1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >

Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ K-LÝ THUYẾT CỦA C ĐẠI SỐ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (629.01 KB, 64 trang )


1.1.2 Các ví dụ



(i) Đại số M n () là một   đại số nếu xét các ma trận như là các tốn tử trên











khơng gian Euclide  n , và dùng chuẩn toán tử f  sup f (v) : v   n , v  1 cho

các ma trận. Còn ánh xạ đối hợp chính là phép chuyển vị và liên hợp  : A  A .

(ii) Khơng gian () các tốn tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 

là một   đại số với ánh xạ đối hợp  : x  x là toán tử phụ hợp của toán tử

x :   .



(iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian C0 ( X ) các

hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một   đại số

giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối hợp theo từng điểm. C0 ( X ) có đơn vị

nhân khi và chỉ khi X compact. Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa

phương thì C0 ( X ) vẫn có phần tử đơn vị xấp xỉ như sau: Xét tập định hướng các tập

con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu f K là hàm đồng nhất 1 trên

K . Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phủ bởi các

tập compact K như thế, ta gọi { f K }K là phần tử đơn vị xấp xỉ của   đại số C0 ( X ) .

Ta có kết quả quan trọng về các   đại số như sau:

Định lí Gelfand  Naimark. A là một   đại số giao hốn có đơn vị nếu và chỉ

nếu A  C ( X ) ,   đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact

X . Và A là một   đại số nếu và chỉ nếu A   đẳng cấu với một   đại số con đóng

của () ,   đại số các tốn tử bị chặn trên một không gian Hilbert  .

(iv) Xét  là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách. Đại số k ( ) các toán

tử compact trên  là một đại số con đóng với chuẩn của   đại số () . k ( )

cũng đóng với phép đối hợp nên nó cũng là một   đại số.



1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175  177])



Cho A là một   đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và



 : H  AutA là một tác động liên tục của H lên A . Tức là với mỗi h  H ,



 h  AutA là một   tự đẳng cấu của A và với mỗi a  A , ánh xạ h   h (a ) liên tục

theo chuẩn. Khi đó, ta xác định một   đại số A  A H gọi là tích xiên của A và

H bởi tác động  như sau:



Xét không gian véctơ Cc ( H , A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H

vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau ( dh là độ đo Haar trái trên H ):











f1. f 2 (h)   f1 (h1 ). h1 f 2 (h11h) dh1 , với f1 , f 2  Cc ( H , A), h  H ,











f  (h)   (h) 1. h f (h 1 ) , với đồng cấu  : H  * , d (h 1 )   (h).d (h) .



Khi đó Cc ( H , A) là một   đại số. Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên Cc ( H , A) .

Một biểu diễn hiệp biến  của ( A,  ) là một cặp gồm một biểu diễn unita  A

của A và một biểu diễn  H của H trên một không gian Hilbert sao cho:



 H (h). A (a). H (h 1 )   A  h (a)  , h  H , a  A

Với mỗi  ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp  của Cc ( H , A) như sau:



 ( f )    A  f (h)  . H (h)dh, f  Cc ( H , A)

Khi đó ta định nghĩa A là   đại số bổ sung của   đại số Cc ( H , A) bởi

chuẩn f  sup   ( f ) :   (với  là biểu diễn hiệp biến của ( A,  ) ).

Tính chất của tích xiên:

(i) Nếu f : A  B là một   đồng cấu H  đẳng biến giữa các   đại số, thì

 xác định bởi cơng thức:

A B

nó sẽ cảm sinh một   đồng cấu đối ngẫu ˆf : 



 fˆ (a)  (h)  f  a(h)  , với a  C ( H , A), h  H .

c



j



(ii) Nếu 0  J 

 A 

 B  0 là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng



biến ( H tác động liên tục lên các   đại số J , A,B ), thì dãy các tích xiên sau đây

ˆ



j



cũng khớp (chẻ ra) 0  J  H 

 A H 

 B H  0 .

