1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 4.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO

Chương 4.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO

Tải bản đầy đủ - 0trang









Vậy 0  d xn , xn  p 



kn

d  x, Tx 

1 k



(1) (do 0  k  1  0  1  k p  1 ).







 Do k  1 , bất đẳng thức trên chứng tỏ T n  x 







Mà  X , d  đầy đủ nên T n  x 







n







n



là dãy cơ bản.



hội tụ.



Đặt x0  lim T n  x  .

n 



Do T liên tục nên x0  T  x0  .

Suy ra x0 là điểm bất động của T và là điểm bất động duy nhất (do T là k – co)



kn

 Từ (1) cho p   , ta được d  x0 , T x  

d  x, Tx 

1 k

n



Định lí được chứng minh.

Định nghĩa 4.1.2



Ánh xạ T trong không gian mêtric  X , d  được gọi là   ,   – co nếu với mọi



  0 đều tồn tại   0 sao cho nếu   d  x, y      thì d Tx, Ty    (1).

Định lí 4.1.2 (Meir – Keeler)



Cho  X , d  là một không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ   ,   – co trong



X . Khi đó, T có điểm bất động duy nhất x và với mọi x0  X , ta có T n x0  x

khi n   .

Chứng minh.



Nhận xét

Mọi ánh xạ   ,   – co đều thỏa mãn điều kiện

Nếu x  y thì d Tx, Ty   d  x, y 



(2)



Thật vậy, nếu x  y thì đặt   d  x, y   0 và ta sẽ có



  d  x, y      , nên theo (1) ta phải có d Tx, Ty     d  x, y 

Lớp ánh xạ thỏa điều kiện (2) thường được gọi là “co yếu”. Hiển nhiên các ánh xạ

thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất.

Chứng minh định lí.

 Lấy x0  X tùy ý



Đặt xn1  Txn , cn  d  xn , xn1  , n  0,1,2,...

Có thể giả thiết cn  0 .

Vì T co yếu nên cn  d Txn 1 , Txn   d  xn1 , xn   cn1 ,...

Suy ra cn  là dãy số ko âm và giảm (chặn dưới bởi 0 )

Do đó cn    0 .

 Nếu   0 thì tồn tại   0 để có (1)



Chọn k 



sao cho nếu n  k thì cn     .



Theo (1) thì cn1   là điều vơ lí.

Vậy   0 , tức là cn  0 .

 Ta sẽ chứng minh  xn  là dãy Cauchy bằng phản chứng.



Giả sử có   0 sao cho với mọi k 

Chọn k sao cho nếu i  k thì ci 





4



tồn tại m, n  k mà d  xn , xm   2 .



,   min  ,   .



Chọn m  n  k để cho d  xn , xm   2 .

Và xét các số d  xn , xn 1  , d  xn , xn  2  , ..., d  xn , xm  .

Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là



d  xn , xi   d  xn , xi 1   d  xi , xi 1   ci 





4



Vì d  xn , xn1   cn 











4





4



.



Còn d  xn , xm   2 nên tồn tại j  n, n  1,..., m sao cho









2



 d  xn , x j    







3

.

4























Vì   d xn , x j     nên theo (1) ta có d Txn , Tx j  d xn1 , x j 1  

Từ đây ta có



d  xn , x j   d  xn , xn1   d  xn1 , x j 1   d  x j 1 , x j 







4



 







 



4





2











Điều này mâu thuẫn với d xn , x j   





2



Vậy  xn  là dãy Cauchy và xn  x  X



.

(do  X , d  đầy đủ)



 Do T là ánh xạ co yếu, n ta có



d  x , Tx   d  x , xn1   d  xn1 , Tx 



 d  x , xn1   d Txn , Tx 



 d  x , xn1   d  xn , x 











Cho n   ta được d x , Tx  0 , tức là x  Tx .

Vì T co yếu nên x là duy nhất (đpcm).

Hệ quả 4.1.1



Cho không gian metric đầy đủ  X ,   và ánh xạ f : X  X thỏa mãn điều kiện



c0 suy rộng sau đây của Krasnoselskii: Với mọi cặp số 0  a  b tồn tại số

q  q  a, b   1 sao cho

x, y  X ,   x, y    a, b     f  x  , f  y    q   x, y 



Khi đó, f có duy nhất điểm bất động x và với mọi x0  Y , dãy lặp xn  f n  x0 

hội tụ về x .

