CHƯƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG

78

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Chúng ta sử dụng các ký hiệu tƣơng tự nhƣ trong chƣơng trƣớc ,chẳng hạn V =



4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm



Ta thành lập các giả thiết sau:



Nghiệm yếu của bài toán (4.1) - (4.3) đƣợc thành lập từ phƣơng trình biến phân sau đây.



Tìm u



V sao cho



trong đó



Chú thích 4.1.



Do (3.31) , các số hạng u(l),v(l) xuất hiện trong (4.4) đƣợc xác định với mọi u, V

.Ta nhận đƣợc (4.4) bằng cách nhân hình thức hai vế của



V



79

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm



(4.1) với xᵞ v , sau đó lấy tích phân từng phần và sử dụng các điều kiện

(4.2) và (3.28).

Khi đó ta có định lý sau đây.

Định lý 4.1.

Giả sử h > 0, g R và ( H 1 ) - ( H 4 ) được thỏa .Khi đó bài tốn biến phân (4.4) có

nghiệm u V .

Hơn nữa, giả sử f(x,y) là không giảm đối với biến y , i.e.,



Khi đó nghiệm u duy nhất.

Chú thích 4.2.

Số hạng h(u(l)) = hu(l) - g khơng thỏa mãn điều kiện (H1) trong chƣơng III khi p > 2.

Chứng minh của định lý 4.1.

Tƣơng tự nhƣ chứng minh trong định lý 3.1, chƣơng III, ta gọi {w j} là cơ sở đếm đƣợc

của V. Khi đó ta tìm một nghiệm xấp xỉ Galerkin {u m} theo dạng um = ∑

trong đó

cmj thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau



Sử dụng bổ đề 3.3, chƣơng III (hoặc xem [27], bổ đề 4.3 , trang 53), từ các giả thiết (Hi) - (H4) ta có

thể chứng minh rằng hệ (4.6) có nghiệm u m .



80

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

- Nhân phƣơng trình thứ j của hệ (4.6) với cmj, sau đó lấy tổng theo j = l,...,m, ta đƣợc



Từ các giả thiết (H2), (H4) và từ bất đẳng thức (ii) trong bổ đề 3.1, chƣơng III, ta thu

đƣợc



trong đó C là hằng số độc lập với m .

Từ (4.8) ta suy ra



Ta suy ra từ (4.9) rằng



Mặt khác, ta suy ra từ (H3) (4.9), rằng



trong đó C là một hằng số độc lập với m.

- Nhờ (4.9), (4.10) và bổ đề 3.2 (trong chƣơng III ), ta suy ra rằng, dãy {u m} có một dãy con

vẫn ký hiệu là {um} sao cho



81

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Do (3.29), (4.9) {um} có một dãy con vẫn ký hiệu là {um} sao cho

Um |[, ]  u |[, 1] trong Co ([,1]), mạnh.



(15)



Mặt khác, ta suy ra từ (H1), (4.13), rằng:



Từ (4.160, giả thiết (H3) và bổ đề 3.1 (iii) suy ra:



Qua giới hạn trong (4.6), từ (4.14)(4.15), và (4.170 ta chứng minh khơng khó

khăn rằng u thỏa mãn phƣơng trình



Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân (4.4) chúng ta chỉ cần chứng

minh



Thật vậy, từ (4.17),(4.18), ta suy ra



Sử dụng tính chất đơn điệu của A và các lý luận quen thuộc chúng tachứng minh

⁄



đƣợc rằng :

Sự tồn tại nghiệm đã đƣợc chứng minh.



82

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Giả sử f thỏa giả thiết (H5), chúng ta chứng minh nghiệm của bài toán biến phân (4.4)

là duy nhất. Thật vậy, giả sử u và v là hai nghiệm của bài tốn biến phân (4.4), khi đó w = u v thỏa đẳng thức sau



Từ đây ta suy ra w = 0. Định lý 4. 1 đƣợc chứng minh đầy đủ.



4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+

Trong phần nay, ta giả sử rằng (H1) - (H5) đúng. Do định lý 4.1 bài toán biến phân

(4.4) tƣơng ứng với mỗi h > 0, có một nghiệm duy nhất u = uh . Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu

tiệm cận của nghiệm uh khi h 0+.

Chúng ta xét thêm các giả thiết phụ sau đây về hàm f.



