2 Ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ tăng

Thực vậy,  x  và  A0 x  là các tập có thứ tự tuyến tính trong thứ tự cũ.

Vì vậy, phần tử y  sup  A0 x  là tồn tại và thuộc M .

Khi đó x  A0 x  y

Và A0 x  y  A0 y . Do đó x  y .

Tức là  x  bị chặn trên trong thứ tự mới.

Do bổ đề Zorn, với mỗi x  M , tồn tại trong M ít nhất một phần tử cực đại



x  x .

Hiển nhiên, y   A0 x  x , A0 y   y   A0 x . Tức là x  y  .

Vì vậy, do tính cực đại của x nên A0 x  x , với x  x .

Chúng ta chứng minh rằng các tốn tử A có ít nhất một điểm bất động chung trong



M.

Giả sử trái lại, với mỗi điểm bất động x0  M của A0 , tồn tại một A   sao cho



y  Ax0  x0 .

Theo chứng minh trên, tồn tại trong M một điểm bất động x1  y của A0 .

Chúng ta sẽ xây dựng một dãy siêu hạn tăng các điểm bất động của A0 bằng cách

tương tự như sau.

Nếu x là xác định với mọi    và con số siêu hạn  là loại I, thì do giả thiết,

tồn tại một điểm bất động x  x 1 của A0 ,



.



Nếu  là loại II, thì chúng ta định nghĩa x là điểm bất động bất kì



x  sup  x  A0 x    của A0 .

Quy trình này được tiếp tục đến vơ hạn, do đó, chúng ta có thể xây dựng một dãy

siêu hạn tăng các điểm bất động x  M của A0 , có lực lượng tuỳ ý, nói riêng có

lực lượng lớn hơn lực lượng của    0 . Ta gặp mâu thuẫn.



Định lí 2.1.2



Cho một họ giao hoán    A của các toán tử A và tập M  X có các tính chất

sau

1. M là bất biến với mọi A   .

2. Ax  x, A   và x  M .

3. Có ít nhất một tốn tử A0  là v – đóng dưới trên M .

Thì các tốn tử A   có một điểm bất động chung trong M .

Kết quả của định lí 2.1.1 và 2.1.2 được làm mạnh dưới giả thiết thêm; chúng ta sẽ

lần lượt chứng minh sự tồn tại của điểm bất động chung nhỏ nhất và điểm bất động

chung lớn nhất.

Định lí 2.1.3



Nếu tất cả các điều kiện của định lí 2.1.1 đều thỏa với một họ giao hoán    A

các toán tử đơn điệu A trên M  X thì với x  M tùy ý, tồn tại trong M một

điểm bất động chung dưới (nhỏ nhất) x  x của A   .

Chứng minh.



Cố định một x  M , chúng ta sẽ xây dựng một dãy tăng siêu hạn của các phần tử từ



M theo quy tắc sau.

Giả sử x xác định với mọi     x1  x  . Nếu số siêu hạn  là loại I, thì quá

trình kết thúc nếu x 1 là điểm bất động chung của mọi A   . Trường hợp khác,

để làm x chúng ta lấy A0 x 1 nếu A0 x 1  x 1 và bất cứ Ax 1  x 1 nếu



A0 x 1  x 1 .

Nếu  là loại II, thì với x , tồn tại phần tử sup  x    thuộc M do tính chất v –

đóng trên của A trên M . Thật vậy, phần tử sup  y    A0 x    tồn tại và thuộc



M . Nhưng với   



tùy ý,



A0 x  x



hoặc



A0 x  x 1 . Vì vậy



sup  x     sup  y    .

Q trình này khơng thể tiếp tục mãi, vì nếu vậy chúng ta có thể xây dựng theo

phương pháp này một dãy siêu hạn tăng các phần tử từ M , số phần tử của nó vượt

quá số phần tử bất kì đã cho, đặc biệt vượt số phần tử của chính M .

Cho q trình này giới hạn ở một bước  0 . Hiển nhiên, x  x 0 là điểm bất động

chuug của A   .

Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng y   x với bất kì điểm bất động chung



y   x của A   . Thực vậy, lấy x  y  với mọi        0  . Chúng ta sẽ

chứng tỏ rằng x  y  . Do đó, vì  tùy ý, dãy siêu hạn  x  có cận trên là y  , và

đặc biệt x  x  y  .

Nếu  là loại I thì hiển nhiên x 1  y  . Vì vậy, Ax 1  Ay   y  với A   bất

kì, và đặc biệt x  y  .

Nếu  là loại II thì x  sup  x     y  . Định lí được chứng minh.



Định lí sau được chứng minh tương tự.

Định lí 2.1.4



Nếu tất cả điều kiện của định lí 2.1.2 thỏa với họ giao hoán    A của các toán tử

đơn điệu A trên M  X , thì với x  M tùy ý, tồn tại trong M một điểm bất động

chung trên (lớn nhất) x  x của A   .



Định lí 2.1.5



Cho một tốn tử đơn điệu A trong khơng gian Banach thực E với nón chuẩn



K  E biến đoạn đóng x0 , y0 thành chính nó và thỏa ít nhất một trong các điều

kiện:

1. A là compact.

2. K là chính qui.

3. E là đầy đủ yếu.

Khi đó A là v – đóng trên x0 , y0 .

Chứng minh.



Xét tập có thứ tự tuyến tính  x   x0 , y0 . Do tính đơn điệu của A , tập hợp



 A  x  



x0 , y0 có thứ tự tuyến tính. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các phần tử



u0  inf  Ax  , v0  sup  Ax  tồn tại.

Do đó, tính v – đóng của A trên sẽ được chứng minh vì u0 , v0  x0 , y0 .

Trước tiên chúng ta chứng minh tính compact của  Ax  .

Trong trường hợp (1),  Ax  compact do đoạn x0 , y0 bị chặn và A là compact.

Trong trường hợp (2) và (3), có thể trích ra một dãy con tăng hoặc giảm từ một dãy

bất kì  yn    Ax  .



  là dãy con tăng của dãy  y    Ax  . Sự hội tụ của  y 

là hiển nhiên trong trường hợp (2). Trong trường hợp (3), dãy  y  hội tụ yếu đến



Để xác định, lấy ynk







n



nk



nk



  đơn điệu, dãy



 



y nào đó. Nhưng y  co ynk . Vì vậy, do K là nón chuẩn và ynk



 y  hội tụ theo chuẩn đến y . Tính compact của  Ax  được chứng minh.

nk



Lấy  yn    Ax  là tập đếm được và xét



un  inf  y1 ,..., yn  , vn  sup  y1 ,..., yn 







Lý luận như trên ta chứng minh được tồn tại giới hạn mạnh u0  lim un và



v0  lim vn . Ta chứng minh u0  inf  Ax  và v0  sup  Ax  . Thật vậy, với Ax

tùy ý, tồn tại một dãy con ynk  Ax . Nhưng ynk  unk  u0 và ynk  vnk  v0 . Vì

vậy, u0  lim ynk  Ax  v0 . Mặt khác, nếu    Ax    thì   un  và



vn    ,



do đó,   u0 và v0   . Vì vậy, u0 và v0 là các cận đúng của tập



 Ax  . Định lí được chứng minh.

Định lí 2.1.6



Xét họ giao hoán    A các toán tử A , đơn điệu trên đoạn đóng x0 , y0 trong

khơng gian Banach thực E với nón K , biến x0 , y0 thành chính nó và thỏa ít nhất

một trong các điều kiện sau:

1. K là nón minihedral mạnh.

2. K là nón chuẩn và ít nhất một là compact.

3. K là nón chính quy.

4. K là nón chuẩn và E là đầy đủ yếu.

Thì tốn tử A   có điểm bất động chung dưới (nhỏ nhất) và điểm bất động chung

trên (lớn nhất) trong x0 , y0 .

Chứng minh.



Gọi M là tập tất cả x  x0 , y0 sao cho Ax  x nếu A   . Hiển nhiên, x0  M .

Vì vậy M   .

Từ đó với x  M bất kì và A1 , A2  



A2 A1 x  A1 A2 x  A2 x

Kéo theo M là bất biến với mọi A   .

