1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >
Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 Một số vấn đề về K lý thuyết

2 Một số vấn đề về K lý thuyết

Tải bản đầy đủ - 0trang

M n ( A)  M n  ()   (  ...  ) ( n lần), ta sẽ đồng nhất M n ( A) với “góc Tây

 x 0

Bắc” của M n1 ( A) bởi x  

.

 0 0



Ta ký hiệu Pn ( A)  P  M n ( A)  và U n ( A)  U  M n ( A)  trong đó P ( B ) (tương

ứng U ( B ) ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu { p  B : p  p 2  p} (tương ứng các phần

tử unita {u  B : u u  uu   1} ) trong một   đại số B bất kì.

Xem Pn ( A) và U n ( A) theo thứ tự bao hàm trong Pn1 ( A) và U n1 ( A) qua phép

 p 0

u 0



đồng nhất p  

và u  

, ta lần lượt ký hiệu các tập P ( A)   n1 Pn ( A) ,





 0 0

0 1









M  ( A)   n1 M n ( A) và U  ( A)   n1U n ( A) .



Mọi A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng V p  {  M1n ( A) :    p}

với p  Pn ( A) và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên V p theo quy

tắc (a. )i  a i . Với p, q  P ( A) , thì V p  Vq  (u  M  ( A) : u u  p, uu   q ) , khi

đó ta viết p  q .

Mệnh đề. Tập thương K 0 ( A)  P ( A)  có cấu trúc một vị nhóm aben với phép

cộng [ p ]  [q ]  [ p  q ] và có đơn vị là [0] .

Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập {a  b : a, b  S } các hiệu hình

thức trong S , trong đó (a  b  c  d )  (a  d  f  c  b  f ), f  S , làm thành một

nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S .

Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa:

(i) K 0 ( A) là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben K 0 ( A) .

(ii) K1 ( A) là nhóm thương của nhóm U  ( A) trên nhóm con chuẩn tắc U  ( A)(0)

(thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong U  ( A) ).

Khi đó K1 ( A) cũng là một nhóm aben với phép toán như sau:



 u 0    1 0  

[uv]  [u ][v]  

   0 v    [u  v], u , v  U  ( A)

0

1

  







Một số tính chất của các K  nhóm:

(i) K i (i  0,1) là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các   đại số đến phạm trù

Ab các nhóm aben, tức là nếu   Hom( A, B ) là một đồng cấu giữa các   đại số,



thì tồn tại các đồng cấu nhóm K i ( )   * : K i ( A)  Ki ( B) (i  0,1) thỏa mãn các điều

kiện của hàm tử.

(ii) Một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên  (vành chính) đều được đặc trưng

bởi số phần tử sinh của nó, do đó K 0 ()    , nên ta có K 0 ()   . Ta cũng có

U  () liên thơng đường vì một ma trận unita bất kì trong M n () đều biến đổi được



về ma trận đơn vị I n bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với I n ). Do đó,

U n ()  U n ()(0) hay K1 ()  {0} .

 a 0

(iii) Nếu  : A  M n ( A),  (a )  

 , thì  * : K i ( A)  K i  M n ( A)  là đẳng

 0 0



cấu nhóm.

(iv) Bất biến đồng luân. Nếu { t : t  [0,1]} là một họ liên tục các đồng cấu từ A

đến B (tức là tồn tại một đồng cấu a   t   t (a )   C ([0,1], B) ), thì ( 0 )  (1 ) .

Từ điều này ta suy ra, nếu X ,Y là hai khơng gian Hausdorff compact đồng ln, thì

hai   đại số của chúng đẳng cấu, C ( X )  C (Y ) , nên K i  C ( X )   K i  C (Y )  .

(v) Đẳng cấu Thom  Connes. Nếu  n (nhóm Lie trung bình hóa) tác động liên

tục  lên   đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm i : Ki ( A)  Ki  n ( A  n ) .

Trường hợp n  1 , ta có i : Ki ( A)  Ki 1 ( A ).



Ví dụ. Nếu X là khơng gian co rút được thì K i  C ( X )   K i () . Thật vậy, ta gọi

{ht : t  [0,1]} là phép đồng luân với h1  id X , h0 ( x)  x0  X , x  X .



