CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LƯỢNG

57

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến

Ta ký hiệu bởi



là tập hợp tất cả các hàm u xác định và đo đƣợc trên



trong đó



Ta đồng nhất trên

các hàm bằng nhau hầu hết trên Ω . Các phần tử của

là các lớp

tƣơng đƣơng các hàm đo đƣợc thỏa mãn (3.4), hai hàm là tƣơng đƣơng nếu chúng bằng nhau

hầu hết trên Ω. Khi đó

là khơng gian Banach đối với chuẩn ‖ ‖

Trong trƣờng hợp riêng ,

tƣơng ứng nhƣ sau



là không gian Hilbert đối với tích vơ hƣớng và chuẩn



Ta ký hiệu bởi



Ta có



với đạo hàm đƣợc hiểu theo nghĩa phân bố.

Chúng ta có thể định nghĩa

nhƣ là sự đầy đủ hóa của khổng gian hàm S1 sau đây



58

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



Đối với chuẩn ‖ ‖

Các bất đẳng thức về phép nhúng sau đây sẽ đƣợc sử dụng trong các phần sau.

Bổ đề 3.1.



trong đó



Chứng minh của bổ đề 3.1.



(i)



Ta có



Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân trên đây, ta đƣợc



59

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



Do bất đẳng thức Holder ta có



Ta suy ra từ (3.9),(3.10) rằng



Dùng bất đẳng thức Holder sau đây



Ta suy ra từ (3.11),(3.12) rằng



Trong đó



Do đó, (i) đƣợc suy ra từ (3.13), (3.14).

ii) Một cách tƣơng tự, ta suy ra từ (3.9), (3.10) và (3.12) với ε= i, rằng



Do đó, (ii) đƣợc suy ra từ (3.15).



(iii) Ta có , với mọi x G [0,1],



60

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



(3.16)

Sử dụng bất đẳng thức Holder, tích phân cuối cùng trong vế phải của (3.16) đƣợc

đánh giá



Ta suy ra từ (3.16), (3.17) rằng



Ta sử dụng một lần nữa bất đẳng thức (3.12) với ε = 1. Khi đó ta suy ra từ (3.15),

(3.18) rằng



Do đó (iii) đƣợc chứng minh.

(4i) Giả sử p ≥ 2 - và p > 1 là đúng.



Ta có từ (iii) rằng



Mặt khác, dùng bất đẳng thức Holder ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau



61

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



Do đó, ta suy ra từ (3.21), (3.22) rằng



Đổi thứ tự biến lấy tích phân x và y trong tích phân cuối cùng của (3.23), ta đánh giá tích

phân đó nhƣ sau



Ta chú ý rằng



Khi đó, (iv) đƣợc suy từ (3.20), (3.23) - (3.25).



Chú thích 3.1.

Các bất đẳng thức (i), (ii) chứng tỏ rằng



là hai chuẩn tƣơng đƣơng trên



và



62

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



Bổ đề 3.2



Chứng minh của bổ đề 3.2.



suy từ (iv) và từ chú thích 3.1.

ii) p ≥ 2. Ta có



Chú thích 3.2.

Ta chú ý rằng



()

(xem [2] , Bổ đề 5.40 , p.128 ).



(3.29)



ta suy ra rằng



63

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



(3.30)

Từ (3.28), (3.30) ta suy ra



Từ kết quả của bổ đề 3.2, với p ≥ 2 - ⁄ , V đƣợc nhúng liên tục trong H. Hơn nữa V trù

mật trong H, vì C1 ( ̅ ) trù mật trong H; đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H), ta có

. Mặt khác, ks hiệu 〈 〉 đƣợc dùng để chỉ cặp đối ngẫu giữa V và V’.



3.3. Định lý tồn tại và duy nhất

Ta giả sử rằng p ≥ 2. Ta thành lập các giả thiết sau

(M1) M: (0,1] x R R thỏa mãn điều kiện Caratheodory, nghĩa là, M(.,y) đo đƣợc trên (0,1]

với mọi y R, M(x,.) liên tục trên R với hầu hết x (0,1].

(M2) Tồn tại một hằng số dƣơng C1 và một hàm q1 L1(Ω) sao cho

(M3) Tồn tại một hằng số dƣơng C2 và một hàm q2, với



64

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến

( M 4 ) M là đơn điệu tăng đối với biến thứ hai, nghĩa là,

(F1 ) f : Ω x R → R thỏa điều kiện Caratheodory.

(F2) Tồn tại các hằng số dƣơng C3 , 1 < r < p và một hàm q3

(F3) Tồn tại một hằng số dƣơng C4 và một hàm q4

(H1) h



( Ω) sao cho



(Ω) sao cho



C0 (R; R) thỏa điều kiện sau: tồn tại hai hằng số dƣơng C5,



sao cho



Giả sử rằng

F V’.

Chú thích 3.3.

Trong giả thiết (F2), r = p vẫn đúng nếu C3 > 0 đủ nhỏ.

( xem chú thích 3.6 ).

Nghiệm của bài tốn (3.1) - (3.3) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau đây.

Tìm u V sao cho



(3.32)



65

Chương 3: Bài tốn biên phi tuyến

Chú thích 3.4.



Do (3.31), các số hạng u(1) và v(1) xuất hiện trong (3.33) đƣợc xác định với mọi u , v V .

Ta nhận đƣợc (3.33) bằng cách nhân hình thức hai vế của (3.1) với xγ v và sau đó lấy tích

phân từng phần, kết hợp với việc sử dụng các điều kiện (3.2),(3.28) và giả thiết (M3) .

Khi đó ta có định lý sau.

Định lý 3.1.

Cho F V’ và giả sử (M1) – (M4), (F1) – (F3), (H1)là đúng.

Khi đó bài tốn biến phân (3.33) có nghiệm

Hơn nữa, nếu M(x,y), f(x,y), h(y) là khơng giảm đối với biến y, nghĩa là



Với mọi y, ỹ R, a.e., x Ω, trong đó, hai trong ba bất đẳng thức trên là nặt trong trường

hợp y ≠ ỹ, khi đó nghiệm bài tốn duy nhất.

Mặt khác, tính duy nhất của nghiệm vẫn còn đúng nếu điều kiện (3.34) được tahy thế bởi giả

thiết



66

Chương 3: Bài toán biên phi tuyến



Chứng minh.

a) Xấp xỉ Galerkin.

Do V là không gian Banach khả ly nên tồn tại một cơ sở đếm đƣợc w1 , w 2 ..trong V . Ta tìm

u m dƣới dạng



và thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau đây:



Nhƣ vậy các hệ số cmj của u m thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến :



Trong đó



Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ (3.36), chúng ta nhờ đến bổ đề sau đây

Bổ đề 3.3.



Cho p: Rm → Rm là ánh xạ liên tục.

Giả sử tồn tại hằng số ρ > 0, sao cho



67

Chương 3: Bài tốn biên phi tuyến



Trong đó



với



Bổ đề này đƣợc chứng minh nhờ vào định lý điểm bất động Brouwer (xem [27] bổ đề

4.3, trang 53).

Ta nghiệm lại ánh xạ P thỏa các giả thiết của bổ đề 3.3.

j) Ta chứng minh dễ dàng rằng p : R m → R m là ánh xạ liên tục.

jj) Ta nghiệm lại điều kiện (3.39) đúng với một số dƣơng ρ nào đó.

Ta có



Từ các giả thiết (M1 ) - (M3), (F1) - (F3), (H1) ta có các đánh giá sau