ˆ



1.1.4 Tích thớ



Cho A1 , A2 , A' là các   đại số,  i : Ai  A ' (i  1, 2) là các







 đồng cấu.



  đại số A và cặp đồng cấu pi : A  Ai (i  1, 2) được gọi là tích thớ (hay còn gọi

là sơ đồ kéo lại) của cặp ( 1 ,  2 ) nếu thỏa 2 điều kiện sau:

(i) Có sơ đồ giao hốn:

p1

A 

 A1

p2



1







 A'

A2 



2



(ii) Bộ ba ( A, p1 , p2 ) có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba ( B, q1 , q2 ) có

tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán:

q1

B 

 A1

q2





1

A2 

 A'



2



Thì tồn tại duy nhất một   đồng cấu  : B  A sao cho   pi  qi (i  1, 2) .

1.2 Một số vấn đề về K  lý thuyết

K  lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K  lý



thuyết là một vấn đề khơng hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây

chúng tơi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K  lý thuyết cho một



  đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính tốn

K  lý thuyết của các phân lá trong chương 3.



1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4  9])



Một phân thớ véctơ n chiều trên không gian Hausdorff compact X là cặp

( E , p ) gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E  X thỏa các điều kiện sau:



(i) Mỗi x  X , thớ E x   1 ( x) trên X có cấu trúc của một khơng gian véctơ



n chiều.

(ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường

địa phương.

Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối

tiếp xúc TM  trên một đa tạp compact M , ví dụ TS n1  {( x, v)  S n1   n : x.v  0} .

Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức.

Nếu ( E , p) là một phân thớ véctơ trên X , một nhát cắt của E là một hàm liên

tục f : X  E sao cho s ( x)  E x , x  X . Tập  ( E ) các nhát cắt của E có cấu trúc

khơng gian véctơ một cách tự nhiên với ( s   t )( x)   s ( x)   t ( x) , trong đó tổ hợp

tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ E x . Thực ra  ( E ) là

một môđun trên C ( X ) theo cách tự nhiên với ( f .s )( x)  f ( x).s ( x) .

Định lí Serre  Swan. Nếu ( E , p ) là một phân thớ véctơ trên không gian

Hausdorff compact X , thì  ( E ) là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) (tức là

tồn tại s1 , s2 ,..., sn   ( E ) sao cho  ( E )   i 1 C ( X ).si ). Ngược lại, mọi môđun xạ

n



ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) đều có dạng này.

1.2.2 Xây dựng các K  nhóm (xem [12, tr.144  154])



Xét A là một   đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên M n ( A) cũng là một



  đại số có đơn vị, các phép tốn đại số là các phép tốn thơng thường và chuẩn

trên M n ( A) cũng thu được một cách tự nhiên. Do đó, nếu nhúng A  () (   đại

số các tốn tử bị chặn trên khơng gian Hilbert  ), thì ta có thể nhúng



M n ( A)  M n  ()   (  ...  ) ( n lần), ta sẽ đồng nhất M n ( A) với “góc Tây

 x 0

Bắc” của M n1 ( A) bởi x  

.

 0 0



Ta ký hiệu Pn ( A)  P  M n ( A)  và U n ( A)  U  M n ( A)  trong đó P ( B ) (tương

ứng U ( B ) ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu { p  B : p  p 2  p} (tương ứng các phần

tử unita {u  B : u u  uu   1} ) trong một   đại số B bất kì.

Xem Pn ( A) và U n ( A) theo thứ tự bao hàm trong Pn1 ( A) và U n1 ( A) qua phép

 p 0

u 0



đồng nhất p  

và u  

, ta lần lượt ký hiệu các tập P ( A)   n1 Pn ( A) ,





 0 0

0 1









M  ( A)   n1 M n ( A) và U  ( A)   n1U n ( A) .



