1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ

Tải bản đầy đủ - 0trang

9



Upper nil radical

Định nghĩa II.1: Nil ideal tối đại cứa một đại số A đƣợc gọi là upper nil radical của A.



Levitzki nil radical

Định nghĩa II.2: Ideal lũy linh địa phƣơng tối đại của một đại số A đƣợc gọi là Levitzki nil

radical của A.



Lower nil radical

Tổng tắt cả các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng

này là N(0). Ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal nhƣ sau:

N(0) đã đƣợc xác định nhƣ ở trên. Nếu



là tự số không là tự số giới hạn thì



=



+ 1,



ta định nghĩa N( ) là ideal trong A sao cho N( )/N( ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của

A/N( ). Còn nếu



là tự số giới hạn thì định nghĩa N( ) = ⋃



Rõ ràng N( )c N( ') nếu



<



.



' cho nên tồn tại tự số đầu tiên sao cho N( ) = N( +



1). Do N(0) là nil ideal nên N( ) là nil ideal.

Định nghĩa II.3: N( ) đƣợc gọi là lovver nil radical của A.

Radical Jacobson

Định nghĩa 11.4: Giao tất cả các ideal phải tối đại, chính qui của đại số A đƣợc gọi là

Radiacal Jacobson của A.

Ta ký hiệu: Upper nil radical của A là Un(A).

Levitzki nil radical của A là L(A).

Lower nil radical của A là ln(A).

Radical Jacobson của A là J(A).



10



Mục tiêu của chúng ta là khảo sát cấc radical nói trên đối với cấc PI-đại số. Để có thể

thấy đƣợc các kết quả về các radical của các PI-đại số, chúng ta sẽ trƣớc nhất xem xét các

tính chất về các radical nói trên.

Mệnh đề II.1: A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác không ( Tức là A/ln(A) là đại số nửa

nguyên tố ).

Chứng minh:

Theo định nghĩa ln(A) = N( ) = N( +1). Nhƣng N( +1) là ideal trong A sao cho N(

+1)/N( ) là tổng các ideal lũy linh của A/N( ). Suy ra tổng các ideal lũy linh của A/N( )

bằng khơng. Do đó A/N( ) khơng chứa ideal lũy linh khác không.



Mệnh đề II.2: ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A.

Chứng minh:

Trƣớc hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề II.2.1: Đại số A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con các đại

số nguyên tố.

Chứng minh Bổ đề II.2.1

Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A

linh của A. Rõ ràng N



=



(N) là ideal lũy linh A



0. Điều này đúng với mọi a nên N



.Vì A



và giả sử N là ideal lũy



là đại số nguyên tố nên N



=



= 0. Nhƣ vậy A không, chứa ideal lũy linh khác không.



Tức là A là đại số nửa nguyên tố.

Ngƣợc lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố và giả sử B

∈B, b1



0 thì Ab1A là ideal



chứa ideal Ab1A lũy linh

0



3 a1∈A



0 là ideal của A. Chọn b1



0 chứa trong B. Do (Ab1A)2 = Ab1Ab1A



0 ( vì nếu khơng A



0, trái với tính nửa ngun tố của A ). Vì Ab1Ab1A



0



bịAb1



11



0 và b2 ∈ B. Cứ tiếp tục theo cách trên ta đƣợc một dãy các phần tử b1,



sao cho b2 = b1a1b1



b2 = b1a1b1, b3 = b2a2b2, . . . trong đó bi



0, bi ∈B. Đối với dãy nói trên , rõ ràng ta có bk



=biaijbj nếu k > i, j trong đó aij∈A. Do ∀ i, bi

cho Q { bi} =



0 nên (0) { bi} = . Xét họ các ideal Q sao



thì áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra tồn tại ideal P là phần tử tối đại của họ trên.



Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A. Thật vậy, giả sử C vàD là các ideal của A thỏa

mẫn C



0 (mod P), D



0 (mod P). Xét C1 = C + P thì C1 P, C1



tính tối đại của P). Tƣơng tự

C1D1



(bk ∈ C1D1, bk



minh đƣợc nếu C



bj ∈ D1 = D + p. Nếu k > i, j thì bk = biaijbj ∈ C1D1. Do đó



P). Vì C1D1



CD + P nên CD



0(mod P).Nhƣ vậy ta đã chứng



0(mod P). Có nghĩa là P là ideal



0(mod P), D 0(mod P) thì CD



ngun tố. Tóm lại ta đã chứng minh đƣợc : nếu B là ideal

tố P mà B



p. Do đó bi ∈ C1 (do



0 của A thì tồn tại ideal nguyên



P



(do { bi } B mà { bi } P. Xét







, nếu







0 thì x



0,x ∈ Q



đối với mọi ideal nguyên tố Q. Khi đó xét B = AxA thì đó sẽ là ideal khác khơng của A mà B

Q đối với mọi ideal nguyên tố Q. Trái với điều vừa thấy ở trên. Vậy ⋂

A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Bổ đề II.2.2: Nếu B là ideal của A và { |

của A chứa B thì ⋂







= ⋂



}, a∈A là một họ các ideal







Chứng minh Bổ đề II.2.2: Hiển nhiên.

Bổ đề II.2.3: Q là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi Q = P/B với p là

ideal nguyên tố của A chứa B



=0



12



Chứng minh Bổ đề II.2.3:

Giả sử Q là ideal nguyên tố của A/B. Thế thì Q = P/B, ta chứng minh P nguyên tố.

Thật vậy, giả sử CD = 0 (mod P)



cd∈ p ∀ c ∈ c, ∀ d∈ D



cd+B∈Q (c+ B)(d +



B)∈Q c∈P hoặc d∈P. Tức là C≡ 0 (mod P) hoặc D≡O(mod P).

Ngƣợc lại, giả sử P là ideal nguyên tố của A chứa B và Q = P/B. Ta chứng minh Q là

ideal nguyên tố của A/B. Thật vậy, nếu (c + B)(d + B)∈Q



cd+B∈Q cd∈P c∈P hoặc d ∈P



(vì P nguyên tố).

Dùng các bổ đề trên ta chứng minh Mệnh đề II.2 nhƣ sau:

Gọi N' =⋂





. Theo Bổ đề II.2.2 ta có :

=(⋂

)/N’=0



Áp dụng Bổ đề II.2.1 ta suy ra A/N' nửa nguyên tố. Do đó A/N' khơng chứa ideal lũy

linh khác khơng.

Nếu N là ideal lũy linh của A thì do (N + N')/N'



N / (N∩N") ta suy ra (N + N')/ N'



là ideal lũy linh của A/N'. Nhƣng A/N' không chứa ideal lũy linh khác không cho nên (N +

N')/ N' = 0. Vì vậy N N'. Nhƣ vậy mọi ideal lũy linh của A đều

Giả thiết N( β)



N' thì khi đó với mọi ideal N



(N + N')/N' = N /(N∩N'). Mà N∩N'



N'. Do đó N(0)



N'.



N(p) sao cho N/N(P) lũy linh, ta có



N(β) nên N/ (N∩N') lũy linh



Do A/N' khơng chứa ideal lũy linh khác không nên (N + N')/N' = 0



(N + N')/N' lũy linh.

N



N\ Nhƣ thế có



nghĩa là nếu N' N(β) thì N' chứa mọi ideal N sao cho N/N(P) lũy linh. Suy ra N' N (β+1).

Phép qui nạp siêu hạn cho ta N' N(τ) = ln(A).

Ngƣợc lại, do A/ N(τ) = A/ LN(A) không chứa ideal lũy linh khác không (Mệnh đề

II.1 ) nên A/N(τ) nửa nguyên tố ⋂

II.2.1). Áp dụng bổ đề II.2.2 ta suy ra ⋂



= 0 (theo P/N(t) nguyên tố bổ đề

= N(



13



Nhƣng



Do vậy :

Mệnh đề II.2 đƣợc chứng minh xong

Nhận xét :Từ Mệnh đề trên thấy ngay rằng đại số A là nửa nguyên tố khỉ và chỉ khi ln(A) =

0.

Mênh đề II.3: A/ Un(A) khơng chứa nil ideal khác khơng. ( Và vì vậy Un(A/

Un(A)) = 0 ).



Chứng minh:

Giả sử Q = P/Un(A) là nil ideal của A/Un(A). Khi đó ∀



∈ Q, vì Q là nil ideal nên k



sao cho xk ∈ Un(A). Vì Un(A) là nil ideal nên m để cho (xk)m = 0



x ∈Un(A)



= 0.



Điều trên đúng ∀ ∈ Q nên Q = 0. Nhƣ vậy A/Un(A) không chứa nil ideal khác không. Suy ra

Un(A/Un(A)) = 0.

Mệnh đề II.4: A/ L(A) không chứa ideal lũy linh địa phƣơng khác không ( Và vì vậy

L(A/L(A)) =0).

Chứng minh:

Giả sử p/L(A) là ideal lũy linh địa phƣơng của A/L(A). Vì L(A) và p/L(A) lũy linh địa

phƣơng nên P lũy linh địa phƣơng. Do tính tối đại của L(A) ta có



L(A)



/L(A) = 0.



Nhƣ vậy A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phƣơng duy nhất. Vậy L(A/L(A)) = 0.

Mệnh đề II.5 J(A) là ideal hai phía của A, tựa chính qui hai phía,chứa mọi ideal phải tựa

chính qui phải và chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái.

Chứng minh: Trƣớc hết ta chứng minh một số bổ đề:



14



Bổ đề II.5.1: Nếu



là ideal phải chính qui của A, thì



phải tối đại , chính qui của A sao cho



0



0



là ideal



.



Chứng minh Bổ đề II.5.1:

Thật vậy, giả sử

x- ax ∈



là ideal phải chính qui của A,



∀ x ∈ A. Thế thì a



chính qui nên a ∈A để



A. Vì



(vì nếu không ∀ x ∈ A do x-ax ∈ , ax ∈



= ) a∈ A Xét họ



tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa



Bổ đề II.5.1: Nếu



là ideal phải chính quy của A , thì



nên x ∈



thì rõ ràng ∀ 1∈



A

1



là B



là ideal phải tối đại, chính của A



sao cho

Chứng minh Bổ đề II.5.1:

Thật vậy, giả sử





là ideal phải chình qui của A, p



∀ x ∈ A. Thế thì a



Xét họ



minh



0



chính quy nên



( vì nếu khơng ∀ x ∈ A do x – ax ∈ , ax ∈



tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa



chính quy của A và a



A. Vì



1.



thi rõ ràng ∀



Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra



là ideal tối đại của A. Thật vậy giả sử



. Thế thì a ∈



. Nhƣ vậy



1



a ∈ A để x – ax



nên x ∈







có phần tử tối đại



A= ).



1 là



ideal phải



0.



Ta chứng



là ideal phải của A sao cho



,



là ideal phải tối đại, chính qui của A,



Bổ đề II.5.2: J(A) là ideal phải.tựa chính qui phải của A.

Chứng minh Bổ đề II.5.2:

∀x ∈ J(A), ta xét I = { xy + y / y∈ A}. Vì (xy + y)z = xyz + yz = = xy' + y’ với y’ =



yz ∈ A nên I là ideal phải của A. Mặt khác, nếu ta gọi a = - x thì ∀ y∈ A ta có y - ay = xy + y

∈ I cho nếu I là ideal phải chính qui của A. Ta chứng minh I = A.

Giả sử ngƣợc lại I A, I



0



0 trong



đó



xy ∈



0



0



đều



là ideal phải tối đại chính qui. Do x∈J(A)



và vì xy + y ∈ I



Do I = A



A. Vì I là ideal phải chính qui nên theo bổ đề II.5.1 thì I



-x ∈ I



0



nên y ∈



0



0



x∈



0



. Khi đó ∀ y∈A, do x∈



= A vô lý. Mâu thuẫn này chứng tỏ I = A.



w∈A sao cho -x =xw + w



x+w+xw = 0. Nhƣ vậy ∀ x∈J(A)



w∈ A sao cho x+w+xw = 0. Cho nên J(A) tựa chính qui phải.

Bổ đề II.5.2 đƣợc chứng minh xong.



15



Bổ đề II.5.3: Gọi



( Ở đây Ann(M) = { a ∈ A/ Ma={0}).

Khi đó



đối với mọi là ideal phải, tựa chính qui



phải bất kỳ của A.

