1. Trang chủ >
  2. Luận Văn - Báo Cáo >
  3. Thạc sĩ - Cao học >

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (515.36 KB, 53 trang )


6

n



x ∈ Aε , ∃i o : x ∈ B aio , ε ⇒ ε − x − ai > 0 ⇒ µ io = ε − x − ai ≠ 0 ⇒ ∑ µ i ( x ) ≠ 0



(



)



i =1



Chú ý:

Pε ( Aε ) ⊂ co ( A ) do mỗi Pε ( x ) là tổ hợp tuyến tính của a1, a2,…,an

Đònh nghóa 1.2



Cho B là một tập của không gian tuyến tính đònh chuẩn E, F : B → E . Với mỗi



ε > 0 , b là một điểm trong B sao cho b − F ( b ) < ε thì b được gọi là điểm



ε − cố đònh của F.

Đònh nghóa 1.3



Cho C là tập lồi trong E. (X,A) là một cặp trong C, nghóa là X là tập con tùy ý

trong C và A là tập đóng trong X.



• Hai ánh xạ liên tục f,g : X → E được gọi là đồng luân nếu có một ánh xạ

liên tục H : X × [ 0,1] → E với H ( x,0 ) = f ( x ) vaø H ( x,1) = g ( x ) ,



∀x ∈X



• Ánh xạ H được gọi là đồng luân liên tục và ta viết H : f ≅ g . Với mỗi

t ∈ [ 0,1] ánh xạ x → H ( x,t ) được viết là H t : X → E .



• Chúng ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng luân là một quan hệ tương

đương.



• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là compact nếu nó là compact.

• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là “fixed point free” trên A ⊆ X nếu với

mỗi t ∈ [ 0,1] ánh xạ liên tục H A × {t} : A → E không có điểm bất động.



• Gọi K A ( X,C ) là tập hợp tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : X → C sao

cho thu heïp F A : A → C là “fixed point free” .



• Hai ánh xạ liên tục F,G ∈ K A ( X,C ) được gọi là đồng luân (ta viết F ≅ G )

trong



K A ( X,C )



nếu có một đồng luân liên tục



H : X × [ 0,1] → C



7



với H t ( u ) = H X × {t} : X → C, t ∈ [ 0,1]



“fixed



point



free”



trên



X







H 0 ( x ) = F ( x ) ,H1 ( x ) = G ( x ) .



• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là cốt yếu (essential) nếu tất cả các ánh

xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A có điểm cố đònh.



• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là không cốt yếu (inessential) nếu tồn tại

ánh xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A la ø“fixed point free”.

Đònh nghóa 1.4



Tập A ⊂ CK ( X ) được gọi là liên tục đồng bậc nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f ∈ A, ∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì f ( x ) − f ( x ' ) < ε .



Đònh nghóa 1.5



Hàm số pf : [ 0,1] × R 2 → R được gọi là hàm L1 – Caratheodory nếu:



i) t → p ( t ) f ( t,y,q ) là đo được, ∀ ( y,q ) ∈ R 2

ii) ( y,q ) → p ( t ) f ( t,y,q ) lieân tục hầu khắp nơi t ∈ [ 0,1]

iii) Với bất kỳ r>0, tồn tại h r ∈ L1 [ 0,1] sao cho p ( t ) f ( t,y,q ) ≤ h r ( t ) , hầu khắp nơi

t ∈ [ 0,1] và với mọi y ≤ r, q ≤ r

Đònh nghóa 1.6



Lnp [ a, b] ,n ∈ N* là không gian các hàm u thỏa:







b



a



n



p u ( t ) dt < ∞



Đònh nghóa 1.7



Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a,b] ( f ∈ AC [ a, b]) nếu với mỗi

n



n



i=1



i=1



ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∑ bi − ai < δ thì ∑ f(bi ) − f(ai ) < ε , đúng cho moïi hoï



{( a , b ) ;i = 1,n} các khoảng không giao nhau.

i



i



8

Đònh nghóa 1.8



Giả sử hệ hàm y1 ( x ) ,y 2 ( x ) ,...,y n ( x ) khả vi n -1 lần trên (a,b), khi đó đònh thức

Wronski được xác đònh như sau:



y1 ( x )

y1' ( x )

W ( y1 ,y 2 ,...,y n ) ≡ W ( x ) =

...

n −1)



y1(



(x)



y2 ( x )

y'2 ( x )

...

n −1)



y(2



(x)



...