Mọi A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng V p  {  M1n ( A) :    p}

với p  Pn ( A) và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên V p theo quy

tắc (a. )i  a i . Với p, q  P ( A) , thì V p  Vq  (u  M  ( A) : u u  p, uu   q ) , khi

đó ta viết p  q .

Mệnh đề. Tập thương K 0 ( A)  P ( A)  có cấu trúc một vị nhóm aben với phép

cộng [ p ]  [q ]  [ p  q ] và có đơn vị là [0] .

Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập {a  b : a, b  S } các hiệu hình

thức trong S , trong đó (a  b  c  d )  (a  d  f  c  b  f ), f  S , làm thành một

nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S .

Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa:

(i) K 0 ( A) là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben K 0 ( A) .

(ii) K1 ( A) là nhóm thương của nhóm U  ( A) trên nhóm con chuẩn tắc U  ( A)(0)

(thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong U  ( A) ).

Khi đó K1 ( A) cũng là một nhóm aben với phép tốn như sau:



 u 0    1 0  

[uv]  [u ][v]  

   0 v    [u  v], u , v  U  ( A)

0

1

  







Một số tính chất của các K  nhóm:

(i) K i (i  0,1) là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các   đại số đến phạm trù

Ab các nhóm aben, tức là nếu   Hom( A, B ) là một đồng cấu giữa các   đại số,



thì tồn tại các đồng cấu nhóm K i ( )   * : K i ( A)  Ki ( B) (i  0,1) thỏa mãn các điều

kiện của hàm tử.

(ii) Một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên  (vành chính) đều được đặc trưng

bởi số phần tử sinh của nó, do đó K 0 ()    , nên ta có K 0 ()   . Ta cũng có

U  () liên thơng đường vì một ma trận unita bất kì trong M n () đều biến đổi được



về ma trận đơn vị I n bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với I n ). Do đó,

U n ()  U n ()(0) hay K1 ()  {0} .

 a 0

(iii) Nếu  : A  M n ( A),  (a )  

 , thì  * : K i ( A)  K i  M n ( A)  là đẳng

 0 0



cấu nhóm.

(iv) Bất biến đồng luân. Nếu { t : t  [0,1]} là một họ liên tục các đồng cấu từ A

đến B (tức là tồn tại một đồng cấu a   t   t (a )   C ([0,1], B) ), thì ( 0 )  (1 ) .

Từ điều này ta suy ra, nếu X ,Y là hai không gian Hausdorff compact đồng luân, thì

hai   đại số của chúng đẳng cấu, C ( X )  C (Y ) , nên K i  C ( X )   K i  C (Y )  .

(v) Đẳng cấu Thom  Connes. Nếu  n (nhóm Lie trung bình hóa) tác động liên

tục  lên   đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm i : Ki ( A)  Ki  n ( A  n ) .

Trường hợp n  1 , ta có i : Ki ( A)  Ki 1 ( A ).



Ví dụ. Nếu X là khơng gian co rút được thì K i  C ( X )   K i () . Thật vậy, ta gọi

{ht : t  [0,1]} là phép đồng luân với h1  id X , h0 ( x)  x0  X , x  X .



Xét  t : C ( X )  C ( X ),  t ( f )  ( x)  f  ht ( x)  , thì 1  idC ( X ) và  0 ( f ) là

hàm hằng f ( x0 ), f  C ( X ) . Nếu ta xét ánh xạ nhúng j :   C ( X ), j ( ) là hàm

hằng nhận giá trị bằng  , và ký hiệu ev0 : C ( X )  , ev0 ( f )  f ( x0 ) , thì ta có các

biểu đồ giao hoán sau:

( 0 )

K i  C ( X )  

 Ki  C ( X ) 



0

C ( X ) 

C( X )

ev0







j



ev0



 

 

id







( ev0 )







K i ()



j



( ev0 )



id



 K i ()



Vì ( 0 )  (1 )  id , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay j là đẳng cấu và

( j ) 1  (ev0 ) .



Bây giờ ta xét các   đại số khơng có đơn vị A (tương ứng với việc xét các

phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương không compact).