Chứng minh Bổ đề II.5.3:

Thật vậy giả sử ngƣợc lại

m∈M, m



M là A modun bất khả qui sao cho M



{0}



{0}. Khi đó vì m là modun con của M, M bất khả qui nên m



0 sao cho m



= M. Do đó t ∈ sao cho mt =-m. Những t ∈ , mà tựa chính qui phải nên



s∈ A sao cho t



+ s + ts = 0. Suy ra 0 = m(t + s + ts) = mt + ms + m(ts) = - m + ms + (-m)s = -m



m = 0. Mâu



thuẫn.

Bổ đề II.5.4: Giả sử là ideal phải chính qui của A.

Gọi ( : A) ={ x∈A / Ax



} thì :



a) ( : A)=Ann(M) với M=A/ và là ideal hai phía của A

b) ( : A) là ideal hai phía lớn nhất chứa trong .

Chứng minh Bổ đề II.5.4:

a) Dễ dàng kiểm tra đƣợc rằng ( : A) là ideal hai phía của A. ∀a∈Ann(M)

a∈ ( : A). Vậy Ann(M)



= Ma =0



Aa



Aa/



(A/ )a = 0 Ma = 0



=0



( : A). Ngƣợc lại ∀a∈ ( : A)



a∈Ann(M). Vậy ( : A)



Ann(M). Suy ra



(A/ )a

Aa c

( : A) =



Ann(M).

b) ∀x∈ ( : A), do chính qui nên a ∈ A sao cho x - ax∈ . Nhƣng vì Ax

x∈ . Vây ( : A)





1



VxeA



Ab



. Giả sử rằng



1



b ∈ (p : A). Vậy



là ideal hai phía của A,

1



( : A).



Bổ đề II.5.5:



( là ideal nói đến trong bổ đề II.5.3)



1



nên ax ∈



. Khi đó ∀b∈



1



xb



16



Chứng minh Bổ đề II.5.5: Vì theo bổ đề II.5.2 J(A) là ideal tựa chính qui phải của A nên

theo bổ đề II.5.3 J(A) c X.

Ngƣợc lại, ta biết rằng A modun phải M là bất khả qui

tối đại, chính qui của A. Áp dụng bổ đề II.5.4 ta có

Nhƣng vì ( : A)



M -A/ với



là ideal phải



= ⋂



.



liên suy ra ⋂



Bổ đề II.5.5 đƣợc chứng minh xong.

Ta áp dụng các bổ đề nêu trên để chứng minh mệnh đề II.5:

Ta thấy rằng J(A) là ideal hai phía vì là giao của các ideal hai phía (

J(A) là ideal tựa chính qui phải và vì J(A) =



: A). Đồng thời



nên theo bổ đề II.5.3 J(A) chứa mọi ideal phải



tựa chính qui phải. Mặt khác ta thấy: ∀a∈ J(A), vì J(A) tựa chính qui phải nên a'∈ A sao cho:

a+a'+aa'=0.



(*)



Nhƣng a, aa' ∈J(A) nên a' ∈J(A). Lại do a'∈ J(A) nên a'∈A sao cho :

a'+a"+a'a" =0. (**)

Từ (*)và (**)



aa" + a'a" +aa'a" = 0 và aa' + aa" + aa'a" = 0



và (** ) ta đƣợc a + a' - a' + a"



a'a" = aa'. Thay vào (* )



a = a". Thay vào (** ) ta đƣợc a + a' + a'a = 0



a tựa



chính qui trái. Nhƣ vậy đã chứng minh đƣợc J(A) tựa chính qui trái.

Nếu gọi Jt(A) là giao các ideal trái tối đại chính qui của A thì tƣơng tự nhƣ các bổ đề

trên ta sẽ chứng minh đƣợc Jt(A) là ideal hai phía, tựa chính qui trái và phải, chứa mọi ideal

trái, tựa chính qui ƣái của A.

Vì J(A) tựa chính qui trái nên J(A)



Jt(A). Vì Jt(A) tựa chính qui phải nên Jt(A)



J(A). Vậy J(A) = -Jt(A). Do đó J(A) là ideal hai phía, tựa chính qui cả hai phía và chứa mọi

ideal trái, tựa chính qui trái cũng nhƣ mọi ideal phải, tựa chính qui phải.



