Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

6

n



x ∈ Aε , ∃i o : x ∈ B aio , ε ⇒ ε − x − ai > 0 ⇒ µ io = ε − x − ai ≠ 0 ⇒ ∑ µ i ( x ) ≠ 0



(



)



i =1



Chú ý:

Pε ( Aε ) ⊂ co ( A ) do mỗi Pε ( x ) là tổ hợp tuyến tính của a1, a2,…,an

Đònh nghóa 1.2



Cho B là một tập của không gian tuyến tính đònh chuẩn E, F : B → E . Với mỗi



ε > 0 , b là một điểm trong B sao cho b − F ( b ) < ε thì b được gọi là điểm



ε − cố đònh của F.

Đònh nghóa 1.3



Cho C là tập lồi trong E. (X,A) là một cặp trong C, nghóa là X là tập con tùy ý

trong C và A là tập đóng trong X.



• Hai ánh xạ liên tục f,g : X → E được gọi là đồng luân nếu có một ánh xạ

liên tục H : X × [ 0,1] → E với H ( x,0 ) = f ( x ) vaø H ( x,1) = g ( x ) ,



∀x ∈X



• Ánh xạ H được gọi là đồng luân liên tục và ta viết H : f ≅ g . Với mỗi

t ∈ [ 0,1] ánh xạ x → H ( x,t ) được viết là H t : X → E .



• Chúng ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng luân là một quan hệ tương

đương.



• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là compact nếu nó là compact.

• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là “fixed point free” trên A ⊆ X nếu với

mỗi t ∈ [ 0,1] ánh xạ liên tục H A × {t} : A → E không có điểm bất động.



• Gọi K A ( X,C ) là tập hợp tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : X → C sao

cho thu heïp F A : A → C là “fixed point free” .



• Hai ánh xạ liên tục F,G ∈ K A ( X,C ) được gọi là đồng luân (ta viết F ≅ G )

trong



K A ( X,C )



nếu có một đồng luân liên tục



H : X × [ 0,1] → C



7



với H t ( u ) = H X × {t} : X → C, t ∈ [ 0,1]



“fixed



point



free”



trên



X



và



H 0 ( x ) = F ( x ) ,H1 ( x ) = G ( x ) .



• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là cốt yếu (essential) nếu tất cả các ánh

xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A có điểm cố đònh.



• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là không cốt yếu (inessential) nếu tồn tại

ánh xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A la ø“fixed point free”.

Đònh nghóa 1.4



Tập A ⊂ CK ( X ) được gọi là liên tục đồng bậc nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f ∈ A, ∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì f ( x ) − f ( x ' ) < ε .



Đònh nghóa 1.5



Hàm số pf : [ 0,1] × R 2 → R được gọi là hàm L1 – Caratheodory nếu:



i) t → p ( t ) f ( t,y,q ) là đo được, ∀ ( y,q ) ∈ R 2

ii) ( y,q ) → p ( t ) f ( t,y,q ) lieân tục hầu khắp nơi t ∈ [ 0,1]

iii) Với bất kỳ r>0, tồn tại h r ∈ L1 [ 0,1] sao cho p ( t ) f ( t,y,q ) ≤ h r ( t ) , hầu khắp nơi

t ∈ [ 0,1] và với mọi y ≤ r, q ≤ r

Đònh nghóa 1.6



Lnp [ a, b] ,n ∈ N* là không gian các hàm u thỏa:



∫



b



a



n



p u ( t ) dt < ∞



Đònh nghóa 1.7



Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a,b] ( f ∈ AC [ a, b]) nếu với mỗi

n



n



i=1



i=1



ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∑ bi − ai < δ thì ∑ f(bi ) − f(ai ) < ε , đúng cho moïi hoï



{( a , b ) ;i = 1,n} các khoảng không giao nhau.

i



i



8

Đònh nghóa 1.8



Giả sử hệ hàm y1 ( x ) ,y 2 ( x ) ,...,y n ( x ) khả vi n -1 lần trên (a,b), khi đó đònh thức

Wronski được xác đònh như sau:



y1 ( x )

y1' ( x )

W ( y1 ,y 2 ,...,y n ) ≡ W ( x ) =

...

n −1)



y1(



(x)



y2 ( x )

y'2 ( x )

...

n −1)



y(2



(x)



...

