1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

Tải bản đầy đủ - 0trang

2



3. Modun trung thành: Một A modun M đƣợc gọi là trung thành (faithful) nếu a,b∈

A, a



b x∈M sao cho ax



bx.



4. Đại số nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nguyên thủy (primitive) nếu

có A-modun M bất khả qui, trung thành.

5. Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nửa nguyên thủy (semi

piimitive) hay nửa đơn (semi simple) nếu có A-modun M hoàn toàn khả qui, trung thành.

6. Ideal nguyên thủy: Một ideal



của đại số A đƣợc gọi là ideal nguyên thủy nếu A/



là đại số nguyên thủy.

7. Ideal chính qui: Một ideal phải

gọi là ideal phải chính qui nếu



của đại số A (khơng nhất thiết có đơn vị) đƣợc

∀x∈A. Tƣơng tự đối với ideal trái chính



a∈A để x-ax∈



qui.

Rõ ràng khi A là đại số có đơn vị thì mọi ideal đều chính qui.

8.Ideal tựa chính qui: Phần tử a∈A (A khơng nhất thiết có đơn vị) đƣợc gọi là tựa

chính qui phải nếu a'∈A sao cho a+ a’ + aa’ = 0. Một ideal phải



của đại số A đƣợc gọi là



ideal phải tựa chính qui phải nếu ∀x∈p đều tựa chính qui phái.

Tƣơng tự đối với ideal trái tựa chính qui trái.

Khi A là đại số có đơn vị, nếu a∈A là phần tử tựa chính qui phải thì từ đẳng thức a+ a

+ aa' = 0



1+ a+ a + aa' = 1



(1 + a)(l + a') = 1



1 + a khả nghịch phải.



Tƣơng tự khi a∈ A là phần tử tựa chính qui trái.



3



9. Đại số lũy linh, lũy linh địa phƣơng và nil đại số:

Xét đại số A (khơng nhất thiết có đơn vị).

A đƣợc gọi là lũy linh nếu 3m sao cho A =0.

A đƣợc gọi là lũy linh địa phƣơng nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một

đại số con lũy linh.

A đƣợc gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.

Một ideal của đại số A đƣợc gọi là lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil ideal ) nếu xem là

đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil đại số). Hiển nhiên là mọi ideal lũy

linh đều lũy linh địa phƣơng và mọi ideal lũy linh địa phƣơng đều là nil ideal.

Các bổ đề sau là dễ thấy:

Bổ đề I.1: Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng,

nil đại số ) là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil dại số ).

Bổ đề I.2:



Nếu



là ideal của đai số A sao cho và A/



là ideal lũy linh (lũy linh



địa phuong, nil ideal) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil đại số ).

Bổ đề I.3: Nếu



1,



2



là các ideal lũy linh( lũy linh địa phƣơng, nil ideal ) thì



1,



2



cũng nhƣ vậy.

Chứng minh: Đó là vì ta có đẳng cấu ( 1+

Bổ đề 1.4: Nếu {

vậy.



2)/



2



=



1/



2



2



} là họ các nil ideal ( hoặc lũy linh địa phƣơng) thì ∑



cũng nhƣ



4



Từ bổ đề 1.4 ta suy ngay ra rằng đối vơi một đại số A bất kỳ tồn tại duy nhất một nil

ideal tối đại và nó chứa mọi nil ideal. Cũng vậy tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa

phƣơng tối đại và nó chứa mọi ideal lũy linh địa phƣơng Đây là cơ sở để chúng ta định nghĩa

upper nil radical và Levitzki nil radical ở chƣơng sau.

10.Đại số nguyên tố: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nguyên tố (prime) nếu 0 là

ideal nguyên tố của A.

Các điều kiện sau đây đối với đại số A là tƣơng đƣơng:

a) A là đại số nguyên tố.

b) bAc = 0

c) Nếu



b = 0 hoặc c = 0.



là ideal trái của A,



d) Nếu p là ideal phải của A,



0 thì { a∈A/ a

0 thì { a∈A/



=0}=0.



a =0}=0.