Chứng minh.



Ta chứng minh f thoả mãn định lí Meir – Keeler.

Cho   0 , chọn số q  1 thoả mãn

x, y  X ,   x, y    ,   1    f  x  , f  y    q   x, y 

  1  q  

Chọn   min 1 ,

 thì ta có

q 



x, y  X ,     x, y         f  x  , f  y    



Ví dụ



Cho  X , d  là không gian metric đầy đủ, T : X  X là ánh xạ lipsit.



 



Giả sử tồn tại p 



sao cho k T p  1 .



Khi đó T có điểm bất động duy nhất, ghi là x0 và lim T n  x   x0 , x  X .

n 



Chứng minh.



 



 Đặt k  k T p  1



Với x, y  X , đặt   x, y  



p 1



 d  T x, T y 

i



i



,



T0  I



i 0



Thì  là mêtric trên X .

 Ta có x, y  X



 p 1



d  x, y     x, y     k T i   d  x, y   ad  x, y 

 i 0



Với 0  a 



p 1



 k T ,

i



i 0



k T 0   1



Vậy d ,  là mêtric tương đương.



 



 Hơn nữa, ta có



 Tx, Ty  



p 1



 d  T x, T y   d  T

i



i



i 1



p



x, T p y 



   x , y   d  T p x, T p y   d  x, y 

   x, y   1  k  d  x, y 

 



 1 k 

 1 

   x, y   k 0   x, y 

a 











với k0  1 



1 k 

 1

a 



Vậy T :  X ,     X ,   là ánh xạ k0 – co.

 Ta có:  X ,   là không gian mêtric đầy đủ.



T :  X ,     X ,   là ánh xạ k0 – co.

Áp dụng định lí 4.1.1 (nguyên lí ánh xạ co), T có điểm bất động duy nhất x0 và



lim T n  x   x0 trong  X ,   với x  X .

n 



Do d ,  là hai metric tương đương nên lim T n  x   x0 trong  X , d  .

n 



4.2. Điểm bất động của một lớp ánh xạ lõm

Định nghĩa 4.2.1 (Ánh xạ u0 – lõm đều)



Cho không gian Banach X được sắp bởi nón K và u0  K \ 0 .

Ánh xạ A : K  K được gọi là u0 – lõm đều nếu

i.



A là ánh xạ tăng.



ii. x  K \ 0  Ax  Ku0 .

iii.   a, b    0,1 ,  c, d    0,   ,   0 :



t   a, b  , x  cu0 , du0  A  tx   1    tAx



Lưu ý





Ku0 :  y  K :  ,   0 ,  u0  y   u0 



 Với x, y  Ku0 , ta định nghĩa



1





x  y   x







d  x, y   ln   x, y 



  x, y   min   1:



 Ta chứng minh d là metric trên tập Ku0 . Ta kiểm tra ba điều kiện



i. d  x, y   d  y, x  . Thật vậy, với   1



1

 x  y

 x y



 1



x  y   x  





y

x

 y   x



1



1







y  x  y



Suy ra   x, y     y, x  hay d  x, y   d  y, x  .

ii.   x, y   1 nên d  x, y   0 .



d  x, y   0    x, y   1 .

Khi đó x  y  x  x  y .

iii. d  x, y   d  x, z   d  z , y  .

Ta có với x, y, z  Ku0 .



Suy ra



1

x  z    x, z  x ,

  x, z 



  x, z   1



1

z  y    z, y  z ,

  z, y 



  z, y   1



1

x  y    x, z  .  z , y  x với   x, z  .  z , y   1

  x, z  .  z , y 



Suy ra   x, y     x, z  .  z , y  hay d  x, y   d  x, z   d  z , y  .



Vậy d là metric trên tập Ku0 .

 Từ định nghĩa d  x, y  ta có e



d  x, y 



.x  y  e



d  x, y 



.x



Bổ đề 4.2.1



Nếu K là nón chuẩn thì tập Ku0 với metric d định nghĩa ở trên là không gian

metric đầy đủ.

Chứng minh.