...

...



yn ( x )

y'n ( x )

...

n −1)



... y(n



(x)



W ( x ) ≠ 0 tại một x ∈ ( a,b ) thì hệ hàm độc lập tuyến tính

W ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b ) thì hệ hàm phụ thuộc tuyến tính.

Đònh nghóa 1.9



Cho B, D là hai tập đóng rời nhau trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. Khi

đó tồn tại một hàm liên tục λ : E → [ 0,1] gọi là hàm liên tục Urysohn sao cho:



 d ( x,B) 

,1 ,x ∉ D

min 

0 ,x ∈ B

. Hay nói cách khác λ ( x ) = 

λ (x) = 

 d ( x,D ) 

1 ,x ∈ D



,x ∈ D

1

với d ( x,B) = min { x − y ,y ∈ B}



1.2.



Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dò

1.2.1. Các đònh lí cơ bản:

Đònh lí 1.1 (Brouwer)



En là không gian tuyến tính đònh chuẩn hữu hạn chiều. C là tập đóng, bò chặn

trong En thì tất cả các ánh xạ f : C → C liên tục đều có điểm bất động.

Đònh lí 1.2



Cho A ⊆ C ⊆ E với A= {a1 ,a2 ,...,an } ; C là tập lồi trong không gian tuyến tính

đònh chuẩn E. Nếu Pε ( x ) là phép chiếu Schauder thì:



9



1) Pε là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ Aε vào co ( A ) ⊆ C

2) x − Pε < ε , ∀ x ∈Aε

Chứng minh:



1) Sự liên tục của Pε được thấy trực tiếp (vì là phép chiếu). Chúng ta chứng

tỏ tính compact của Pε





Gọi {Pε ( x m )}1 là một dãy trong Pε ( Aε ) với:

n



n



i =1



i =1



µ ( x ) = ∑ µi ( x ) ⇒ Pε ( x m ) = ∑



µ i ( x m ) ai

µ (x)



 µ (x ) µ (x )

µ (x ) 

n

Chú ý với mỗi m:  1 m , 2 m ,..., n m  ∈ [ 0,1]

µ ( xm ) 

 µ ( xm ) µ ( xm )

n



Vì [ 0,1] là tập compact và co(A) là một tập đóng, nên ta suy ra tính compact

của ánh xạ Pε .

2) Chú ý

n

1

1 n

x − Pε ( x ) =

µ ( x ) x − ∑ µ i ( x ) ai ≤

∑ µ ( x ) x − ai

µ (x)

µ ( x ) i=1 i

i =1



1 n

<

∑ µ ( x )ε = ε

µ ( x ) i =1 i



bởi vì µi ( x ) ≠ 0 nếu x-ai < ε

Đònh lí 1.3 (xấp xỉ Schauder)



C là tập lồi trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. Ánh xạ F : E → C là hoàn

toàn liên tục thì với mỗi ε > 0 có một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊂ F ( E ) ⊆ C và một

ánh xạ liên tục hữu hạn chiều Fε : E → C sao cho:

1) Fε ( x ) − F ( x ) < ε , ∀ x ∈E

2) Fε ( E ) ⊆ co ( A ) ⊆ C



10

Chứng minh:



Do F hoàn toàn liên tục nên F(E) chứa trong một tập compact K của C. Mà K bò

chặn hoàn toàn nên tồn tại một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊆ F ( E ) với F ( E ) ⊆ Aε

Goïi Pε : Aε → co ( A ) là phép chiếu Schauder và đònh nghóa ánh xaï

Fε : E → C

Fε ( x ) = Pε ( F ( x ) ) ,x ∈E theo đònh lí 1.2 ta có kết quả.