(H6) Tồn tại một hằng số c3 > 0 sao cho



Định lý sau đây tổng quát một kết quả tƣơng tự trong [29].

Định lý 4.2.

Giả sử có các giả thiết ( H 1 ) - ( H ’ 5 ). Khỉ đó

i)

Bài tốn ( 4 . 4 ) tương ứng với h = 0 có nghiêm duy nhất u0 e V .

ii)

Hơn nữa, nếu f thỏa ( H 6 ) , khi đó chúng ta có đánh giá tiệm cận



trong đó C là một hằng số độc lập với h chỉ phụ thuộc vào , p, C 1 , C 2 , C 3 , g , q I , q 2 , | | F | | V ’ .



83

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Chứng minh của định lý 4.2.



ii) Trƣớc hết, ta chú ý rằng hằng số C trong đánh giá (4.9) không những độc

lập với m mà còn độc lập với h > 0. Thật vậy từ (4.8) ta suy ra rằng



Từ đây ta có thể chọn hằng số C cụ

thể nhƣ sau



Vậy nghiệm duy nhất uh của bài tốn (4.4) thỏa mãn:



Trong đó C là một hằng số độc lập với mọi h > 0.

Bây giờ, giả sử u h ( tƣơng ứng uh' là nghiệm duy nhất của bài toán (4.4), với tham s ố

(tƣơng ứng h ') .



Lấy w = v trong (4.25), khi đó từ (H6), (4.24) và bất đẳng thức sau



ta thu đƣợc



Do đó, ta suy từ (4.27) rằng



84

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm



Coi {hm} là một dãy số thực sao cho h m > 0,hm → 0+ khi m → +∞. Ta suy từ (4.28) rằng

{uhm } là dãy Cauchy trong V. Do đó, tồn tại w 0 € Vsao cho



Bằng cách qua giới hạn nhƣ trong chứng minh của định lý 4.1, ta suy ra rằng w 0 là nghiệm

của bài toán biến phân (4.4) tƣơng ứng với h = 0.

Do đó, w0 = u0, suy ra

uh



u0 mạnh trong V khi h → 0+ .



Cho h' → 0+ trong (4.28), ta có



Định lý 4.2 đƣợc chứng minh đầy đủ

Định lý 4.3.

Giả sử có các giả thiết (H1) – (H4), (H6). Khi đó ta có

|

| liên tục, khơng tăng trên [0,1)

(i)Hàm số

|

|

|.

(ii) |



Chứng minh của định lý 4.3.

Coi 0 < h < h ' , h = h-h'<0.Khi đó v = uh- u h ' thỏa (4.27), ta thu đƣợc

̂ n.uh,(l)(uh(l)-uh,(l))≥0.



Suy ra hàm

đpcm.



không tăng trên (0, ∞+). Do hàm φ liên tục trên [0, +∞) nên chúng ta suy ra



85

Phần kết luận



PHẦN KẾT LUẬN

Trong luận án nầy chúng tơi sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến nhƣ:

phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và phƣơng pháp tốn tử đơn điệu, phƣơng

pháp tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động (Bổ đề Brouwer), phƣơng pháp

tiệm cận... nhằm khảo sát một số bài tốn biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học.

Chẳng hạn nhƣ các phƣơng trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác

nhau xuất hiện trong các bài tốn mơ tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến

ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa

trên một nền cứng; Các phƣơng trình elliptic mơ tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến

đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...,

Trong luận án, ngồi chƣơng đầu trình bày tổng quan về các vấn đề xuất xứ và các vấn

đề đã đƣợc giải quyết, các chƣơng còn lại trình bày các kết quả mới.

Bằng phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến, luận án đã thu đƣợc một số kết quả

nhƣ sau:

1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng tình sóng phi tuyến có số hạng

phi tuyến chứa ‖ ‖

với số hạng phi tuyến tổng quát thuộc dạng f( u , u t ) .

2 . Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình sóng phi tuyến có số hạng

phi tuyến chứa ‖ ‖

với số hạng phi tuyến tổng quát thuộc dạng f( u , u t ) .



86

Phần kết luận

3. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính ổn định nghiệm của phƣơng trình sóng

phi tuyến một chiều liến kết với số hạng phi tuyến thuộc dạng f ( u , u t ) và một phƣơng

trình tích phân phi tuyến chứa giá trị biên.