Ta chứng tỏ rằng bất cứ A   là v – đóng trên trên M .

Lấy tùy ý tập có thứ tự tuyến tính  x   M .



Do tính đơn điệu của A , tập  Ax   M  x0 , y0 cũng có thứ tự tuyến tính. Vì

vậy, do điều kiện (1) của định lí 6, phần tử y  sup  Ax   x0 , y0 tồn tại. Chúng

ta sẽ chứng tỏ rằng y  M . Từ đó tính v – đóng của A trên M được chứng minh.

Thật vậy, từ bất đẳng thức y  Ax  x và tính đơn điệu của A , suy ra rằng



Ay  Ax . Vì vậy, ta cũng có Ay  y , tức là, y  M .

Vì vậy, theo định lí 2.1.3, tốn tử A   có một điểm bất động chung x  x0 trong



M . Từ đó M bao gồm tất cả các điểm bất động chung z  x0 , y0 của A   ,

suy ra x là điểm bất động chung nhỏ nhất trong x0 , y0 của A   .

Sự tồn tại của điểm bất động chung trên y   x0 , y0 của A   được chứng minh

tương tự. Định lí đã được chứng minh.

Bằng cách tương tự trên, chúng ta chứng minh được định lí sau.

Định lí 2.1.7



Nếu một họ giao hốn    A các toán tử A , đơn điệu trên đoạn đóng x0 , y0

trong K – khơng gian X , biến x0 , y0 thành chính nó, thì các tốn tử A   có

điểm bất động chung dưới và điểm bất động chung trên trong M .

Bây giờ, chúng ta sẽ thiết lập một loạt các sự kiện có liên quan đến định lí 2.1.7.

Định nghĩa 2.1.2



Nón K  E được gọi là nón minihedral hồn tồn nếu mọi tập bị chặn (theo chuẩn)



F  K đều có một cận trên nhỏ nhất trong E .



Định lí 2.1.8



Giả sử

a. Một họ giao hoán    A các tốn tử A , đơn điệu trên khoảng đóng



x0 , 



 x  x0 



trong không gian Banach thực E với nón K , biến x0 , 



thành chính nó.

b. Tồn tại ít nhất một A0  sao cho với mọi x đủ lớn



x



 R, x  x0  ,



 x  A0 x  K .

c. K là nón minihedral hồn tồn hoặc chính qui hồn tồn, hoặc nó thỏa ít

nhất một trong các điều kiện (2) và (4) của định lí 2.1.7.

Khi đó các tốn tử A   có một điểm bất động chung dưới trong x0 ,  .

Chứng minh.



Gọi M là tập tất cả x  x0 ,  có tính chất: Ax  x nếu A   .

Hiển nhiên M    x0  M  và M bị chặn theo chuẩn.

Vì định lí 2.1.7 chứng tỏ rằng họ    A thỏa điều kiện của định lí 2.1.3 trên M .

Vì vậy, A   có một điểm bất động chung dưới x  x0 trong M . Nhưng tất cả

các điểm bất động chung z  x0 ,  của A   đều thuộc M . Do đó, x là điểm

bất động chung nhỏ nhất của A   trong khoảng đóng



x0 ,  . Định lí được



chứng minh.

Chú ý rằng họ giao hoán    A của các tốn tử đơn điệu dương A biến khoảng

đóng x0 ,   K vào nó  x0    nếu x0  K là điểm bất động khác không bé

nhất của A0   và nếu với mọi x  K /  và A   các phần tử Ax   .

Thật vậy, Ax0  AA0 x0  A0 Ax0 với mọi A   , tức là, Ax0  K /  là điểm bất

động của A0 . Vì vậy, Ax0  x0 . Sự bất biến của x0 ,  với họ  kéo theo từ điều

này và tính đơn điệu của A   .



Dễ thấy rằng một toán tử đơn điệu dương A0 có một điểm bất động khác khơng nhỏ

nhất trong nón K nếu



 ) Điều kiện (c) của định lí 2.1.9 được thỏa mãn;

 ) Với x  K đủ lớn



x



 R  các phần tử A0 x  x  K và A0   .



Định lí 2.1.9 được chứng minh hồn tồn tương tự.

