Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 68 trang )
Xét màng mỏng có từ tính có độ dày hữu hạn n lớp ngun tử nhưng trong
mặt xOy có đối xứng tịnh tiến, số spin trong một mặt phẳng mạng spin là N (N ~
∞), mỗi ngun tử có moment từ spin .
Xét mạng spin ngun tử trong màng mỏng mơ tả trên hình 2:
Hình 2: Mơ hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin ngun tử trong hệ tọa độ
Trục z vng góc với mặt màng. Mặt phẳng xOy song song với mặt màng.
a là hằng số mạng;
là vectơ chỉ vị trí spin ();
là vectơ 2 thành phần mơ tả vị trí của spin trên mặt xOy.
là thành phần vectơ vị trí trên trục Oz.
Hamiltonian Heisenberg mơ tả hệ spin tương tác với nhau trong màng
(2.1)
Tương tác trao đổi giữa hai spin ở nút mạng và chỉ phụ thuộc khoảng cách.
(2.2)
Hay tích phân trao đổi là hàm tuần hồn của .
Số hạng thứ hai trong (2.1) là số hạng tương tác của các spin trong màng
mỏng với trường ngồi h song song với trục Oz.
Các thành phần tốn tử spin tn theo quy luật giao hốn
Thơng thường ta sử dụng các tốn tử tăng giảm spin
(2.3)
(2.4)
Các tốn tử trên tn theo quy luật giao hốn sau
(2.5)
Sử dụng (2.4), (2.5) ta có thể viết Hamiltonian (2.1) trong dạng sau
(2.6)
(2.6) là Hamiltonian Heisenberg cho hệ spin màng mỏng trong trường ngồi
viết cho các biến tốn tử .
Để nghiên cứu động học của hệ ở nhiệt độ hữu hạn, ta tính hàm Green
chậm sau
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Ta có phương trình chuyển động trong biểu diễn năng lượng cho hàm Green
chậm xây dựng dựa trên các tốn tử ,
(2.11)
Trong đó:
(2.12)
(2.13)
Ta tính riêng các giao hốn tử trong biểu thức (2.13), với việc áp dụng cơng
thức
, và được các kết quả sau:
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Thay (2.14), (2.15), (2.16) vào (2.13) ta nhận được:
(2.17)
Thay (2.12) và (2.17) vào (2.11), ta nhận được phương trình chuyển động
(2.18)
Ta có thể xây dựng tiếp phương trình chuyển động trong biểu diễn năng
lượng cho các hàm Green bậc cao ở vế phải của phương trình (2.11) và nhận được
phương trình
Đây là phương trình chuyển động cho hàm Green . Nếu lấy đạo hàm theo t
tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa và tiếp tục q trình đó ta sẽ nhận được chuỗi
phương trình móc xích cho các hàm Green
Chuỗi móc xích cho các hàm Green khơng giải chính xác được mà cần phải
áp dụng một phép gần đúng nào đó, ở đây chúng ta sử dụng phép ngắt chuỗi của
Bogolyubov và Tiablikov, và nhận được một phương trình hữu hạn, sau đó giải hệ
để tìm biểu thức cho hàm tương quan.
2.2 Phương trình cho độ từ hóa và phổ sóng spin
Ở đây, trong gần đúng đơn giản nhất ta áp dụng cơng thức ngắt chuỗi của
Bogolyubov và Tiablikov thể hiện các hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (2.18)
qua hàm Green ban đầu và trung bình thống kê tốn tử , cụ thể là:
(2.19)
Đồng thời vì đối xứng tịnh tiến trong mặt phẳng màng mỏng nên giá trị
trung bình của hình chiếu moment spin lên trục z khơng phụ thuộc j và j 1 (nó chỉ
phụ thuộc chỉ số mặt phẳng mạng ν và ν1)
;
Thay vào (2.19) ta có:
(2.20)
Đặt (2.20) vào (2.18) và ta nhận được phương trình chuyển động
(2.21)
Do đối xứng tịnh tiến trong sự phân bố spin trong mặt màng, hàm tương
quan và hàm Green chỉ phụ thuộc vào khoảng cách và có thể phân tích vào chuỗi
Fourier theo vectơ sóng
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Từ đây ta có phương trình:
(2.25)
Trong (2.21) là ảnh Fourier khơng gian của tích phân trao đổi lấy trong gần
đúng lân cận gần nhất:
(2.26)
(2.27)
Js là tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất trong một lớp spin và
Jp là tích phân trao đổi giữa các spin là lân cận gần nhất thuộc các lớp spin cạnh
nhau.
Ngồi ra, trong trường hợp có trao đổi dị hướng trên mặt lớp màng thì là
tương tác trao đổi dọc giữa các lân cận gần nhất theo hướng Ox, tương tác trao
đổi dọc giữa các lân cận gần nhất theo hướng Oy. Khi đó, ta có:
(2.28)
(2.29)
Từ phương trình (2.25) ta có thể giải cho từng trường hợp hợp cụ thể với
màng mỏng 1 lớp, 2 lớp, 3 lớp … từ đó tìm ra biểu thức các hàm Green và phổ năng
lượng sóng spin. Dựa vào biểu thức hàm Green tìm được, ta sẽ xét sự phụ thuộc
của độ từ hóa vào nhiệt độ và độ dày lớp.
CHƯƠ NG 3
ĐỘ TỪ HĨA VÀ PHỔ SĨNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN LỚP VÀ
HAI LỚP SPIN NGUN TỬ
3.1
Màng mỏng đơn lớp spin ngun tử với trao đổi dị hướng
Với màng mỏng là đơn lớp, ta có υ = υ1 = 1. Hàm Green chỉ có một loại nên
ta bỏ chỉ số 1 đi cho thuận tiện và biểu thị hàm Green chậm là
Ảnh Fourier của nó là .
Thay vào phương trình (2.23) ta có biểu thức cho hàm Green chậm sau:
(3.1a)
(3.1a) có dạng
(3.2)
Vì các cực của hàm Green tương ứng với phổ năng lượng của sóng spin nên
trong trường hợp màng 1 lớp, phổ năng lượng sóng spin có dạng:
(3.3)
Ta xét trên một lớp màng, và giả định rằng chỉ xét đến những tương tác trao
đổi giữa các lân cận gần nhất.
Tuy nhiên, trường hợp trao đổi đẳng hướng giữa các spin là lân cận gần
nhất trong màng đơn lớp với mơ hình Heisenberg theo định lý Mermin – Wagner tại
T ≠ 0K khơng tồn tại trật tự tầm xa. Điều này có nghĩa các trao đổi đẳng hướng
giữa các spin lân cận gần nhất trong màng đơn lớp là khơng được mơ tả thích hợp
trong phép gần đúng Bogolyubov và Tiablikov. Tuy nhiên, Hamiltonian Heisenberg
hai chiều đẳng hướng chỉ là mơ hình lý tưởng. Trên thực tế ln có các loại tương
tác khác như: tương tác dị hướng do trường tinh thể trong mặt phẳng mạng, tương
tác giữa các lớp hai chiều…[1], [5] phá vỡ đối xứng và màng mỏng đơn lớp vẫn có
thể có trật tự xa.
Vì vậy, ta khảo sát trường hợp tương tác dị hướng trong màng mỏng đơn
lớp.
Cho rằng là tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Ox,
tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Oy. Khi đó, ta có: