Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Hình học 11 - Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Hình học 11 - Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Tải bản đầy đủ - 0trang

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



Lời giải.

Ta có SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC).



Do đó (SC, (ABC)) = (SC, AC) = SCA.







Tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 và BC = a nên AC = AB 2 + BC 2 = 4a2 = 2a.

’ = 45◦ .

Do đó tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA

Vậy (SC, (ABC)) = 45◦ .

Chọn đáp án B

Câu 50 (THQG 2019-Mã đề 101).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên



S



SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt

phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt

phẳng √

(SBD) bằng √

21a

21a

A.

.

B.

.

14

7





2a

C.

.

2





D.



A



21a

.

28



D



B



C



Lời giải.

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, SH ⊥ (ABCD).



S



Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra AC ⊥ BD. Kẻ HK ⊥ BD

tại K (K là trung điểm BO ).

Kẻ HI ⊥ SH tại I. Khi đó: d(A,√(SBD)) = 2d(H, (SBD))

√ = 2HI.

1

a 2

a 3

, HK = AO =

.

Xét tam giác SHK, có: SH =

2

2 √

4

1

1

1

28

a 21

Khi đó:

=

+

= 2 ⇒ HI =

.

2

2

2

HI

SH

HK

3a

14



a 21

Suy ra: d(A, (SBD)) = 2HI =

.

7



I

H

B



A

K



D

O

C



Chọn đáp án B



Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



17



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



ĐÁP ÁN

1. C

11. C



2. A

12. B



3. C

13. A



4. C

14. C



5. B

15. A



6. D

16. A



7. D

17. D



8. B

18. A



9. B

19. B



10. B

20. A



21. A



22. B



23. B



24. C



25. B



26. C



27. C



28. A



29. A



30. C



31. A



32. A



33. C



34. A



35. B



36. D



37. C



38. B



39. C



40. B



41. C



42. B



43. C



44. C



45. A



46. C



47. C



48. D



49. B



50. B



Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



18



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



2



Tồn cảnh đề thi THQG



Mã đề 102



NỘI DUNG ĐỀ

2.1



Giải tích 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số



Câu 1 (THQG 2019-Mã đề 102).

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong



y



hình vẽ bên

A. y = −x4 + 2x2 + 1.

C. y = x3 − 3x + 1.



B. y = −x3 + 3x + 1.

D. y = x4 − 2x2 + 1.



x



O



Lời giải.

Trong bốn hàm số đã cho thì chỉ có hàm số y = −x3 + 3x + 1 (hàm số đa thức bậc ba với hệ số a < 0

) có dạng đồ thị như đường cong trong hình.

Chọn đáp án B

Câu 2 (THQG 2019-Mã đề 102). Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

x



−∞



−2





y



0



0

+



0



+∞



+∞



2





0



+

+∞



3



y

1



1



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. (0; +∞).

B. (0; 2).

C. (−2; 0).



D. (−∞; −2).



Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy ra trên khoảng (−2; 0) hàm số đồng biến.

Chọn đáp án C

Câu 3 (THQG 2019-Mã đề 102). Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

x



−∞



1





y



+∞



3

+



0



+∞



0







2



y

−2

Hàm số đạt cực đại tại

A. x = 2.



−∞



B. x = −2.



C. x = 3.



D. x = 1.



Lời giải.

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



19



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 3.

Chọn đáp án C

Câu 4 (THQG 2019-Mã đề 102). Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 − 3x + 2 trên đoạn

[−3; 3] bằng

A. 20.



B. 4.



D. −16.



C. 0.



Lời giải.

f (x) = 3x2 − 3; f (x) = 0 ⇔ x = ±1 ∈ [−3; 3].

Ta có f (−3) = −16; f (−1) = 4; f (1) = 0; f (3) = 20.

⇒ min f (x) = −16.

[−3;3]



Chọn đáp án D

Câu 5 (THQG 2019-Mã đề 102). Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 2)2 , ∀x ∈ R.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2.



B. 1.



C. 0.



D. 3.



Lời giải.

Ta có f (x) = 0 ⇔ x(x − 2)2 = 0 ⇔



x=0

x−2=0







x=0

x = 2.



Bảng biến thiên

−∞



x



0





f (x)



+∞



2

+



0



0



+



+∞



+∞



f (x)



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị x = 0.

Chọn đáp án B

Câu 6. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau

x



−∞



−2





f (x)



0



0

+



0



+∞



+∞



2





0



+

+∞



2



f (x)

−1



−1



Số nghiệm thực của phương trình 3f (x) − 5 = 0 là

A. 2.



B. 3.



C. 4.



D. 0.



Lời giải.

5

Xét phương trình 3f (x) − 5 = 0 ⇔ f (x) = .

3

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) và đường thẳng

5

d: y = .

3

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



20



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt nên phương

trình 3f (x) − 5 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án C

Câu 7. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau

−∞



x



0





f (x)



+∞



1





+



0



2



0



+∞



f (x)

−2



−∞



Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 3.

Lời giải.



B. 1.



C. 2.



D. 4.



Từ bảng biến thiên đã cho ta có

lim f (x) = 0 nên đường thẳng y = 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.



x→−∞



lim f (x) = −∞ nên đường thẳng x = 0 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.



x→0−



Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 8. Cho hàm số f (x) có bảng dấu f (x) như sau

x



−∞



−3





f (x)



0



−1

+



0



+∞



1





0



+



Hàm số y = f (5 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2; 3).



B. (0; 2).



C. (3; 5).



D. (5; +∞).



Lời giải.

Từ bảng xét dấu f (x) ta thấy rằng hàm số y = f (x) có xác định và có đạo hàm trên R, suy ra hàm

số y = f (5 − 2x) có xác định và có đạo hàm trên R.

Hàm số y = f (5 − 2x) có y = −2f (5 − 2x), ∀x ∈ R.

y ≤ 0 ⇔ f (5 − 2x) ≥ 0 ⇔



− 3 ≤ 5 − 2x ≤ −1

5 − 2x ≥ 1







3≤x≤4

x ≤ 2.



Vậy hàm số y = f (5−2x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (3; 4). Suy ra hàm số y = f (5−2x)

nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Chọn đáp án B

Câu 9.

Cho hàm số f (x), hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình



y

1



vẽ. Bất phương trình f (x) > x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với

mọi x ∈ (0; 2) khi và chỉ khi

A. m ≤ f (2) − 2.

C. m ≤ f (0).



B. m < f (2) − 2.

D. m < f (0).



Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



21



O



2 x



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



Lời giải.

Xét bất phương trình f (x) > x + m ⇔ m < f (x) − x.



y



Xét hàm số g(x) = f (x) − x với x ∈ (0; 2). Ta có g (x) = f (x) − 1.



1



g (x) = 0 ⇔ f (x) = 1.

Từ đồ thị ta thấy trên (0; 2) đường thẳng y = 1 nằm phía trên đồ thị hàm



2 x



O



số y = f (x) nên f (x) < 1, ∀x ∈ (0; 2) hay g (x) < 0, ∀x ∈ (0; 2).

Ta có bảng biến thiên như sau

x



0



2





g (x)

g(0)

g(x)



g(2)



Từ bảng biến thiên ta thấy bất phương trình f (x) > x + m nghiệm đúng với mọi x ∈ (0; 2) khi và

chỉ khi m < g(x) với ∀x ∈ (0; 2) ⇔ m ≤ g(2) ⇔ m ≤ f (2) − 2.

Chọn đáp án A

Câu 10.

Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm

1

thực của phương trình |f (x3 − 3x)| = là

2

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 3.



y



2



−2



O



2



x



−1



Lời giải.



1

(1)

f (x3 − 3x) =

1



2

Ta có |f (x3 − 3x)| = ⇔ 

1

2

f (x3 − 3x) = −

(2).

2

Từ đồ thị ta có

y



2



y=

−2



O



2



x

y=−



−1



 3

x − 3x = α1



1

3

(1) ⇔ f (x3 − 3x) = ⇔ 

x − 3x = α2

2

x3 − 3x = α3

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



1

2



1

2



(−2 < α1 < 0)

(0 < α2 < 2)

(α3 > 2) .

22



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/







x3 − 3x = α4



−∞



−1



Toàn cảnh đề thi THQG



(α4 < −2)



1

3

(2) ⇔ f (x3 − 3x) = − ⇔ 

x − 3x = α5 (α5 > 2)

2

x3 − 3x = α6 (α6 > 2) .

Xét hàm số y = x3 − 3x xác định trên R và có y = 3x2 − 3. Ta có bảng biến thiên

x

f (x)



+



+∞



1





0



0



+

+∞



2

f (x)

−∞



−2



Dựa vào bảng biến thiên ta có

Phương trình x3 − 3x = α1 có 3 nghiệm.

Phương trình x3 − 3x = α2 có 3 nghiệm.

Mỗi phương trình x3 − 3x = α3 , x3 − 3x = α4 , x3 − 3x = α5 , x3 − 3x = α6 đều có một nghiệm.

1

Từ đó suy ra phương trình |f (x3 − 3x)| = có 10 nghiệm.

2

Chọn đáp án B

Câu 11. Cho hàm số f (x), bảng biến thiên của hàm số f (x) như hình vẽ bên dưới

x



−∞



−1



0



+∞



1



+∞

+∞



2



f (x)

−3



−1



Số điểm cực trị của hàm số y = f (x2 + 2x) là

A. 3.



B. 9.



C. 5.



D. 7.



Lời giải.



2x + 2 = 0

 2

x + 2x = a, a < −1



 2

2

Ta có y = (2x + 2)f (x + 2x) = 0 ⇔ 

x + 2x = b, − 1 < b < 0

 2

x + 2x = c, 0 < c < 1





x2 + 2x = d, d > 1.

Xét hàm số g(x) = x2 + 2x xác định trên R, có y = 2x + 2, ta có bảng biến thiên như hình vẽ.

x



−∞



−1





g (x)



0



+∞



+∞

+

+∞



g(x)

−1

Dựa vào bảng biến thiên ta được y = 0 có 7 nghiệm đơn nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Chọn đáp án D

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



23



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Toàn cảnh đề thi THQG



x

x+1 x+2 x+3

+

+

+

và y = |x + 1| − x + m (m là tham số

x+1 x+2 x+3 x+4

thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ). Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau



Câu 12. Cho hai hàm số y =

tại đúng 4 điểm phân biệt là

A. (3; +∞).



B. (−∞; 3].



C. (−∞; 3).



D. [3; +∞).



Lời giải. 



x = −1









x = −2

Điều kiện



x = −3











x = −4.

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm

x

x+1 x+2 x+3

+

+

+

= |x + 1| − x + m

x + 1 x +ã2 Å x + 3 xã+ 4 Å

ã Å

ã

Å

1

1

1

1

+ 1−

+ 1−

+ 1−

= |x − 1| − x + m



1−

x+1

x+2

x+3

x+4

Å

ã

1

1

1

1

⇔ x − |x + 1| + 4 −

+

+

+

= m (∗).

x+1 x+2 x+3 x+4

Đặt D1 = (−1; +∞) và D2 = (−∞; −4) ∪ (−4; −3) ∪ (−3; −2) ∪ (−2; −1), ta có

ã

Å



1

1

1

1

khi x ∈ D1

3 − x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = m

Å

ã

(∗) ⇔ 



1

1

1

1

2x + 5 −

+

+

+

= m khi x ∈ D2 .

x+1 x+2 x+3 x+4

Å

ã



1

1

1

1





+

+

+

khi x ∈ D1

3 −

x+1 x+2 x+3 x+4

Å

ã

Đặt f (x) =

1

1

1

1





2x + 5 −

khi x ∈ D2 .

+

+

+

x+1 x+2 x+3 x+4



1

1

1

1





khi x ∈ D1

 (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2

Có f (x) =

1

1

1

1





+

+

+

khi x ∈ D2 .

2 +

2

2

2

(x + 1)

(x + 2)

(x + 3)

(x + 4)2

Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, ta có bảng biến thiên như hình vẽ

x



−∞



−4

+



f (x)



−3



−2



+

+∞



+

+∞



−1

+



+∞



+∞

+



+∞



3



f (x)

−∞



−∞



−∞



−∞



−∞



Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì m ≥ 3 ⇒ m ∈ [3; +∞).

Chọn đáp án D

2.2



Giải tích 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit



Câu 13 (THQG 2019-Mã đề 102). Với a là số thực dương tùy ý, log5 a3 bằng

1

1

A. log5 a.

B. + log5 a.

C. 3 + log5 a.

D. 3 log5 a.

3

3

Lời giải.

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



24



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



log5 a3 = 3 log5 a.

Chọn đáp án D

Câu 14 (THQG 2019-Mã đề 102). Nghiệm của phương trình 32x+1 = 27 là

A. 2.



B. 1.



C. 5.



D. 4.



Lời giải.

Ta có 32x+1 = 27 ⇔ 32x+1 = 33 ⇔ 2x + 1 = 3 ⇔ x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 15 (THQG 2019-Mã đề 102). Nghiệm của phương trình log2 (x+1) = 1+log2 (x−1) là

B. x = −2.



A. x = 1.



C. x = 3.



D. x = 2.



Lời giải.

x > −1



⇔ x > 1.

x>1

Phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện:



log2 (x + 1) = 1 + log2 (x − 1) ⇔ log2 (x + 1) = log2 [2 · (x − 1)] ⇔ x + 1 = 2x − 2 ⇔ x = 3.

Chọn đáp án C

Câu 16. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3 b2 = 32. Giá trị của 3 log2 a+2 log2 b bằng

A. 5.



B. 2.



C. 32.



D. 4.



Lời giải.

Ta có: log2 a3 b2 = log2 32 ⇔ 3 log2 a + 2 log2 b = 5.

Chọn đáp án A

Câu 17. Hàm số y = 3x

x2 −3x



A. (2x − 3) · 3

2



2 −3x



2 −3x



B. 3x



.



x2 −3x−1



C. (x − 3x) · 3



có đạo hàm là

· ln 3.



D. (2x − 3) · 3x



.



2 −3x



· ln 3.



Lời giải.

Ä 2 ä

2

Ta có: y = 3x −3x = (2x − 3) · 3x −3x · ln 3.

Chọn đáp án D

Câu 18. Cho phương trình log9 x2 − log3 (6x − 1) = − log3 m (m là tham số thực). Có tất cả bao

nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 6.



B. 5.



D. 7.



C. Vơ số.



Lời giải.

Xét phươngtrình log9 x2 − log3 (6x − 1) = − log3 m.

x > 1

6

Điều kiện:



m > 0.

log9 x2 − log3 (6x − 1) = − log3 m

⇔ log3 x + log3 m = log3 (6x − 1)

⇔ mx = 6x − 1 ⇔ x(6 − m) = 1



(1)



• Với m = 6, phương trình (1) trở thành 0 = 1 (vơ lý).

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



25



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG



• Với m = 6, phương trình (1) có nghiệm x =



1

nên

6−m



1

1

1

1

m

> ⇔

− >0⇔

> 0 ⇔ 0 < m < 6 (thỏa mãn).

6−m

6

6−m 6

6−m

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn đáp án B



Câu 19. Cho phương trình 2 log22 x − 3 log2 x − 2 3x − m = 0 (m là tham số thực). Có tất cả

bao nhiêu giá trị ngun dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 79.