...

...



yn ( x )

y'n ( x )

...

n −1)



... y(n



(x)



W ( x ) ≠ 0 tại một x ∈ ( a,b ) thì hệ hàm độc lập tuyến tính

W ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b ) thì hệ hàm phụ thuộc tuyến tính.

Đònh nghóa 1.9



Cho B, D là hai tập đóng rời nhau trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. Khi

đó tồn tại một hàm liên tục λ : E → [ 0,1] gọi là hàm liên tục Urysohn sao cho:



 d ( x,B) 

,1 ,x ∉ D

min 

0 ,x ∈ B

. Hay nói cách khác λ ( x ) = 

λ (x) = 

 d ( x,D ) 

1 ,x ∈ D



,x ∈ D

1

với d ( x,B) = min { x − y ,y ∈ B}



1.2.



Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dò

1.2.1. Các đònh lí cơ bản:

Đònh lí 1.1 (Brouwer)



En là không gian tuyến tính đònh chuẩn hữu hạn chiều. C là tập đóng, bò chặn

trong En thì tất cả các ánh xạ f : C → C liên tục đều có điểm bất động.

Đònh lí 1.2



Cho A ⊆ C ⊆ E với A= {a1 ,a2 ,...,an } ; C là tập lồi trong không gian tuyến tính

đònh chuẩn E. Nếu Pε ( x ) là phép chiếu Schauder thì:



9



1) Pε là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ Aε vào co ( A ) ⊆ C

2) x − Pε < ε , ∀ x ∈Aε

Chứng minh:



1) Sự liên tục của Pε được thấy trực tiếp (vì là phép chiếu). Chúng ta chứng

tỏ tính compact của Pε

∞



Gọi {Pε ( x m )}1 là một dãy trong Pε ( Aε ) với:

n



n



i =1



i =1



µ ( x ) = ∑ µi ( x ) ⇒ Pε ( x m ) = ∑



µ i ( x m ) ai

µ (x)



 µ (x ) µ (x )

µ (x ) 

n

Chú ý với mỗi m:  1 m , 2 m ,..., n m  ∈ [ 0,1]

µ ( xm ) 

 µ ( xm ) µ ( xm )

n



Vì [ 0,1] là tập compact và co(A) là một tập đóng, nên ta suy ra tính compact

của ánh xạ Pε .

2) Chú ý

n

1

1 n

x − Pε ( x ) =

µ ( x ) x − ∑ µ i ( x ) ai ≤

∑ µ ( x ) x − ai

µ (x)

µ ( x ) i=1 i

i =1



1 n

<

∑ µ ( x )ε = ε

µ ( x ) i =1 i



bởi vì µi ( x ) ≠ 0 nếu x-ai < ε

Đònh lí 1.3 (xấp xỉ Schauder)



C là tập lồi trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. Ánh xạ F : E → C là hoàn

toàn liên tục thì với mỗi ε > 0 có một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊂ F ( E ) ⊆ C và một

ánh xạ liên tục hữu hạn chiều Fε : E → C sao cho:

1) Fε ( x ) − F ( x ) < ε , ∀ x ∈E

2) Fε ( E ) ⊆ co ( A ) ⊆ C



10

Chứng minh:



Do F hoàn toàn liên tục nên F(E) chứa trong một tập compact K của C. Mà K bò

chặn hoàn toàn nên tồn tại một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊆ F ( E ) với F ( E ) ⊆ Aε

Goïi Pε : Aε → co ( A ) là phép chiếu Schauder và đònh nghóa ánh xaï

Fε : E → C

Fε ( x ) = Pε ( F ( x ) ) ,x ∈E theo đònh lí 1.2 ta có kết quả.

