1. Trang chủ >
  2. Lớp 12 >
  3. Vật lý >

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.02 KB, 45 trang )


Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi

theo đại lượng thay đổi.

Bổ đề :

• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó a + b ≥ 2 ab

Nên (a + b) min = 2 ab , Dấu bằng xảy ra khi a = b

• Hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

b

∆ 4ac − b 2

∆'

x = − ; ymin = −

=

=−

2a

4a

4a

a



1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại

U R =IR=



U

=

Z



U

R + (Z L − ZC )

2



2



R=



U

⇒ U RMax ⇔ R → ∞ ⇒ U RMax = W

Z L − ZC 2

1+ (

)

R



của mạch.

2. Công suất tỏa nhiệt trên R:

P = I2 R =



Ta có:



U2

U2

R= 2

R=

Z2

R +(ZL -ZC )2



U2

U2

=

(Z -Z ) 2

2

R+ L C

(Z -Z )

y với y =

R+ L C

R

R



Z Min = 2 ZL -ZC ⇔ R = ZL -ZC



(1.1)



Khi đó công suất cực đại của mạch PMax =



U2

U2

=

2 ZL -ZC 2R



(1.2)

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

6



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



Khảo sát bài toán công suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh

+ Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị của P theo R



R

P

'

P



Z −Z

L C



0



+

0



0







Pmax





0



x



*) Với hai giá trị của điện trở R = R1 và R = R2 mạch cho cùng một công suất thì:

P= I 2 R =



U2

U2

R=

R

Z2

( R 2 +(ZL -ZC )2 )



⇒ PR 2 +P(Z L - Z C ) 2 = U 2 R

⇔ PR 2 −U 2 R + P(Z L - Z C ) 2 = 0(*)



Điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là:



Z L − ZC <



U2

2P



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

7



(1.3)



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



(*) Là phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý

Viet ta có

U2

P

R1 R2 = (Z L - Z C ) 2 = R 2

R1 + R2 =



(1.4)



Với R là giá trị mà công suất của mạch đạt cực đại

(Z L - Z C ) (Z L - Z C )

=1

R1

R2



*) Ta có (1) - > ⇒ tan ϕ1 tan ϕ2 = 1

⇒ ϕ1 + ϕ2 = ±



+ Khi Z L > Z C → ϕ1 + ϕ2 =



(1.5)



π

2



π

2



+ Khi Z L < Z C → ϕ1 + ϕ 2 = −



π

2



*) Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì hệ số công suất



cosϕ =



+ Khi ϕ =



R

R

1

π

=

=

⇒ϕ = ±

Z

4

2R

2



(1.6)



π

→ Z L > Z C Mạch có tính cảm kháng

4

π

4



+ Khi ϕ = − → Z L < Z C Mạch có tính dung kháng

*) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức (1.4)

+ Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một

công suất thì

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

8



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



U2

P

2

R1 R2 = Z C = R 2

R1 + R2 =



(1.7)



+ Mạch chỉ có R – L mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một

công suất thì :



U2

R1 + R2 =

P

2

R1 R2 = Z L = R 2



2 R1 R2

P

=

PMax R1 + R2



*) Từ công thức (1.2); (1.3); (1.4)



(1.8)



(1.9)



*) Khi công suất trên R cực đại thì hiệu điện thế trên hai đầu cuộn dây và hai

đầu của tụ khi đó:

+) U L − U C = I Z L − Z C =



U

R + (Z L − ZC )

2



2



Z L − ZC = ±



U

2



Hay U = 2 U L − U C



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

9



(1.10)



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong

r)

Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có

thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại

Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:

P = I 2 (R+r) =



y = (R+r) +



U2

U2

(R+r) =

(R+r) =

Z2

(R+r)2 +(ZL -ZC ) 2



U2

U2

=

(Z -Z ) 2

y Với

(R+r)+ L C

(R+r)



(ZL -ZC ) 2

(R+r)



Ta có theo bất đẳng thức Cosi thì ymin = 2 Z L − Z C





U2

Pmax = 2 Z -Z

L

C



(1.11)



R M = R + r = Z L − Z C ⇒ R = ZL -ZC - r



Dấu bằng xảy ra khi



+ Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó

U R = IR =







U

UR

R=

Z

(R + r) 2



U

R+r

= 2

UR

R



(1.13)



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

10



(1.12)



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



*) Nếu r > Z L − Z C → RM ≥ r > Z L − Z C ta có bảng biến thiên



=RMmin



Nếu Z L − Z c < r thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó



P = I2r =



U2

r

r 2 + ( Z L − Z C )2



(1.14)



*) Khi công suất mạch ngoài cực đại thì

tan ϕ =



Z L − ZC

π

2

= ±1 ⇒ ϕ = ± ⇒ cosϕ =

R+r

4

2



Trường hợp 2: Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (PR ) cực đại:



PR = I 2 R =



với



U2

U2

U2

U2

R=

R= 2

=

R +2Rr + r 2 (ZL -ZC ) 2

Z2

(R+r) 2 +(ZL -ZC ) 2

y

+

R

R



R 2 + 2 Rr + r 2 ( Z L − Z C ) 2

y=

+

R

R



Ta ymin = 2r + 2 r 2 + ( Z L − Z C ) 2



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

11



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



Dấu bằng xảy ra khi R = r 2 + ( Z L − Z C ) 2



Pmax =







(1.15)



U2

U2

=

ymin 2r + 2 r 2 + ( Z L − Z C ) 2



*) Khi công suất trên R đạt cực đại thì độ lệch pha giữa u và i khi đó là:



tan ϕ =



( R + r )( R − r )