Xét  t : C ( X )  C ( X ),  t ( f )  ( x)  f  ht ( x)  , thì 1  idC ( X ) và  0 ( f ) là

hàm hằng f ( x0 ), f  C ( X ) . Nếu ta xét ánh xạ nhúng j :   C ( X ), j ( ) là hàm

hằng nhận giá trị bằng  , và ký hiệu ev0 : C ( X )  , ev0 ( f )  f ( x0 ) , thì ta có các

biểu đồ giao hốn sau:

( 0 )

K i  C ( X )  

 Ki  C ( X ) 



0

C ( X ) 

C( X )

ev0







j



ev0



 

 

id







( ev0 )







K i ()



j



( ev0 )



id



 K i ()



Vì ( 0 )  (1 )  id , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay j là đẳng cấu và

( j ) 1  (ev0 ) .



Bây giờ ta xét các   đại số không có đơn vị A (tương ứng với việc xét các

phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương khơng compact).

Nếu A là một   đại số, thì A  A   là một   đại số có đơn vị với phép nhân và

chuẩn như sau:

( x,  ).( y,  )  ( xy   y   x,  )



và ( x,  )  sup  xa   a : a  A, a  1

Với phép cộng và phép đối hợp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) . Hơn

nữa ánh xạ  : A  ,  ( x,  )   là một   đồng cấu giữa các *  đại số có đơn vị và

ker  A.



Ví dụ. Xét A  C0 ( X ) là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trên một

không gian Hausdorff compact địa phương X , thì A chính là C ( Xˆ ), Xˆ  X  {} là

khơng gian compact hóa một điểm của X , và  ( f )  f () .



Với   đại số khơng có đơn vị A , ta định nghĩa K i ( A)  ker   trong đó



  : K i ( A )  K i () (i  0,1) .

1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K  lý thuyết

j



Nếu 0  J 

 A 

B  0



(1.1) là dãy khớp ngắn các   đại số, thì



tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K  nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên:

j



K1 ( J ) 

 K1 ( A) 

 K1 ( B )



0







1



(1.2)



j



K 0 ( B ) 

 K 0 ( A) 

 K0 ( J )



Trong đó,  i (i  0,1) được gọi là các đồng cấu nối.

Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một   đồng cấu

s : B  A sao cho   s  id B ) thì   cũng là một tồn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấu



nối đều là đồng cấu khơng. Do đó dãy khớp 6 thành phần trên chẻ ra thành 2 dãy khớp

j



ngắn 0  K i ( J ) 

 K i ( A) 

 Ki ( B)  0 .

ev0

j

 C ([0,1]) 

  0 . Do [0,1]

Ví dụ. Xét dãy khớp ngắn 0  C0 ((0,1]) 



co rút được nên (ev0 ) : K i  C ([0,1])   Ki () , nên từ dãy khớp trên ta có

K i  C ((0,1])   {0} (i  0,1) .

j

ev1

 C ((0,1]) 

   0 , có dãy khớp 6

Ta xét tiếp dãy khớp 0  C0 ((0,1)) 



thành phần là:

j

( ev1 )

K1  C0 ((0,1))  

 0 

 K1 ()



0







1



( ev1 )

j*

 0 

 K 0  C0 ((0,1)) 

K 0 () 



Từ đây ta có K i  C0 ()   K i  C0 ((0,1))   K i 1 ()



(1.3) .



Tương tự trên, ta áp dụng cho C0 (, A) (các hàm liên tục f :   A triệt tiêu

ở vơ cùng) ta có kết quả Ki  C0 (, A)   Ki 1 ( A) .

Áp dụng một cách qui nạp theo n cho A  C0 ( n ) ta được kết quả sau:

, neáu n  i (mod 2),

K i C0 ( n )  

 0, neáu n  i (mod 2).











j

ev

 C ( S n ) 

0

Tiếp theo, xét dãy khớp ngắn chẻ ra 0  C0 ( n ) 



(chẻ ra vì tồn tại đồng cấu nhúng  :   C ( S n ) thỏa ev    id ), thì ta có các dãy

khớp ngắn các K  nhóm chẻ ra sau:



















j

( ev )

0  Ki C0 ( n ) 

 Ki C ( S n ) 

 K i ( )  0



















Do đó ta có K i C ( S n )  Ki C0 ( n )  K i () .