Đònh lí 1.4



Cho B là tập con đóng của không gian tuyến tính đònh chuẩn E. F : B → E là ánh

xạ hoàn toàn liên tục. Khi đó F có điểm bất động nếu F có điểm ε − cố đònh với

mỗi ε > 0

Chứng minh:



Giả sử F có điểm ε − cố đònh với mỗi ε > 0 . Với mỗi n = 1,2,…đặt bn là điểm

1/n _ cố đònh của F. Ta coù b n − F ( b n ) <



1

(*)

n



Do F compact suy ra F(B) chứa trong một tập compact K trong E do đó có một

dãy con các số tự nhiên S và x thuộc K sao cho : F ( x n ) → x∈K khi n → ∞ trong

S. Vì vậy (*) suy ra b n → x khi n → ∞ trong S vaø do B là tập đóng cho nên

x ∈B . Do F liên tục trên B suy ra F ( bn ) → F ( x ) .



Vậy ta có x − F ( x ) = 0 hay F có điểm bất động.

Đònh lí 1.5 (Schauder)



Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính đònh chuẩn E thì tất cả các

ánh xạ hoàn toàn liên tục F : C → C đều có ít nhất một điểm bất động.



11

Chứng minh:



Dùng đònh lí 1.4 với B = C = E chúng ta chứng minh F có ε − cố đònh với mỗi



ε > 0 . Cố đònh ε > 0 từ đònh lí 1.3 suy ra tồn tại một ánh xạ liên tục hữu hạn

chiều Fε : E → C với Fε ( x ) − F ( x ) < ε với x thuộc E và Fε ( C ) ⊆ co ( A ) ⊆ C ,

với A ⊆ C . Do co ( A ) đóng bò chặn và Fε ( co ( A ) ) ⊆ co ( A ) chúng ta có thể áp

dụng đònh lí 1.1 suy ra xε = Fε ( xε ) ,xε ∈ co ( A ) .

Vì vậy xε − F ( xε ) = Fε ( xε ) − F ( xε ) < ε

Đònh lí 1.6



Cho F,G ∈ K A ( X,C ) , giả sử với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] chúng ta coù:

tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a thì F ≅ G trong K A ( X,C ) .

Chứng minh:



Đặt H ( x,t ) = tG ( x ) + (1 − t ) F ( x ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] . H liên tục do F, G liên tục.

Trước hết ta chứng minh H : X × [ 0,1] → C là một ánh xạ compact.

Lấy một dãy bất kỳ ( x n ,t n ) ∈ X × [ 0,1] . Để không mất tính tổng quát ta có thể giả

sử t n → t ∈[ 0,1] khi n → ∞ . Do F vaø G compact nên có một dãy con S các số tự

nhiên và F(x), G(x) thuộc C sao cho: F ( x n ) → F ( x ) ,G ( x n ) → G ( x ) khi n → ∞

trong S, hơn nữa do C lồi nên ta coù H ( x n ,t n ) = t n G ( x n ) + (1 − t n ) F ( x n ) → H ( x,t )



khi n → ∞ trong S. Vậy H(x,t) là một phép đồng luân liên tục, compact.

Do tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] nên Ht là “fixed point free”.

Cuối cùng do H 0 = F,H1 = G neân F ≅ G trong K A ( X,C )

Đònh lí 1.7



(



)



Cho U là một tập con mở của một tập lồi C ⊆ E , U, ∂U là một cặp trong C.



( )



(



Khi đó với bất kỳ u 0 ∈ U thì ánh xạ hằng F U = u 0 là cốt yếu trong K ∂U U,C



)



12

Chứng minh:



Gọi G : U → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục với G ∂U = F ∂U = u0 . Chúng ta

chứng minh G có điểm bất động trên U. Đònh nghóa:

G ( x ) neá u x ∈ U

J(x) = 

 u 0 nế u x ∈ C\U

Dễ dàng chứng minh được J : C → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Từ đònh lí

1.5 suy ra J có điểm bất động u ∈ C . Kết hợp với J ( x ) = u 0 ∈ U với x ∈ C\U

chúng ta có u ∈ U , vì vaäy u = J ( u ) = G ( u ) vaø do G ∂U = u 0 do u ∈ U suy ra G có

điểm bất động u. Vậy F là cốt yếu.

