CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN

33

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu. Khó khăn chính gặp phải trong bài

nay là điều kiện biên tại x = 0. Chúng ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính hóa đã sử dụng

trong các bài báo [ 1 1 ] , [20], [35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10], [12], [13], [18], [19].

Trong phần 2 chúng tơi chứng minh tính ổn định của (u,P) đối với các hàm g, H và k. Các kết

quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [1], [3], [8], [12], [13], [18],

[19], [27] và đƣợc công bố trong {4}.



2.2.Định lý tồn tại và duy nhất

Đặt



V là khơng gian con đóng của H1 và trên V, ‖ ‖

đƣơng

Khi đó ta có bổ đề sau.

Bổ đề 2.1



Chứng minh bổ đề 2.1 không phức tạp và ta bỏ qua.

Ta thành lập các giả thiết sau:



||v||v = √



là hai chuẩn tƣơng



34

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

(A4) Hàm số H



C1 ® và tồn tại một hằng số h0 > 0



Hàm số f : R2



Tồn tại hai hằng số α,β



liên tục, f(0,0) = 0 và có các điều kiện sau:



(0,1] và hai hàm số B1, B2 : R+



R+ liên tục sao cho:



Ta cũng dung các ký hiệu u(t), ut(t) = u’(t), utt(t) = u’’(t)



Khi đó ta có định lý sau

Định lý 2.1.



,



Giả sử (A1) - (A4 ) và (F1 ) - (F3 ) đúng. Khi đó, với mỗi T > 0 bài tốn tồn tại

nghiệm (u,P)sao cho



Hơn nữa, nếu β = 1 và các hàm H, B2 thỏa mãn thêm điều kiện,



Khi đó, bài tốn (2.1) – (2.5) có nghiệm (u, P) duy nhất



35

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



Chú thích 2.1.

Kết quả này mạnh hơn kết qua thu đƣợc trong [18]. Thật vậy, tƣơng ứng với

cùng bài toán (2.1) – (2.5) với k(t) ≡ 0 và H(s) = hs, h > 0, trong [18]ƣ còn giả thiết thêm:



B1, B2 là các hàm không giảm



(2.13)



Chứng minh của định lý 2.1.

Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc.

Bước 1. Xấp xỉ Galerkin.

Xét cơ sở trực chuẩn đặc biệt trên V



Đƣợc thành lập từ các hàm riêng của tốn tử Laplace –(



⁄



)



Đặt



Trong đó cmj(t) thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến sau đây



36

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



Cố định T > 0, từ các giả thiết của định lý 2.1, hệ (2.15) - (2.17) có nghiệm (u m

(t), Pm (t)) trên một khoảng [0, Tm ], với 0 < Tm < T nào đó. Nhờ vào các đánh giá sau

đây ta có thể lấy Tm = T với mọi m.

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.

Thay (2.16) vào (2.15), và nhân phƣơng trình thứ j của hệ (2.15) với 2c'mj(t) và

lấy tổng theo j, ta có:



Trong đó



Tích phân từng phần (2.18) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có



Sử dụng bổ đề 2.1, (2.17), (2.19), ta có



37

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



trong đó C 1 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào u0,u1, H , h 0 và g .

Sử dụng một lần nữa bổ đề 2. 1 và bất đẳng thức



Ta thu đƣợc



Chú ý rằng từ giả thiết (F1), (F3) và vẫn sử dụng bổ đề 2.1, ta có



Chú ý rằng tích phân cuối cùng trong (2.20) viết lại sau khi tích phân từng phần nhƣ sau:



38

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



Do đó



Số hạng đầu tiên trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào bất đẳng thức

(2.22).



Tƣơng tự, số hạng thứ hai trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào (2.22) và

bất đẳng thức Cauchy-Schwartz



Từ (2.26) - (2.28) ta thu đƣợc



Ta suy ra từ (2.20), (2.21), (2.23) - (2.25) và (2.29) rằng



trong đó



39

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



trong đó ỜJ là hằng số chỉ phụ thuộc vào T.



Trong đó

là hằng số chỉ phụ thuộc vào T

Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (2.30), (2.33) rằng



Bây giờ chúng ta cần một đánh giá của số hạng ∫ |

Đặt



Khi đó um(0,t) đƣợc viết lại là



|2ds.



40

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

Bổ đề 2.2.

Tồn tại một hằng số C2 > 0 và một hàm liên tục, D ( t ) > 0 sao cho:



Chứng minh bổ đề 2.2 có thể đƣợc tìm thấy trong [3].

Bổ đề 2.3.

Tồn tại hai hằng số dƣơng



và



chỉ phụ thuộc vào T sao cho



Chứng minh của bổ đề 2.3.



Áp dụng cơng thức tích phân từng phần , ta có



Khi đó



Chú ý rằng từ (2.16) ta có



41

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



Sử dụng bất đẳng thức (a + b + c)2 ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c2), Va, b,c e R, ta suy ra từ (2.34),

(2.42) và ( A 4 ) rằng



Ta suy từ (2.41) - (2.43) rằng



Chú ý rằng với mọi T > 0, Km → K mạnh trong L2(0,T) khi m → +∞, ta thu đƣợc (2.39). Bổ

đề 2.3 đƣợc chứng minh đầy đủ

Bổ đề 2.4

Tồn tại hai hằng số dương



và



chỉ phụ thuộc vào T sao cho



42

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

Chứng minh của bổ đề 2.4.

Vì (2.46) là hệ quả của (2.34), (2.43), và (2.45), nên chúng ta chỉ cần

chứng minh (2.45).

Từ (2.37), sử dụng bổ đề 2.2 và bổ đề 2.3, ta thu đƣợc



Mặt khác, từ (2.34) và các giả thiết (F2),(F3) với chú ý 0 < α ≤ 1 ta thu đƣợc



Do đó, sử dụng (2.34) và (2.48) ta có



Sau cùng, từ (2.47) và (2.49) ta thu đƣợc bất đẳng thức



do bổ đề Gronwall suy ra (2.45). Bổ đề 2.4 đƣợc chứng minh đầy đủ.

Bước 3. Qua giới hạn.

Từ (2.16), (2.19), (2.34), (2.45),(2.46), và (2.49) , ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy

{um, Pm }, vẫn ký hiệu là {um, Pm}, sao cho



43

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính



Áp dụng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta suy ra

từ (2.53), (2.54), (2.51) và (2.52) tồn tại một dãy con vẫn ký hiệu là {u m} , sao cho



Do H liên tục, từ (2.16), (2.57) ta có



Từ (2.56) và (2.59) ta có

P ≡ ̂ a.e. trong [0,T]



(2.60)



Qua giới hạn trong (2.15) nhờ vào (2.51), (2.52), (2.55), (2.59) và (2.60) ta có



Ta có thể chứng minh theo một cách tƣơng tự nhƣ trong [18] rằng

u(0) = u0,



u'(0) = u1.



(2.62)



Để chứng minh sự tồn tại nghiệm u, ta chỉ cần chứng tỏ rằng χ = f(u,u'). Khi đó ta cần

dùng bổ đề sau đây.