Định lí 2.1.9



Giả sử

a. Một họ giao hoán    A các toán tử A , đơn điệu trên khoảng đóng



 , x0



 x  x0 



trong khơng gian Banach thực với nón K , biến  , x0



thành chính nó.

b. Tồn tại ít nhất một A0   sao cho với mọi x  x0 đủ lớn



x



 R ,



x  A0 x  K .

c. Điều kiện (c) của định lí 2.1.9 được thỏa mãn.

Thì các tốn tử A   có một điểm bất động chung trên trong  , x0 .

Chúng ta sẽ chứng minh mơt loạt các định lí, gần với định lí 6, 8 và 9, trong trường

hợp  gồm một tốn tử A .

Định lí 2.1.10



Giả sử rằng trong khơng gian Banach thực E

1. K là nón chuẩn.

2. Toán tử A là dương và đơn điệu.

3. Tồn tại R0  r0  0 và phần tử u0  K /  sao cho Ax  x nếu x  K /  và



x  r0 , và Ax  u0  x nếu x  K và x  R0 .

4. Ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn



a. K là nón minihedral hồn tồn.

b. A compact.

c. K là nón chính qui hồn tồn.

d. E là yếu hồn tồn

Thì A có ít nhất một điểm bất động trong K /   K    .

Chứng minh.



Xét toán tử A0 x  Ax  u0 .

Hiển nhiên, tập  0   A0  thỏa tất cả các điều kiện của định lí 2.1.9 trên



K   ,  . Vì vậy, A0 có ít nhất điểm bất động y0 trong K : Ay0  u0  y0 .

Gọi M là tập tất cả x   , y0



 x    sao cho



Ax  x .



Dễ thấy M    y0  M  , AM  M và A là v – đóng dưới trên M . Do đó, A

có ít nhất một điểm bất động trong M  K /  . Định lí được chứng minh.

Hạn chế của điều kiện (3) của định lí 2.1.10 là khơng thỏa trong một loạt các trường

hợp. Ta thay thế nó bởi các giả thiết khác.



Định lí 2.1.11



Giả sử các điều kiện (1), (2) và (4) của định lí 2.1.10 thỏa trong khơng Banach thực

và

1. K là nón solid và minihedral.

2. Tồn tại R0  r0  0 sao cho Ax  x nếu x  K /  và x  r0 , và Ax  x

nếu x  K và x  R0 .

Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K /  .

Chứng minh.



Do K là solid, tồn tại một phần tử v0  K và một số N  0 sao cho x  v0 nếu



x  R0 , và Av0  Nv0 .



Gọi A0 là toán tử A0 x   Ax    Nv0  . Dễ thấy A0 x  x nếu x  K /  và



x  r0 , và A0 Nv0  Nv0 . Vì vậy, A0 có một điểm bất động x0 trong K /  :



 Ax0    u0   x0 .

Hiển nhiên Ax0  x0 . Từ điều này và định lí 2.1.8 ta suy ra A có ít nhất một điểm

bất động trong K /  . Định lí được chứng minh.



Chương 3.

PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY

3.1.



Nguyên lí Entropy



Định lí 3.1.1 (Brezis – Browder)



Giả sử

i.



X là tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên.



ii. S : X    ;    là một hàm đơn điệu tăng ( u  v  S  u   S  v  ) và bị

chặn trên.

Khi đó, tồn tại phần tử u0  X có tính chất



u  X , u  u0  S  u   S  u0 

Chứng minh.



Lấy tùy ý u1  X rồi xây dựng các phần tử u1  u2  ... như sau

giả sử đã có un , ta đặt



Mn  u  X : u  un 



 n  sup S  u 

uMn



 Nếu  n  S  un  thì S  u   S  un  , u  un



Mà do ii) nên S  u   S  un  , u  un

Suy ra S  u   S  un  , u  un . Lấy u0  un ta có đpcm.

 Nếu  n  S  un  ta tìm được un1 thỏa



 un1  Mn





1

S  un1    n  2   n  S  un  

Nếu q trình trên vơ hạn thì ta có dãy tăng un  thỏa



2S  un1   S  un    n



n 