Giả sử  xn  là dãy Caychy trong  Ku0 , d  .

Ta cần chứng minh  xn  hội tụ trong  Ku0 , d  .

 Chứng minh  xn  bị chặn theo chuẩn.











Thật vậy, ta tìm được n1 sao cho d xn , xn1  1 hay e 1 xn1  xn  exn1

Từ đây ta suy ra  xn  bị chặn (do K – nón chuẩn)

 Ta có e







e



 d  xn , xm 



 d  xn , xm 



xm  xn  e



d  xn , xm 







xm







 1 xm  xn  xm  e



Vì d  xm , xn   0



(1)



d  xn , xm 







 1 xm



(2)



và  xn  bị chặn nên các dãy ở hai đầu bất đẳng



 m, n   



thức (2) hội tụ tới 0 khi n, m   .

Do K là nón chuẩn nên ta suy ra lim  xn  xm   0

n , m



Vậy  xn  là dãy Cauchy trong X .

Đặt x  lim xn trong  X , .

n



.



 Ta chứng minh x  lim xn trong  Ku0 , d  .

n



Cho   0 , ta tìm được n0 sao cho d  xn , xm    , n, m  n0

Từ (1), ta có e  xm  xn  e xm



m, n  n0



Cho m   , ta có e  x  xn  e x



n  n0



 d  xn , x    n  n0

Vậy lim d  xn , x   0 hay lim xn  x trong  Ku0 , d  .

Định lí 4.2.1



Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

i.



K là nón chuẩn.



ii. A : K  K là toán tử u0 – lõm đều.

iii.  ,   0 :

Khi đó



 u0  A  u0  , A   u0    u0 .



A có duy nhất trong



 u0 ,  u0



điểm bất động và với mọi



x0   u0 ,  u0 , dãy lặp  An  x0  hội tụ về điểm bất động.

Chứng minh.

 Đặt Y   u0 ,  u0 thì Y là tập đóng trong  Ku0 , d  nên Y , d  cũng là không



gian metric đầy đủ.

 Ta sẽ chứng minh toán tử A là ánh xạ c0 theo nghĩa Krasnoselskii

d x, y

Với 0  a  b và d  x, y    a, b  thì e    e  b , e  a    0,1



 Gọi  là số nói trong điều kiện iii) của định nghĩa 4.2.1 tương ứng với



e  b , e  a  ,  u0 ,  u0 .

Ta có e



d  x, y 



.x  y  e



d  x, y 



.x







A e

e



 d  x, y 



d  x, y 











.x  Ay  A e



d  x, y 



.x







e 

Ax

1    Ax  Ay 

1 

d x, y



e 

   Ax, Ay  

1 

 d  Ax, Ay   d  x, y   ln 1   

d x, y



 ln 1    

 d  Ax, Ay   d  x, y  1 



,

d

x

y













với d  x, y    a, b  thì d  Ax, Ay   1 







Vậy ánh xạ A thỏa điều kiện co suy rộng.

Áp dụng bổ đề 4.2.2 ta có đpcm.



ln 1    

 d  x, y 

b





KẾT LUẬN



Để có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ tăng hoặc

để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại, phân tích

các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng. Do đó, trong luận văn

chúng tơi đã trình bày bốn phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của

ánh xạ tăng mà chúng tơi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học.

Qua q trình làm luận văn tơi đã thấy các kiến thức học được trong các phần

học giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, … đã giúp ích rất nhiều

cho tơi trong việc hồn thành luận văn này. Bước đầu tôi đã học được phương pháp

tự học và nghiên cứu.

Tôi hy vọng sẽ được học tập và nghiên cứu thêm về đề tài này.



TÀI LIỆU THAM KHẢO



1. I. A. Bakhtin (1972), Existence of common fixed points for abelian families of



discontinuous operators, Siberian Math J. 3, 167 – 172.

2. S. Carl, S. Heikkila (2004), Nonlinear differential equations in ordered space,

Chapman & Hall/ CRC.

3. S. Heikkila (1999), On chain methods used in fixed point theory, Nonlin. Stud. ,

6, 171 – 180.

4. E. Zeidler (1985), Nonlinear Funtional Analysis and its Applications, v.1, 3,

Springer – Verlag.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 4.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×