Nếu A là một   đại số, thì A  A   là một   đại số có đơn vị với phép nhân và

chuẩn như sau:

( x,  ).( y,  )  ( xy   y   x,  )



và ( x,  )  sup  xa   a : a  A, a  1

Với phép cộng và phép đối hợp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) . Hơn

nữa ánh xạ  : A  ,  ( x,  )   là một   đồng cấu giữa các *  đại số có đơn vị và

ker  A.



Ví dụ. Xét A  C0 ( X ) là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trên một

khơng gian Hausdorff compact địa phương X , thì A chính là C ( Xˆ ), Xˆ  X  {} là

khơng gian compact hóa một điểm của X , và  ( f )  f () .



Với   đại số khơng có đơn vị A , ta định nghĩa K i ( A)  ker   trong đó



  : K i ( A )  K i () (i  0,1) .

1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K  lý thuyết

j



Nếu 0  J 

 A 

B  0



(1.1) là dãy khớp ngắn các   đại số, thì



tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K  nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên:

j



K1 ( J ) 

 K1 ( A) 

 K1 ( B )



0







1



(1.2)



j



K 0 ( B ) 

 K 0 ( A) 

 K0 ( J )



Trong đó,  i (i  0,1) được gọi là các đồng cấu nối.

Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một   đồng cấu

s : B  A sao cho   s  id B ) thì   cũng là một tồn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấu



nối đều là đồng cấu khơng. Do đó dãy khớp 6 thành phần trên chẻ ra thành 2 dãy khớp

j



ngắn 0  K i ( J ) 

 K i ( A) 

 Ki ( B)  0 .

ev0

j

 C ([0,1]) 

  0 . Do [0,1]

Ví dụ. Xét dãy khớp ngắn 0  C0 ((0,1]) 



co rút được nên (ev0 ) : K i  C ([0,1])   Ki () , nên từ dãy khớp trên ta có

K i  C ((0,1])   {0} (i  0,1) .

j

ev1

 C ((0,1]) 

   0 , có dãy khớp 6

Ta xét tiếp dãy khớp 0  C0 ((0,1)) 



thành phần là:

j

( ev1 )

K1  C0 ((0,1))  

 0 

 K1 ()



0







1



( ev1 )

j*

 0 

 K 0  C0 ((0,1)) 

K 0 () 



Từ đây ta có K i  C0 ()   K i  C0 ((0,1))   K i 1 ()



(1.3) .



Tương tự trên, ta áp dụng cho C0 (, A) (các hàm liên tục f :   A triệt tiêu

ở vơ cùng) ta có kết quả Ki  C0 (, A)   Ki 1 ( A) .

Áp dụng một cách qui nạp theo n cho A  C0 ( n ) ta được kết quả sau:

, neáu n  i (mod 2),

K i C0 ( n )  

 0, neáu n  i (mod 2).











j

ev

 C ( S n ) 

0

Tiếp theo, xét dãy khớp ngắn chẻ ra 0  C0 ( n ) 



(chẻ ra vì tồn tại đồng cấu nhúng  :   C ( S n ) thỏa ev    id ), thì ta có các dãy

khớp ngắn các K  nhóm chẻ ra sau:



















j

( ev )

0  Ki C0 ( n ) 

 Ki C ( S n ) 

 K i ( )  0



















Do đó ta có K i C ( S n )  Ki C0 ( n )  K i () .

Cuối cùng vì M n ()   n nên Ki  M n ()   Ki ( n )  Ki () (do qui nạp của

2



2



K1 ( 2 )  K1 ()  K1 ()  0, K 0 ( 2 )  K 0 ()  K 0 ()   ), nên ta có kết quả:



 neáu i  0,

K i  M n ( )   K i ( )  

 0 neáu i  1.