11. Đại số nửa nguyên tố: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nửa nguyên tố (semi

priine) nếu A khơng có ideal lũy linh khác khơng.

12. Ideal nửa nguyên tố: Một ideal



của đại số A đƣợc gọi là ideal nửa nguyên tố



nến A/ là đại số nửa nguyên tố.

13. Đại số đơn: Một đại số A đƣợc gọi là đại số đơn nếu A



0, A khơng có ideal nào



khác ngoài 0 và A.

Nếu A là đại số đơn. Gọi c={ c∈A/cx=xc ∀x∈A } là tâm của A thì C là trƣờng và A

có thể xem là đại số trên C.

Ta xét trƣờng hợp đặc biệt khi K là một trƣờng. Nếu tâm C của A là C = K1 thì ta nói

rằng A là đại số tâm đơn trên trƣờng K.

Giả sử E là đại số trên trƣờng K chứa các đại số con A và B sao

cho ab =ba ∀a ∈A, b∈B; E sinh bởi A và B và nếu a1 a2…ar là K độc lập



5



thì từ ∑



= 0 đối với bi∈B suy ra mọi bi=0. Khi đó ánh xạ: a b



ab là một đẳng cấu



đại số. Do vậy trong trƣờng hợp này và khi A , B hữu hạn chiều thì [E:K]=[A:K][B:K].

14. Tích trực tiếp con: Giả sử { A } là một họ các đại số, xét ∏



là tích trực tiếp



của họ các đại số trên. Một đại số con A của ∏



đƣợc gọi là một tích trực liếp con của họ



{A



là tồn cấu.



} nếu hạn chế trên A của mỗi phép chiếu



Khi A là tích trực tiếp con của { A



}, ta gọi B



= Ker(



|A) thì A/B



A











= 0. Ngƣợc lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và { B } là họ các iđeal trong A sao cho







= 0. Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ {A } trong đó A



= A/B .



Liên quan giữa các đại nửa nguyên thủy và nguyên thủy ta có :

Bổ đề I.5: Một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của

các đại số nguyên thủy.

15.Bổ đề Schur: Nếu M là A-modun bất khả qui thì A’ = End AM là một đại số chia

đƣợc.

16.Định lý về trù mật: Giả sử V là không gian vector. Một tập hợp các phép biến đổi

tuyến tính trên V đƣợc gọi là trù mật nếu với mọi hệ độc lập tuyến tính {x1, x2, …., xn}







mọi hệ {y1, y2, …,yn} V đều tồn tại phép biến đổi tuyến tính a của tập trên sao cho axi = yi ∀

i, 1



.



6



Định lý: Mọi đại số nguyên thủy đều đẳng cấu với một đại số trù mật của các phép

biến đổi tuyến tính của một không gian vector trên đại số chia đƣợc.

Giả sử X và Y là các tập hợp. Y X là tập các ánh xạ từ X vào Y.

Với mỗi tập hữu hạn { xi } của X và với mỗi ánh xạ f: X



Y ta xét tập {g ∈YX /gxi = fxi ∀i }



. Trên YX xác định tôpô (gọi là tôpô hữu hạn) mà hệ cơ sở các tập mở bao gồm các tập hợp

đƣợc xác định nhƣ trên. Đặc biệt X=Y=V với V là không gian vector trên đại số chia đƣợc



thì End



V là khơng gian con đóng của V và một tập các phép biến đổi tuyến tính trên V



mà trù mật theo nghĩa trên thì cũng trù mật theo nghĩa tơpơ. Các phép tốn của khơng gian

vector V là các ánh xạ liên tục.



B. Các đồng nhất thức

1) Đại số tự do với tệp đếm đƣợc các phần tử sinh:

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm đƣợc các phần tử x1 , x2



Gọi



K[X] là đại số vị nhóm của X trên K. Nó đƣợc gọi là đại số tự do với tập đếm đƣợc các phần

tử sinh. X đƣợc nhúng vào K[X] và phép nhúng nhƣng i: X

là một đại số bất kỳ và ánh xạ : X



K[X] có tính phổ dụng: Với A



A luôn tồn tại duy nhất đồng cấu : K[X] A sao cho



i=

2. Đồng nhất thức:

Nếu f ∈ K[X] thì f∈K{x1 x2,... ,xm } với K{x1,x2….. xm }là đại số con sinh bởi

tập hữu hạn { x1, x2, . . . , xm} với m nào đó. Do đó ta viết f = f(x1 x2, ..., xm).