B. 80.



C. vô số.



D. 81.



Lời giải.

Điều kiện



x>0



x>0











x>0



3x − m ≥ 0

3x ≥ m

x ≥ log3 m

TH1: Với m = 1, phương trình trở thành



.





2 log22 x − 3 log2 x − 2 = 0

x

x − 3 log2 x − 2 3 − 1 = 0 ⇔

3x − 1 = 0







x=4

log2 x = 2



x=4





1

1







x

=

⇔  log2 x = − ⇔ 





1





2

2

x= √ .



2

3x = 1

x=0

2 log22



Vậy nhận giá trị m = 1.

TH2: Với m > 1, phương trình trở thành



2 log22 x − 3 log2 x − 2 = 0

x

x − 3 log2 x − 2 3 − m = 0 ⇔

3x − m = 0





x=4

log2 x = 2







1

1



x= √

⇔  log2 x = − ⇔ 





2

2



x

3 =m

x = log3 m.

2 log22



√1

1

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi √ ≤ log3 m < 4 ⇔ 3 2 ≤ m < 34 .

2

Mà m > 1 nên ta có m ∈ {3, 4, . . . , 80}, có 78 giá trị của m.



Vậy có 79 giá trị ngun dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án A

2.3



Giải tích 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng



Câu 20 (THQG 2019-Mã đề 102). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là

A. x2 + 6x + C.



B. 2x2 + C.



C. 2x2 + 6x + C.



D. x2 + C.



Lời giải.

(2x + 6) dx = x2 + 6x + C.

Chọn đáp án A

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



26



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/



Tồn cảnh đề thi THQG

1



1



g(x) dx = −4. Khi đó



f (x) dx = 3 và



Câu 21 (THQG 2019-Mã đề 102). Biết tích phân

0



0



1



[f (x) + g(x)] dx bằng

0



A. −7.



C. −1.



B. 7.



D. 1.



Lời giải.

1



1



[f (x) + g(x)] dx =



Ta có

0



1



g(x) dx = 3 + (−4) = −1.



f (x) dx +

0



0



Chọn đáp án C

Câu 22. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f (x), y = 0, x = −1 và x = 5 (như hình vẽ sau). Mệnh đề nào sau đây đúng?

1



A. S =



5



f (x) dx +

−1

1



f (x) dx.

1

5



f (x) dx −



B. S =



y



−1



−1



f (x) dx.



1



x



5



f (x) dx +



−1

1



D. S = −



5



O



1



C. S = −



1



f (x) dx.

1

5



f (x) dx −



−1



f (x) dx.

1



Lời giải.

1



5



|f (x)| dx =



|f (x)| dx +



Ta có: S =

−1



1



5



f (x) dx −

−1



1



f (x) dx.

1



Chọn đáp án B

π

4



Câu 23. Cho hàm số f (x). Biết f (0) = 4 và f (x) = 2 cos2 x+3, ∀x ∈ R, khi đó



f (x) dx bằng?

0



π2 + 2

A.

.

8

Lời giải.



π 2 + 8π + 8

B.

.

8



π 2 + 8π + 2

C.

.

8



π 2 + 6π + 8

D.

.

8



Ta có

f (x) dx =



2 cos2 x + 3 dx =



(1 + cos 2x + 3) dx =



(cos 2x + 4) dx =



1

sin 2x + 4x + C.

2



1

sin 2x + 4x + C.

2

1

Lại có f (0) = 4 ⇒ C = 4. Suy ra f (x) = sin 2x + 4x + 4.

2



Nên f (x) =



π

4



π

4



f (x) dx =

0



Å



1

sin 2x + 4x + 4

2



ã



Å

ã

1

2

dx = − cos 2x + 2x + 4x

4



0



π

4



=

0



π 2 + 8π + 2

.

8



Chọn đáp án C

Sưu tầm và biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em



27



https://emncischool.wixsite.com/geogebra



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Hình học 11 - Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×