Bi 9. Kho sỏt và vẽ đồ thị của hàm số:

c/ Gọi (d)có phương trình : y = 2x + m. Đònh m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 14. Cho (P) : y = x2 − 3x − 4 và (d) : y = −2x + m. Đònh m để (P) và (d) :

a/Có 2 điểm chung phân biệt

b/Tiếp xúc

c/Không cắt nhau.

Bµi 15. Cho (P): y=f(x)= − x 2 + 2 x + 3

c)

Kh¶o s¸t vµ vÏ (p).

d)

CMR ®êng th¼ng (d): y=mx lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt M vµ N.

Vẽ đồ thị các hàm số sau :

− 2x + 1 khi x ≥ 0

a)y =  2

x + 4x + 1 khi x < 0



1

5

b)y = − x 2 + 3x −

2

2



c)y = x 2 + 2x − 3



Chưong III. PHƯƠNG TRINH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Phương trình.

*. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

*Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của (1).

* Cho phương trình f(x) = 0 ⇔ f ( x) + h( x) = h( x) , y = h(x) là một hàm số.

*Bình phương hai vế của một phương trình ta được một phương trình hệ quả.

 g ( x) ≥ 0

* Đối với phương trình chứa căn ta có: f ( x) = g ( x ) ⇔ 

2

 f ( x ) = [ g ( x)]

2.Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.

b

* Phương trình ax + b = 0, (a ≠ 0) có nghiệm x = − .

a

.Nếu a = 0, b = 0 phương trình có vơ số nghiệm.

.Nếu a = 0, b ≠ 0 phương trình vơ nghiệm.

* Phương trình ax2 + bx + c = 0 có ∆ = b 2 − 4ac hoăo (∆' = b' 2 −ac ) trong đó b = 2b’.

. Nếu ∆ ≥ 0 phương trình có nghiệm x =

. Nếu ∆ < 0 phương trình vơ nghiệm.





−b± ∆

− b'± ∆' 



hoăo  x =





2a

a







b



 x1 + x 2 = − a



* Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì 

 x .x = c

 1 2 a



* Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0

Ta có: D =



a

a'



b

c

= ab'−a ' b , D x =

b'

c'



b

a

= cb'−c' b , D y =

b'

a'



c

= ac '− a' c

c'



ax + by = c (a 2 + b 2 ≠ 0)





a ' x + b' y = c' ( a' 2 +b' 2 ≠ 0)



19



1. D ≠ 0 : Hệ có một nghiệm duy nhất (x ; y) trong đó x =



Dx

D



y=



,



Dy

D



2. D = 0:

* D x ≠ 0 hoăo D y ≠ 0 : Hệ vơ nghiệm

* D x = D y = 0 : Hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình

ax + by = c

B. BÀI TẬP

1. Giải phương trình :



(



)(



4−x

1

=

;

x − 5 1− x

2

10

50

d /1 +

=

−

;

x − 2 x + 3 (2 − x )( x + 3)



)



a / 1 − x 2 x 2 − 5 x + 6 = 0;



b/



c/



x − 2 x − 3 x 2 + 4 x + 15

+

=

;

1− x x +1

x2 −1



e/



x 3 − 3x 2 − x + 3

= 0;

x(2 − x)



f/



g/



x 2 − 2x − 3

1

=

;

2

x − 4x + 3 1 − x



h / x 2 − 6x − 7



2

1

−4

+ = 2

;

x + 2 2 x + 2x



(



)



(



2



)



= 9 x 2 − 4x + 3



2



2. Giải phương trình (trò tuyệt đối) :



a / 3 + 4x = x − 2 ;



b / 2 − 3 x 2 − 6 − x 2 = 0;



c / x 2 − 5 x + 4 = x + 4;



d / 4 − x + 3 x 2 − 6 x = 2 x − 6;



e/



x 2 − 4x

= 1;

x 2 + 3x + 2



f / x 2 − 5 x − 1 − 1 = 0;



g/



x2 −1

x−2



= x;



h/



j / x − 1 x + 2 = 4;



x+2 −x

x



= 2;



i/



2x − 5

+ 1 = 0;

x−3



k / x−5 +3 = 2



3. Giải phương trình (chứa căn thức) :



a / x 2 − 6x + 4 = 4 − x;



b / 1 + 2 x 2 − 3 x − 5 = x;



d / 3 − x 2 + x + 6 + 2(2 x − 1) = 0;



e / 21 − 4 x − x 2 = x + 3 ;



c/

f/



( x + 4)( x − 3) = x − 1;