Đònh lí 1.8



Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là một tập lồi trong không gian tuyến

tính đònh chuẩn E. Ta có các tính chất của F sau đây là tương đương:

1) F là không cốt yếu

2) Có một ánh xạ “fixed point free”



G ∈ K A ( X,C ) sao cho



F ≅ G trong K A ( X,C )



Chứng minh:

•1) ⇒ 2)



Goïi G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A laø “fixed point free” .

Ta



coù



tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a, ∀ ( a,t ) ∈ A × [ 0,1] .



Thật



vậy,



∃a ∈ A : tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) = a , do F A = G A ⇒ G ( a ) = a (mâu thuẫn).

Do đònh lí 1.6 ta suy ra F ≅ G trong K A ( X,C )

• 2) ⇒ 1)



giả



sử



13



Gọi H : X × [ 0,1] → C là một đồng luân hoàn toàn liên tục liên kết giữa G và F

sao cho H X × {t} là một “fixed point free” với mỗi t ∈ [ 0,1] .

Đặt B = {x : x = H ( x,t ) ,t ∈ [ 0,1]} .

Nếu B = ∅ thì với mỗi t ∈ [ 0,1] , Ht không có điểm bất động vì thế riêng F không

có điểm bất động suy ra F không cốt yếu.

Nếu B ≠ ∅ ta có A I B = ∅ .

B là tập đóng. Thật vậy, lấy x n ∈ B , tức là x n = H ( x n ,t n ) vaø x n → x ∈ X . Khi đó

tồn tại t ∈ [ 0,1] và một dãy con các số tự nhiên S sao cho t n → t khi n → ∞ trong

S. Do sự liên tục của H ta có x=H(x,t) suy ra x ∈ B . Vậy tập B đóng.

Ta đã có A, B là hai tập đóng rời nhau.Gọi λ : X → [ 0,1] là hàm Urysohn liên tục

với λ ( A ) = 1, λ ( B) = 0.

Đònh nghóa hàm J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] , ta có Jt là một ánh xạ hoàn

toàn liên tục. Ta chứng minh Jt là “fixed point free” và J t



A



= H t A ø . Thật vậy ta



chú ý J t ( x ) = x nghóa là H ( x, λ ( x ) t ) = x , suy ra x thuộc B, vì vậy



λ ( x ) = 0 vaø H ( x,0 ) = x , suy ra mâu thuẫn vì H 0 = G là“fixed point free”. Do

đó Jt là “fixed point free”.

Ta có nếu x ∈ A thì λ ( x ) = 1 vaø J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) = H ( x,t ) = H t ( x )

Vì vậy J t



A



= Ht A .



Đặt t = 1 suy ra Jt là ánh xạ hoàn toàn liên tục và là“fixed point free”, suy ra

F = H1 trên A. Vậy F không cốt yếu.



14

Đònh lí 1.9



Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là tập lồi trong không gian tuyến tính

đònh chuẩn E. Giả sử F và G là hai ánh xạ trong K A ( X,C ) sao cho:

F ≅ G trong K A ( X,C ) thì F cốt yếu nếu G cốt yếu.

Chứng minh:



Giả sử F là không cốt yếu, theo đònh lí 1.8 thì tồn tại một ánh xạ “fixed point

free” T ∈ K A ( X,C ) sao cho F ≅ T trong K A ( X,C ) . Do đó G ≅ T trong

K A ( X,C ) . Cũng theo đònh lí 1.8 ta suy ra G là không cốt yếu (mâu thuẫn giả

thiết).

Đònh lí 1.10 (Leray – Schauder)



Giả sử C là tập lồi trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. U là một tập con mở

của C, p* ∈ U thì tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : U → C đều có ít nhất



một trong hai tính chất sau:

1) F có điểm bất động.

2) ∃ x∈ ∂U sao cho x=λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , λ ∈ ( 0,1)

Chứng minh:



Chúng ta có thể giả sử F ∂U là “fixed point free” trong trường hợp 1) không xảy

ra

Đặt G : U → C là ánh xạ hằng u → p* .

Xét phép đồng luân hoàn toàn liên tục H t : U → C liên kết giữa G và F laø



H ( x,t ) = tF ( x ) + (1 − t ) p* .