Đònh lí 1.4



Cho B là tập con đóng của không gian tuyến tính đònh chuẩn E. F : B → E là ánh

xạ hoàn toàn liên tục. Khi đó F có điểm bất động nếu F có điểm ε − cố đònh với

mỗi ε > 0

Chứng minh:



Giả sử F có điểm ε − cố đònh với mỗi ε > 0 . Với mỗi n = 1,2,…đặt bn là điểm

1/n _ cố đònh của F. Ta coù b n − F ( b n ) <



1

(*)

n



Do F compact suy ra F(B) chứa trong một tập compact K trong E do đó có một

dãy con các số tự nhiên S và x thuộc K sao cho : F ( x n ) → x∈K khi n → ∞ trong

S. Vì vậy (*) suy ra b n → x khi n → ∞ trong S vaø do B là tập đóng cho nên

x ∈B . Do F liên tục trên B suy ra F ( bn ) → F ( x ) .



Vậy ta có x − F ( x ) = 0 hay F có điểm bất động.

Đònh lí 1.5 (Schauder)



Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính đònh chuẩn E thì tất cả các

ánh xạ hoàn toàn liên tục F : C → C đều có ít nhất một điểm bất động.



11

Chứng minh:



Dùng đònh lí 1.4 với B = C = E chúng ta chứng minh F có ε − cố đònh với mỗi



ε > 0 . Cố đònh ε > 0 từ đònh lí 1.3 suy ra tồn tại một ánh xạ liên tục hữu hạn

chiều Fε : E → C với Fε ( x ) − F ( x ) < ε với x thuộc E và Fε ( C ) ⊆ co ( A ) ⊆ C ,

với A ⊆ C . Do co ( A ) đóng bò chặn và Fε ( co ( A ) ) ⊆ co ( A ) chúng ta có thể áp

dụng đònh lí 1.1 suy ra xε = Fε ( xε ) ,xε ∈ co ( A ) .

Vì vậy xε − F ( xε ) = Fε ( xε ) − F ( xε ) < ε

Đònh lí 1.6



Cho F,G ∈ K A ( X,C ) , giả sử với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] chúng ta coù:

tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a thì F ≅ G trong K A ( X,C ) .

Chứng minh:



Đặt H ( x,t ) = tG ( x ) + (1 − t ) F ( x ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] . H liên tục do F, G liên tục.

Trước hết ta chứng minh H : X × [ 0,1] → C là một ánh xạ compact.

Lấy một dãy bất kỳ ( x n ,t n ) ∈ X × [ 0,1] . Để không mất tính tổng quát ta có thể giả

sử t n → t ∈[ 0,1] khi n → ∞ . Do F vaø G compact nên có một dãy con S các số tự

nhiên và F(x), G(x) thuộc C sao cho: F ( x n ) → F ( x ) ,G ( x n ) → G ( x ) khi n → ∞

trong S, hơn nữa do C lồi nên ta coù H ( x n ,t n ) = t n G ( x n ) + (1 − t n ) F ( x n ) → H ( x,t )



khi n → ∞ trong S. Vậy H(x,t) là một phép đồng luân liên tục, compact.

Do tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] nên Ht là “fixed point free”.

Cuối cùng do H 0 = F,H1 = G neân F ≅ G trong K A ( X,C )

Đònh lí 1.7



(



)



Cho U là một tập con mở của một tập lồi C ⊆ E , U, ∂U là một cặp trong C.



( )



(



Khi đó với bất kỳ u 0 ∈ U thì ánh xạ hằng F U = u 0 là cốt yếu trong K ∂U U,C



)



12

Chứng minh:



Gọi G : U → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục với G ∂U = F ∂U = u0 . Chúng ta

chứng minh G có điểm bất động trên U. Đònh nghóa:

G ( x ) neá u x ∈ U

J(x) = 

 u 0 nế u x ∈ C\U

Dễ dàng chứng minh được J : C → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Từ đònh lí

1.5 suy ra J có điểm bất động u ∈ C . Kết hợp với J ( x ) = u 0 ∈ U với x ∈ C\U

chúng ta có u ∈ U , vì vaäy u = J ( u ) = G ( u ) vaø do G ∂U = u 0 do u ∈ U suy ra G có

điểm bất động u. Vậy F là cốt yếu.

Đònh lí 1.8



Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là một tập lồi trong không gian tuyến

tính đònh chuẩn E. Ta có các tính chất của F sau đây là tương đương:

1) F là không cốt yếu

2) Có một ánh xạ “fixed point free”



G ∈ K A ( X,C ) sao cho



F ≅ G trong K A ( X,C )



Chứng minh:

•1) ⇒ 2)



Goïi G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A laø “fixed point free” .

Ta



coù



tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a, ∀ ( a,t ) ∈ A × [ 0,1] .



Thật



vậy,



∃a ∈ A : tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) = a , do F A = G A ⇒ G ( a ) = a (mâu thuẫn).

Do đònh lí 1.6 ta suy ra F ≅ G trong K A ( X,C )

• 2) ⇒ 1)



giả



sử



13



Gọi H : X × [ 0,1] → C là một đồng luân hoàn toàn liên tục liên kết giữa G và F

sao cho H X × {t} là một “fixed point free” với mỗi t ∈ [ 0,1] .

Đặt B = {x : x = H ( x,t ) ,t ∈ [ 0,1]} .

Nếu B = ∅ thì với mỗi t ∈ [ 0,1] , Ht không có điểm bất động vì thế riêng F không

có điểm bất động suy ra F không cốt yếu.

Nếu B ≠ ∅ ta có A I B = ∅ .

B là tập đóng. Thật vậy, lấy x n ∈ B , tức là x n = H ( x n ,t n ) vaø x n → x ∈ X . Khi đó

tồn tại t ∈ [ 0,1] và một dãy con các số tự nhiên S sao cho t n → t khi n → ∞ trong

S. Do sự liên tục của H ta có x=H(x,t) suy ra x ∈ B . Vậy tập B đóng.

Ta đã có A, B là hai tập đóng rời nhau.Gọi λ : X → [ 0,1] là hàm Urysohn liên tục

với λ ( A ) = 1, λ ( B) = 0.

Đònh nghóa hàm J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] , ta có Jt là một ánh xạ hoàn

toàn liên tục. Ta chứng minh Jt là “fixed point free” và J t



A



= H t A ø . Thật vậy ta



chú ý J t ( x ) = x nghóa là H ( x, λ ( x ) t ) = x , suy ra x thuộc B, vì vậy



λ ( x ) = 0 vaø H ( x,0 ) = x , suy ra mâu thuẫn vì H 0 = G là“fixed point free”. Do

đó Jt là “fixed point free”.

Ta có nếu x ∈ A thì λ ( x ) = 1 vaø J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) = H ( x,t ) = H t ( x )

Vì vậy J t



A



= Ht A .



Đặt t = 1 suy ra Jt là ánh xạ hoàn toàn liên tục và là“fixed point free”, suy ra

F = H1 trên A. Vậy F không cốt yếu.



14

Đònh lí 1.9



Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là tập lồi trong không gian tuyến tính

đònh chuẩn E. Giả sử F và G là hai ánh xạ trong K A ( X,C ) sao cho:

F ≅ G trong K A ( X,C ) thì F cốt yếu nếu G cốt yếu.

Chứng minh:



Giả sử F là không cốt yếu, theo đònh lí 1.8 thì tồn tại một ánh xạ “fixed point

free” T ∈ K A ( X,C ) sao cho F ≅ T trong K A ( X,C ) . Do đó G ≅ T trong

K A ( X,C ) . Cũng theo đònh lí 1.8 ta suy ra G là không cốt yếu (mâu thuẫn giả

thiết).

Đònh lí 1.10 (Leray – Schauder)



Giả sử C là tập lồi trong không gian tuyến tính đònh chuẩn E. U là một tập con mở

của C, p* ∈ U thì tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : U → C đều có ít nhất



một trong hai tính chất sau:

1) F có điểm bất động.

2) ∃ x∈ ∂U sao cho x=λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , λ ∈ ( 0,1)

Chứng minh:



Chúng ta có thể giả sử F ∂U là “fixed point free” trong trường hợp 1) không xảy

ra

Đặt G : U → C là ánh xạ hằng u → p* .