17



Mệnh đề II.6: J(A) chứa mọi nil ideal trái và phải của A

Chứng minh:

n sao cho an = 0.



là nil ideal của A. Khi đó ∀ a ∈



Giả sử



Gọi b = -a + a2 - a3 +…+ (-1)n-1 an-1 . Khi đó ta thấy ngay a + b + ab = 0 và a + b + ba = 0. Có

nghĩa là a tựa chính qui cả trái lẫn phải. Do đó a ∈ J(A). Cho nên



J(A).



Mệnh đề II.7: J(A/J(A)) = 0

Chứng minh:

Gọi

của A thì



= A/J(A). Theo định nghĩa của J(A) ta thấy ∀

J(A). Gọi



=



/ J(A) = {x + J(A) / x ∈



Giả sử . là ideal phải của ,





là ideal tối đại của A )



,

=



thì



} thì rõ ràng



là ideal phải của A,



. Điều đó chứng tỏ rằng



ideal phải, chính qui phải của A nên a∈ A sao cho y - ay ∈

chứng tỏ rằng



là ideal phải của A .

,



=A(



là ideal tối đại của A. Do

∀y∈ A



-











. Điều đó



là ideal chính qui phải của . Nhƣ vậy với mọi ideal phải, tối đại, chính qui



phải của A thì





là ideal phải tối đại, chính qui



là ideal phải, tối đại, chính qui phải của ̅. Nhƣng do J(A) =

nên suy ra



Mệnh đề II.7 đƣợc chứng minh xong.



18



Mệnh đề II.8: ln(A)



L(A)



Un(A)



J(A)



Chứng minh:

Vì mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phƣơng. Suy ra N(0) lũy linh địa phƣơng. Theo

cách xây dựng ln(A) suy ra N( ) = ln(A) cũng lũy linh địa phƣơng. Theo tính tối đại của

L(A), suy ra lu(A)



L(A).



Vì L(A) lũy linh địa phƣơng nên L(A) là nil idea. Theo tính tối đại của Un(A) suy ra

L(A)



Un(A).

Vì Un(A) là nil ideal suy ra Un(A)

Do vậy ln(A)



L(A)



Un(A)



J(A).



J(A).



Mệnh đề II.8 đƣợc chứng minh xong.

Trong luận án này ta xét các đại số có đơn vị (khơng nhất thiết giao hốn) trên vành

giao hốn có đơn vị. Trong trƣờng hợp này vì mọi ideal đều chính qui cho nên :



Ta cũng biết rằng A-modun M là bất khả qui khi và chi khi M=A/ với



là ideal tối



đại. Từ đó thấy rằng nếu xét các đại số có đơn vị thì một đại số A là nửa nguyên thủy khi và

chỉ khi J(A) = 0.



19



B. Các Pi – đại số

Một đại số giao hoán chẳng qua là một đại số thỏa mãn đồng nhất thức [x1, x2] = x1x2x2x1 Từ nhận xét trên ta sẽ tổng quát hóa bằng cách xét đến các đại số thỏa mãn đồng nhất

thức nào đó Khái niệm các PI-đạị số đƣợc đƣa ra sau đây là sự tổng quát hóa về đại số giao

hốn. Ta ln xét K là vành giao hốn, có đơn vị. Các đại số trên K ln đƣợc hiểu là các đại

số có đơn vị, khơng nhất thiết giao hốn.



Định nghĩa II.5: f ∈ K[X] đƣợc gọi là một đồng nhất thức hoàn toàn đối với đại số A nếu

SfA ≠ 0. Trong đó Sf là tập các hệ số của f.

Mệnh đề II.9 : SfA là ideal của đại số A.

Chứng minh: Hiển nhiên.

Định nghĩa II. 6: Một đại số A đƣợc gọi là PI- đại số nếu tồn tại

f ∈ K[X] l



ồng nhất thức ho



ồng cấu khác không c



to



i với mọi nh



i s A.



Mệnh đề II.10: Đại số A là một PI- đại số khi và chỉ khi tồn tại đồng nhất thức f trên A sao

cho SfA = A

Chứng minh:

Giả sử A là một PI đại số. Trƣớc hết ta thấy Sf(A/ SfA ) = 0. Thật vậy: ∑

∈ Sf(A/SfA), ở đây





∈ Sf , ai + SfA∈



fA



ta có ∑



=∑



+ SfA( vì



∈ SfA). Từ kết quả này ta thấy nếu trái lại SfA ≠ A thì vì A/SfA là ảnh đồng cấu khác



khơng của A mà



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×