1.2.4 Dãy khớp Mayer  Vietoris (xem [6, tr.16  17])



Xét sơ đồ tích thớ:

p1

A 

 A1

p2





1

A2 

 A'





(1.4)



2



Nếu một trong hai   đồng cấu  1 ,  2 là tồn cấu, thì tích thớ trên sẽ sinh ra

dãy khớp Mayer  Vietoris như sau:



 1  2

K1 ( A) 

 K1 ( A1 )  K1 ( A2 ) 

 K1 ( A ')

0







1



(1.5)



 1  2

K 0 ( A ') 

 K 0 ( A1 )  K 0 ( A2 )  K 0 ( A)



Việc tính các   đồng cấu  1   2 cho ta thông tin về   đại số A .

1.3 KK  nhóm của Kasparov (xem [1, tr.64  67])



Giả sử J ,B là các   đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và

tách được. Xét các mở rộng   đại số dạng 0  J  k  A  B  0 (1.6) .

Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6) . Mà

các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1  1 với các đồng cấu  : B   ( J  k ) từ B

vào đại số đa nhân tử ngoài trên J  k ,  được gọi là bất biến Busby của mở rộng



(1.6) . Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby  của nó.

Hai mở rộng 1 , 2 dạng (1.6) được gọi là tương đương unita nếu có một toán

tử unita u  ( J  k ) (đại số đa nhân tử trên J  k ) sao cho với mỗi x  B ta có



 2 ( x).u  u . 1 ( x) , ở đây u  u (mod J  k ) . Tổng  1  2 của các mở rộng 1 ,2

được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu:

(i) xt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng dạng (1.6) .

(ii) Sxt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng chẻ ra dạng (1.6) .

Cả hai tập này đều là các nhóm cộng và Sxt ( B, J ) là nhóm con chuẩn tắc trong

xt ( B, J ) .



Định nghĩa. KK  nhóm Ext ( B, J ) của Kasparov được định nghĩa là nhóm

thương xt ( B, J ) Sxt ( B, J ) .

Mở rộng  gọi là hấp thụ (absorbing) nếu nó tương đương unita với tất cả các

mở rộng   0 , ở đó 0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu Exta ( B, J ) là tập các

lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ.



Mặc dù mỗi mở rộng  xác định một phần tử duy nhất của Ext ( B, J ) . Nhưng

mỗi phần tử Ext ( B, J ) không đủ xác định một mở rộng  mà chỉ xác định duy nhất

một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm



Exta ( B, J ) . Nói rõ hơn Ext ( B, J )  Exta ( B, J ) .

Tuy nhiên, với mỗi mở rộng  dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng

hấp thụ 1 sao cho   1 lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của Ext ( B, J ) chỉ xác

định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng  .

Bất biến chỉ số của   đại số. Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định

duy nhất một phần tử  của nhóm Ext ( B, J ) . Ký hiệu   index A và gọi là chỉ số của



  đại số A.

Ta đã biết mở rộng (1.1) sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết (1.2) với

cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 ) . Theo định lí Rosenberg về hệ tử phổ dụng ta có dãy khớp:



0  Ext1  K 0 ( B ), K 0 ( J )   Ext1  K1 ( B), K1 ( J )   Ext ( B, J ) 







 Hom  K 0 ( B), K1 ( J )   Hom  K1 ( B ), K 0 ( J )   0





(1.7)



Trong đó  (index A)  ( 0 , 1 ) và Ext1 là nhóm các mở rộng thơng thường.

Nếu như mở rộng (1.1) có K ( B ) là các nhóm aben tự do, thì các nhóm

Ext1  K i ( B ), K i ( J )   0 (i  0,1) . Khi đó dãy khớp (1.7) cho ta  là một đẳng cấu,



nên ta có thể đồng nhất index A với cặp ( 0 , 1 ) . Nói cách khác chính cặp ( 0 , 1 ) xác

định kiểu ổn định của   đại số A . Đặc biệt khi mở rộng (1.1) là hấp thụ, thì ( 0 , 1 )

xác định duy nhất   đại số A, sai khác một tương đương unita.



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (64 trang)

×