Xét phép đồng luân hoàn toàn liên tục H t : U → C liên kết giữa G và F laø



H ( x,t ) = tF ( x ) + (1 − t ) p* .

Xét hai trường hợp:

i)



H(x,t) là “fixed point free” trên ∂U



ii)



H(x,t) không là “fixed point free” trên ∂U



15



Nếu trường hợp i) xảy ra thì từ đònh lí 1.7 và 1.9 suy ra F phải có điểm cố đònh.

Ngược lại nếu trường hợp ii) xảy ra thì:

∃ x ∈ ∂U : x = λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , với λ ∈ [ 0,1]



Ta có λ ≠ 0 vì p* ∉ ∂U và λ ≠ 1 vì F ∂U là “fixed point free”ø.

Đònh lý 1.11 (Ascoli – Arzela)



Cho X là không gian mêtric compact, ta kí hiệu CK ( X ) là tập hợp các hàm liên



{



}



tục f : X → K ( K = R,C ) với chuẩn y = sup f ( x ) ,x ∈ X .

Mệnh đề



Giả sử {fn } ⊂ CK ( X ) thỏa lim fn ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X và {fn } là liên tục đồng bậc.

n →∞



Khi đó f ∈ CK ( X ) và lim fn − f = 0 .

n →∞



Chứng minh:



Cho ε > 0 . Do



{fn }



là liên tục đồng bậc nên ta chọn δ > 0 thỏa ∀n ∈ N ,



∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ thì fn ( x ) − fn ( x ' ) <



f ( x ) − f ( x ') <



ε

3



ε

3



.



Cho



n→∞



. Suy ra f ∈ CK ( X ) .



Từ phủ {B ( x,δ ) : x ∈ X} lấy phủ hữu hạn {B ( x k ,δ ) , k = 1,2,...,m} .

Do lim fn ( x k ) = f ( x k ) , ∀k = 1,2,...,m nên:

n →∞



Tồn tại n1 sao cho với n > n1 thì fn ( x1 ) − f ( x1 ) <



ε



Tồn tại n2 sao cho với n > n 2 thì fn ( x 2 ) − f ( x 2 ) <



ε



3

3



…………………………

Tồn tại nm sao cho với n > n m thì fn ( x m ) − f ( x m ) <



ε

3



ta



được



16



Đặt n o = max {n1 ,n 2 ,...,n m } ta coù:

∀n ≥ n o suy ra fn ( x k ) − f ( x k ) <



Ta



coù



ε

3



, ∀k = 1,2,...,m



∀n ≥ n o , ∀x ∈ X suy ra tồn tại k=1,2,...,m sao cho d ( x,x k ) < δ



m





do

X=

B ( x k ,δ )  thì :

U



n=1







fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fn ( x k ) + fn ( x k ) − f ( x k ) + f ( x k ) − f ( x ) <



ε

3



+



ε

3



+



ε

3



=ε .



Đònh lý Ascoli – Arzela:



Tập A ⊂ CK ( X ) là compact tương đối khi và chỉ khi A bò chặn đều và A đẳng

liên tục.

Chứng minh:



Điều kiện cần: Cho ε > 0 . Do A là compact tương đối nên ta tìm được

n

 ε

f1 ,f2 ,...,fn ∈ CK ( X ) sao cho A ⊂ U B  fk ,  do {B ( f, ε )}f∈A ,A compact .

3

k =1 



(



)



ε





Đặt M = max  fk + : k = 1,n  ta coù f ≤ M, ∀f ∈ A

3







(



)



Do fk k = 1,n liên tục trên một tập compact nên liên tục đều. Nên có δ > 0 thoûa

∀k = 1,n, ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x ' ) < δ thì fk ( x ) − fk ( x ' ) <



ε

3



.



Với δ tìm được ta có: với mọi f ∈ A , ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x' ) < δ thì tồn tại k,



( k = 1,n ) :



f − fk <



ε

3



. Suy ra:



f ( x ) − f ( x' ) ≤ f ( x ) − fk ( x ) + fk ( x ) − fk ( x ' ) + fk ( x ' ) − f ( x ' ) < ε .

Vaäy A liên tục đồng bậc.

Điều kiện đủ:



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (53 trang)

×