Xét hai trường hợp:

i)



H(x,t) là “fixed point free” trên ∂U



ii)



H(x,t) không là “fixed point free” trên ∂U



15



Nếu trường hợp i) xảy ra thì từ đònh lí 1.7 và 1.9 suy ra F phải có điểm cố đònh.

Ngược lại nếu trường hợp ii) xảy ra thì:

∃ x ∈ ∂U : x = λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , với λ ∈ [ 0,1]



Ta có λ ≠ 0 vì p* ∉ ∂U và λ ≠ 1 vì F ∂U là “fixed point free”ø.

Đònh lý 1.11 (Ascoli – Arzela)



Cho X là không gian mêtric compact, ta kí hiệu CK ( X ) là tập hợp các hàm liên



{



}



tục f : X → K ( K = R,C ) với chuẩn y = sup f ( x ) ,x ∈ X .

Mệnh đề



Giả sử {fn } ⊂ CK ( X ) thỏa lim fn ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X và {fn } là liên tục đồng bậc.

n →∞



Khi đó f ∈ CK ( X ) và lim fn − f = 0 .

n →∞



Chứng minh:



Cho ε > 0 . Do



{fn }



là liên tục đồng bậc nên ta chọn δ > 0 thỏa ∀n ∈ N ,



∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì fn ( x ) − fn ( x ' ) <



f ( x ) − f ( x ') <



ε

3



ε

3



.



Cho



n→∞



. Suy ra f ∈ CK ( X ) .



Từ phủ {B ( x,δ ) : x ∈ X} lấy phủ hữu hạn {B ( x k ,δ ) , k = 1,2,...,m} .

Do lim fn ( x k ) = f ( x k ) , ∀k = 1,2,...,m nên:

n →∞



Tồn tại n1 sao cho với n > n1 thì fn ( x1 ) − f ( x1 ) <



ε



Tồn tại n2 sao cho với n > n 2 thì fn ( x 2 ) − f ( x 2 ) <



ε



3

3



…………………………

Tồn tại nm sao cho với n > n m thì fn ( x m ) − f ( x m ) <



ε

3



ta



được



16



Đặt n o = max {n1 ,n 2 ,...,n m } ta coù:

∀n ≥ n o suy ra fn ( x k ) − f ( x k ) <



Ta



coù



ε

3



, ∀k = 1,2,...,m



∀n ≥ n o , ∀x ∈ X suy ra tồn tại k=1,2,...,m sao cho d ( x,x k ) < δ



m





do

X=

B ( x k ,δ )  thì :

U



n=1







fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fn ( x k ) + fn ( x k ) − f ( x k ) + f ( x k ) − f ( x ) <



ε

3



+



ε

3



+



ε

3



=ε .



Đònh lý Ascoli – Arzela:



Tập A ⊂ CK ( X ) là compact tương đối khi và chỉ khi A bò chặn đều và A đẳng

liên tục.

Chứng minh:



Điều kiện cần: Cho ε > 0 . Do A là compact tương đối nên ta tìm được

n

 ε

f1 ,f2 ,...,fn ∈ CK ( X ) sao cho A ⊂ U B  fk ,  do {B ( f, ε )}f∈A ,A compact .

3

k =1 



(



)



ε





Đặt M = max  fk + : k = 1,n  ta coù f ≤ M, ∀f ∈ A

3







(



)



Do fk k = 1,n liên tục trên một tập compact nên liên tục đều. Nên có δ > 0 thoûa

∀k = 1,n, ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x ' ) < δ thì fk ( x ) − fk ( x ' ) <



ε

3



.



Với δ tìm được ta có: với mọi f ∈ A , ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x' ) < δ thì tồn tại k,



( k = 1,n ) :



f − fk <



ε

3



. Suy ra:



f ( x ) − f ( x' ) ≤ f ( x ) − fk ( x ) + fk ( x ) − fk ( x ' ) + fk ( x ' ) − f ( x ' ) < ε .

Vaäy A liên tục đồng bậc.

Điều kiện đủ: