  v .

ii. F  u , v



 là tập compact tương đối. K



là nón chuẩn.



Khi đó, F có điểm bất động trong u, v .

Chứng minh.





M  u , v  X là tập đóng.



xM  u  x  v

 u  F u   F  x   F  v   v

 F  x  M

do đó F  M   M và x0  u  M : x0  F  x0  .

Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.







 xn   u , v ,  xn  tăng, ta có



F  x  có dãy con hội tụ.

n



F  xn  tăng, K nón chuẩn (giả thiết ii)

Suy ra



F  x  hội tụ.

n



Do đó hàm F thỏa điều kiện ii) của định lí 3.2.1

Vậy F có điểm bất động trong u , v .



Định nghĩa 3.2.3



Nón K gọi là chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ.

Hệ quả 3.2.2



Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng thỏa

i. u  Fu , Fv  v .

ii. K là nón chính qui.

Khi đó, F có điểm bất động trong u, v .

Chứng minh.





M  u , v  X là tập đóng.



xM  u  x  v

 u  F u   F  x   F  v   v

 F  x  M

do đó F  M   M và x0  u  M : x0  F  x0  .

Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.

 Ta có  xn   M ,  xn  tăng thì F  xn   v







n , F  xn  tăng







Suy ra F  xn  hội tụ (do K nón chính qui)

Do đó F thỏa điều kiện ii) của định lí 3.2.1. Vậy F có điểm bất động trong u , v .



Chương 4.

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO

4.1. Ánh xạ co suy rộng và điểm bất động

Định nghĩa 4.1.1



Cho  X , d  là không gian metric và T : X  X

Ta có



 T là ánh xạ co nếu với x  y, d Tx, Ty   d  x, y  .

 Nếu có số 0  k  1 sao cho với mọi x, y thuộc X , d Tx, Ty   kd  x, y 

thì T là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản T là k – co.

Hiền nhiên nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T , nếu có,

sẽ là duy nhất.

Định lí 4.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach)



Cho  X , d  là không gian mêtric đầy đủ và T : X  X là ánh xạ k – co. Khi đó,



T có điểm bất động duy nhất, ghi là x0 và lim T n x  x0 với x  X .

n 



kn

Hơn nữa d  x0 , T x  

d  x, Tx  với mọi x  X .

1 k

n



Chứng minh.

 Với x  X , đặt x1  Tx, xn1  Txn



Với n, p 



, ta có



d  xn , xn p   d T n x, T n p x 

 kd T n1 x, T n p 1 x   ...  k n d  x, T p x  

 k n  d  x, Tx   d Tx, T 2 x   ...  d T p 1 x, T p x  

 k 1  k  k  ...  k

n



2



p 1



1 k p

 d  x,Tx   k . 1  k d  x,Tx 

n











Vậy 0  d xn , xn  p 



kn

d  x, Tx 

1 k



(1) (do 0  k  1  0  1  k p  1 ).







 Do k  1 , bất đẳng thức trên chứng tỏ T n  x 







Mà  X , d  đầy đủ nên T n  x 







n







n



là dãy cơ bản.



hội tụ.



Đặt x0  lim T n  x  .

n 



Do T liên tục nên x0  T  x0  .

Suy ra x0 là điểm bất động của T và là điểm bất động duy nhất (do T là k – co)



kn

 Từ (1) cho p   , ta được d  x0 , T x  

d  x, Tx 

1 k

n



Định lí được chứng minh.

Định nghĩa 4.1.2



Ánh xạ T trong không gian mêtric  X , d  được gọi là   ,   – co nếu với mọi



  0 đều tồn tại   0 sao cho nếu   d  x, y      thì d Tx, Ty    (1).

Định lí 4.1.2 (Meir – Keeler)



Cho  X , d  là một không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ   ,   – co trong



X . Khi đó, T có điểm bất động duy nhất x và với mọi x0  X , ta có T n x0  x

khi n   .

Chứng minh.



Nhận xét

Mọi ánh xạ   ,   – co đều thỏa mãn điều kiện

Nếu x  y thì d Tx, Ty   d  x, y 



(2)



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (55 trang)

×