Cuối cùng vì M n ()   n nên Ki  M n ()   Ki ( n )  Ki () (do qui nạp của

2



2



K1 ( 2 )  K1 ()  K1 ()  0, K 0 ( 2 )  K 0 ()  K 0 ()   ), nên ta có kết quả:



 nếu i  0,

K i  M n ( )   K i ( )  

 0 neáu i  1.

1.2.4 Dãy khớp Mayer  Vietoris (xem [6, tr.16  17])



Xét sơ đồ tích thớ:

p1

A 

 A1

p2





1

A2 

 A'





(1.4)



2



Nếu một trong hai   đồng cấu  1 ,  2 là tồn cấu, thì tích thớ trên sẽ sinh ra

dãy khớp Mayer  Vietoris như sau:



 1  2

K1 ( A) 

 K1 ( A1 )  K1 ( A2 ) 

 K1 ( A ')

0







1



(1.5)



 1  2

K 0 ( A ') 

 K 0 ( A1 )  K 0 ( A2 )  K 0 ( A)



Việc tính các   đồng cấu  1   2 cho ta thông tin về   đại số A .

1.3 KK  nhóm của Kasparov (xem [1, tr.64  67])



Giả sử J ,B là các   đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và

tách được. Xét các mở rộng   đại số dạng 0  J  k  A  B  0 (1.6) .

Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6) . Mà

các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1  1 với các đồng cấu  : B   ( J  k ) từ B

vào đại số đa nhân tử ngoài trên J  k ,  được gọi là bất biến Busby của mở rộng



(1.6) . Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby  của nó.

Hai mở rộng 1 , 2 dạng (1.6) được gọi là tương đương unita nếu có một tốn

tử unita u  ( J  k ) (đại số đa nhân tử trên J  k ) sao cho với mỗi x  B ta có



 2 ( x).u  u . 1 ( x) , ở đây u  u (mod J  k ) . Tổng  1  2 của các mở rộng 1 ,2

được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu:

(i) xt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng dạng (1.6) .

(ii) Sxt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng chẻ ra dạng (1.6) .

Cả hai tập này đều là các nhóm cộng và Sxt ( B, J ) là nhóm con chuẩn tắc trong

xt ( B, J ) .



Định nghĩa. KK  nhóm Ext ( B, J ) của Kasparov được định nghĩa là nhóm

thương xt ( B, J ) Sxt ( B, J ) .

Mở rộng  gọi là hấp thụ (absorbing) nếu nó tương đương unita với tất cả các

mở rộng   0 , ở đó 0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu Exta ( B, J ) là tập các

lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ.



Mặc dù mỗi mở rộng  xác định một phần tử duy nhất của Ext ( B, J ) . Nhưng

mỗi phần tử Ext ( B, J ) không đủ xác định một mở rộng  mà chỉ xác định duy nhất

một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm



Exta ( B, J ) . Nói rõ hơn Ext ( B, J )  Exta ( B, J ) .

Tuy nhiên, với mỗi mở rộng  dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng

hấp thụ 1 sao cho   1 lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của Ext ( B, J ) chỉ xác

định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng  .

Bất biến chỉ số của   đại số. Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định

duy nhất một phần tử  của nhóm Ext ( B, J ) . Ký hiệu   index A và gọi là chỉ số của



  đại số A.

Ta đã biết mở rộng (1.1) sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết (1.2) với

cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 ) . Theo định lí Rosenberg về hệ tử phổ dụng ta có dãy khớp:



0  Ext1  K 0 ( B ), K 0 ( J )   Ext1  K1 ( B), K1 ( J )   Ext ( B, J ) 







 Hom  K 0 ( B), K1 ( J )   Hom  K1 ( B ), K 0 ( J )   0





(1.7)



Trong đó  (index A)  ( 0 , 1 ) và Ext1 là nhóm các mở rộng thơng thường.

Nếu như mở rộng (1.1) có K ( B ) là các nhóm aben tự do, thì các nhóm

Ext1  K i ( B ), K i ( J )   0 (i  0,1) . Khi đó dãy khớp (1.7) cho ta  là một đẳng cấu,



nên ta có thể đồng nhất index A với cặp ( 0 , 1 ) . Nói cách khác chính cặp ( 0 , 1 ) xác

định kiểu ổn định của   đại số A . Đặc biệt khi mở rộng (1.1) là hấp thụ, thì ( 0 , 1 )

xác định duy nhất   đại số A, sai khác một tương đương unita.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 Một số vấn đề về K lý thuyết

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×