Z L − ZC



=

R+r

R+r



R−r

R+r



(1.16)



2

2

*) U R = U r2 + (U L − U C )2 ; U 2 = (U R + U r )2 + U R − U r2 ⇒ U 2 = 2U R (U R + U r )



*) Hiệu điện thế giữa hai đầu của cuộn dây và tụ điện khi đó:



U rLC = IZ rLC =



U r 2 + (Z L − ZC )2

( R + r )2 + (Z L − ZC )2



2

U rLC

R

→ 2 =

U

2( R + r )



=



U .R

R 2 + 2 Rr + R 2



=U



R

2( R + r )



(1.18)



Bài toán 2:

Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự

cảm L và một tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp

xoay chiều u = U 0cos(ωt ) .

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

12



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



1. Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ

điện (R mắc liên tiếp với C) có giá trị không đổi. Tính URC và tần số cộng

hưởng trong mạch.

2. Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của URL vuông góc với hai đầu của

đoạn mạch. Tính R .



Hướng dẫn

1) Ta có:

+)



U RC = IZ RC =



2

U R 2 + ZC



R 2 + ( Z L − Z C )2



=



U

2

Z L − 2Z L Z C

1+

2

R 2 + ZC



2

Ta thấy URC không phụ thuộc vào R thì Z L − 2Z L Z C =0



→ Z L = 2Z C → ω L = 2



1

2

ω

2

→ ω2 =

= 2ωch → ωch =

ωC

LC

2



Khi đó URC = U



uuu u

r r

U RL ⊥ U → tan ϕ RL tan ϕ = −1

2) Theo giả thiết ↔



Z L Z L − ZC

= −1

R

R



(2.3)



↔ R = Z L (ZC − Z L )2

Ta có: + Mạch R – L – C có tính dung kháng ( Z C > Z L )

2

2

2

2

+ U = UC − U R − U L

2

2

+ U LU C = U R + U L



(2.4)



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

13



(2.1)



(2.2)



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ

điện C và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được. Mắc vào

hai đầu mạch một điện áp xoay chiều u = U 0cos(ωt )

1. Xác định L để

+ I = Imax

+ P = Pmax

+ UR =URmax; UC =UCmax ; URC = URcmax

+



Hệ số công suất cos ϕ =1 ; u,i cùng pha.



2. Xác định L để ULmax

3. Xác định L để URL cực đại (R mắc liên tiếp với L)

4. Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì UL có giá trị không đổi. thiết

lập công thức giữa L1 ; L2 với L sao cho UL cực đại.

5. Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì ta thấy P1 = P2. Xác định L để

mạch cộng hưởng.



1. Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; UR; URC; UC; cos ϕ thì ta

nhận thấy độ tự cảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả ZL và ZC) thì khi

đó để các đại lượng đạt cực đại thì



Z L = ZC → L =



1

ω 2C



(3.1)



2. Xác định L để ULmax

Ta có:



U L = IZ L =



UZ L

R 2 + (Z L − ZC )2



=



U

2

R 2 + ZC

Z

− 2 C +1

2

ZL

ZL



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

14



=



U

Y



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



Khi UL đạt cực đại thì Y = Ymin. Nếu đặt X =



1

2

2

2

thì Y = ( R + Z C ) X − 2Z C X + 1

ZL



Tìm Y min



2

2

Y là tam thức bậc 2 có hệ số a = R + Z C >0 nên đạt cực trị tại



2

R2 + ZC

1

b

ZC





→ L = CR 2 + 2

Z L = Z

 X = − 2a = R 2 + Z 2

ωC





C

C

⇒



2

2

U R 2 + ZC

Y = − ∆ = R



2

 min

U L max =

4a R 2 + Z C





R



(3.2)



Nhận xét :

*) Khi UL = ULmax thì : từ (3.2) ta có ZL ZC = R2 +ZC2

↔ −ZC (Z L − ZC ) = − R 2

ZC Z L − ZC

= −1

R

R

↔ tan ϕu / i tan ϕu / i = −1

↔−



RC



↔ ϕ u / i − ϕu



RC



/i







π

2



Mặt khác ta luôn có trong mạch R- L – C không phân nhánh thì uRC luôn trễ pha

so với i một góc ϕ RC p



π

nên

2



ϕu / i − ϕ u



RC



/i



=



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

15



π

2



(3.3)



Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12



Vậy khi L thay đổi UL đạt cực đại thì



uuu u

r r

U RC ⊥ U



*) Khi UL = ULmax thì : từ (3.2) ta có ZL ZC = R2 +ZC2



2

2

↔ U LU C = U R + U C



(3.4)



uuu

r



ur



*) Theo công thức (3.3) ta có U RC ⊥ U nên dựa

vào giản đồ vectơ ta có :

2

2

U L = U RC + U 2



(3.5)

2

2

2

↔ U 2 = U L − U R − UC



3. Xác định L để URL đạt cực đại

Ta có :

U RL = IZ RL =



2

U R2 + ZL



R 2 + ( Z L − Z C )2



=



U

2

2

R 2 + Z L + Z C − 2Z L Z C

2

R2 + ZL



U



=

1+



2

Z C − 2Z L Z C

2

R2 + ZL



Ta thấy URL cực đại khi Y = Ymin

2

Z C − 2Z L Z C

Mặt khác ta khảo sát hàm số Y theo ZL ta được : Y =

2

R2 + Z L



Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

16



=



U

1+ Y



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.doc) (45 trang)

×