4. Thiết lập một số bất đẳng thức về phép nhúng giữa các khơng gian hàm có trọng.

5. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên phi tuyến có chứa số hạng

kỳ dị trong khơng gian hàm Sobolev có trọng.

6. Khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm của bài tốn biên phi tuyến có chứa số hạng kỳ

dị phụ thuộc tham số h > 0 khi h → 0+ đối với điều kiện biên |u'(1)|p-2 u'(1)+hu(1)=g .

7. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số h → I uh(1)I trong đó uh là nghiệm của một bài tốn

biên phi tuyến có chứa số hạng kỳ dị phụ thuộc tham s ố h > 0 .

Các kết quả thu đƣợc của luận á n đã đƣợc trình bày và thảo luận tại bộ mơn Giải tích

của Khoa Tốn thuộc cơ sở đào tạo; đồng thời cũng đƣợc báo cáo tại các Hội Nghị khoa học

của Khoa Toán Đại Học KHTN Tp HCM tháng 4/2000 , Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp

HCM tháng 12/2000; tại các Hội Nghị ứng dụng Tốn học tồn quốc ( HN ) năm 1999, Hội

Nghị về phƣơng trình đạo hàm riêng và ứng dụng ( HN ) năm 1999.



87



CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

LUẬN ÁN



1. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết, On the existence, uniqueness

of solution of the nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math.32 (1999), 749758.

2. Nguyễn Thành Long,Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết, A nonlinear

boundary value problem for



a



nonlinear



ordinary differential operator



weighted Sobolev spaces , J. for Analysis and its Applications.19 (2000)



,



in



1035-



1046. (Bài nhận đăng).

3. Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, Nguyễn Hội Nghĩa, Trần Minh

Thuyết



On



a



nonlinear



boundary



value



with



a



mixed



nonhomogeneous



condition: Asymptotic behavior of a solution, Demonstratio Math. 34 (2001) ,(Bài nhận

đăng).

4. Nguyễn



Thành



Long,Trần



Minh



Thuyết,



A



semilinear



wave



equation



associated with a nonlinear integral equation. (Submitted).

5. Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết, Về một bài tốn biên phi tuyến trong khơng gian

Sobolev có trọng lƣợng. Kỷ yếu Hội nghị Khoa học lần II, ĐHKHTự nhiên Tp.HCM,

tiểu ban Tóan-Tin học ,5-2000, p. 113-117.

6. Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết ,Về một bài tóan biên phi tuyến trong các khơng

gian Sobolev có trọng lƣợng, Hội Nghị Ứng Dụng Tóan học Tồn Quốc lần I ,Hà Nội,

23-25/12/1999.



88



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.



Nguyen Thuc An, Nguyen Dinh Trieu, Shock between absolutely solid body and

elastic Bar with the elastic viscous factional resistance at the side, J. Mech.NCSR.

Vietnam Tom XIII (2) (1991), 1-7.



2.



Adams .R.A. , Sobolev Spaces , Academic press, NewYork, 1975.



3.



Dang Dinh Ang, Alain Pham Ngoc Dinh, Mixed problem for some semilinear wave

equation with a nonhomogeneous condition,Nonlinear Anal. 12 (1988), 581-592.



4.



Aassila.M., On a quasilinear wave equation with strong damping, Funkcial Ekvac,

41 (1998), 67-78.



5.



Aassila.M



Global existence and energy decay for a damped quasilinear wave



equation, Math. Meth.in the AppL Sci., 21 (1998), 1185-1194.

6.



Aassila.M., On local solutions of a mildly degenerate hyperbolic equation, J. Math.

Anal. Appl, 238 (1999), 418- 428.



7.



Brezis.H., Analyse Fonctionnelle. Theorie et applications, Masson, Paris, 1983.



8.



Bergounioux.M, Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Mathematical

model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar , Nonlinear Anal.

(2001), (to appear).



9.



Carrier CF.,0n the vibration problem of elastic string, Q.J.Appl.Math. 3 ( 1 9 4 5 ) ,

151-165.



10.



10Alain Pham Ngoc Dinh, Sur un probleme hyperbolique faiblement nonlineaire en

dimension 1, Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289.