7



Nếu f = f(x1, x2, . . . , xm ) ∈ K[X] và A là một đại số thì ∀a1,a2….am ∈A, xét

ánh xạ: X



A mà xi



ai sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu



: K[X]



A. Ta gọi ảnh của f qua



đồng cấu này là f(a1, a2,..., am ).

Định nghĩa: Nếu f(a1, a2,... ,am) = 0 ∀ a1, a2,..., am ∈ A thì ta nói rằng f là một đồng

nhất thức trên A trên tập các phép thế của n phần tử.

3) Đa thức chuẩn tắc: Đa thức chuẩn tắc bậc n là đa thức:



Trên tập các phép thế của n phần tử.



8



CHƢƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ

Trong chƣơng này, chúng ta trình bày các kết quả về upper nil radical, lower nil

radical, Levitzki nil radical và radical Jacobson trên các PI-dạị số. Khái niệm các PI-đại số

đƣợc xem nhƣ một sự tổng quát hoá khái niệm các đại số giao hoán. Ta sẽ chứng minh upper

nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical của các đại số giao hốn là trùng nhau. Kết

quả nói trên đối với các đại số giao hoán đƣợc tổng quát hoá đối vơi một PI-đạị số bất kỳ.

Chúng ta cũng đƣa ra một số trƣờng hợp trong đó các nil radical nói trên trùng với radical

Jacobson. Đồng thời cũng đƣa ra một số trƣờng hợp trong đó chúng khơng trùng với radical

dacobson.



A. Các Radical của một đại số

Trƣớc nhất, chúng ta đƣa ra định nghĩa về các radical của một đại số A (khơng nhất

thiết giao hốn, có đơn vị) trên vành K có đơn vị, giao hốn. Các khái niệm về đại số nguyên

tố, nửa nguyên tố, nil đại số, đại số lũy linh và lũy linh địa phƣơng khơng có gì thay đổi so

vơi việc xét các đại số có đơn vị.

Do bổ đề 1.4 ở chƣơng trƣớc , các định nghĩa về upper nil radical và Levitzki nil

radical nhƣ sau đây là hợp lý. Viêc định nghĩa lower nil radical khó khăn hơn vì tổng các

ideal lũy linh khơng nhất thiết là lũy linh.



9



Upper nil radical

Định nghĩa II.1: Nil ideal tối đại cứa một đại số A đƣợc gọi là upper nil radical của A.



Levitzki nil radical

Định nghĩa II.2: Ideal lũy linh địa phƣơng tối đại của một đại số A đƣợc gọi là Levitzki nil

radical của A.



Lower nil radical

Tổng tắt cả các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng

này là N(0). Ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal nhƣ sau:

N(0) đã đƣợc xác định nhƣ ở trên. Nếu



là tự số khơng là tự số giới hạn thì



=



+ 1,



ta định nghĩa N( ) là ideal trong A sao cho N( )/N( ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của

A/N( ). Còn nếu



là tự số giới hạn thì định nghĩa N( ) = ⋃



Rõ ràng N( )c N( ') nếu



<



.



' cho nên tồn tại tự số đầu tiên sao cho N( ) = N( +



1). Do N(0) là nil ideal nên N( ) là nil ideal.

Định nghĩa II.3: N( ) đƣợc gọi là lovver nil radical của A.

Radical Jacobson

Định nghĩa 11.4: Giao tất cả các ideal phải tối đại, chính qui của đại số A đƣợc gọi là

Radiacal Jacobson của A.

Ta ký hiệu: Upper nil radical của A là Un(A).

Levitzki nil radical của A là L(A).

Lower nil radical của A là ln(A).

Radical Jacobson của A là J(A).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×