4

2− x



− 2− x = 2



4. Giải phương trình (đặt ẩn phụ) :



a / x 4 − 3 x 2 − 4 = 0;



b / 3 x 4 + 5 x 2 − 2 = 0;



d / ( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) = 0;

f / 3 x 2 + 9 x − 8 = x 2 + 3 x − 4;

i / x + 1 = 8 − 3 x + 1;



c / x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 − 6x + 6;



e / 2 x 2 − 8 x + 12 = x 2 − 4 x − 6;

g/



x +1

x +1

−2

= 3;

x

x



h/ x −3 =



2

x −2



;



j / 15 − x + 3 − x = 6



5. Giải và biện luận phương trình (bậc 1) theo tham số m :

a/ m(x – m) = x + m – 2;

b/ m2(x – 1) + m = x(3m – 2);

c/ (m2 + 2)x – 2m = x – 3;

d/ m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6

6. Giải và biện luận phương trình (bậc 1 có mẫu số) theo tham số m :



a/



(2m − 1) x + 2

= m + 1;

x−2



b/



( m − 1)(m + 2) x

=m+2

2x + 1



7. Giải và biện luận phương trình (bậc 2) theo tham số m :



20



a/ (m – 1)x2 + 3x – 1 = 0;

b/ x2 – 4x + m – 3 = 0;

c/ mx2 + (4m + 3)x + 4m + 2 = 0

8. Cho phương trình ax2 + bx +c = 0 có hai nghiệm x1, x2. Đặt S = x1 + x2; P = x1.x2

2

2

3

3

a/ Hãy tính các biểu thức sau theo S, P : x1 + x 2 ; x1 + x 2 ;



1

1

+ ; x1 − x 2

x1 x 2



b/ p dụng : Không giải phương trình x2 – 2x – 15 = 0 hãy tính :

_ Tổng bình phương hai nghiệm.

_ Bình phương tổng hai nghiệm

_ Tổng lập phương hai nghiệm.

9. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa :

a/ x2 + (m – 1)x + m + 6 = 0 thỏa : x12 + x22 = 10.

b/ (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 thỏa : 4(x1 + x2) = 7x1x2

10. Cho phương trình (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = 0

a/ Đònh m để phương trình có nghiệm bằng -3, tính nghiệm còn lại

b/ Đònh m để phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tính các nghiệm.

11. Đònh m để phương trình vô nghiệm :

a/ mx2 - (2m + 3)x + m + 3 = 0;

b/ mx2 – 2(m + 1)x +m + 1 = 0

12. Đònh m để phương trình có nghiệm kép :

a/ (m + 2)x2 – 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 ;

b/ x2 – (2m + 3)x + m2 = 0

13. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt :

a/ (m – 1)x2 – 2(m + 4)x + m – 4 = 0;

b/ (m – 2) x2 – 2(m + 3)x + m – 5 = 0

14. Đònh m để phương trình có nghiệm :

a/ (m + 3)x2 – (2m + 1)x + m – 2 = 0;

b/ x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0

15. Đònh m để phương trình có đúng một nghiệm :

a/ mx2 – 2(m + 3)x + m = 0;

b/ (m – 1)x 2 – 6(m – 1)x + 2m – 3 = 0

16.Đònh m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0

17. Giải các hệ phương trình.



 − 7 x + 3 y = −5

5 x − 2 y = 4



a) 



18. Giải các hệ phương trình:



 x + 2 y − 3z = 2



a) 2 x + 7 y + z = 5

− 3 x + 3 y − 2 z = −7





4 x − 2 y = 6

 − 2 x + y = −3



− 0,5 x + 0,4 y = 0,7

0,3 x − 0,2 y = 0,4



b) 



c) 



− x − 3 y + 4 z = 3



b) 3 x + 4 y − 2 z = 5

2 x + y + 2 z = 4





x + y + z = 7



c) 3 x − 2 y + 2 z = 5

4 x − y + 3 z = 10





19. Tìm giá trị của m để các hệ phương trình sau vơ nghiệm,



3 x + 2 y = 9

mx − 2 y = 2



a) 



2 x − my = 5

x + y = 7



b) 



20. Tìm các giá trị của a và b để các hệ phương trình sau vơ nghiệm.



3 x + ay = 5

2 x + y = b

21.*Giải các hệ phương trình sau:

 x 2 + 4y2 = 8

a) 

 x + 2y = 4

a) 



ax + 2 y = a

3 x − 4 y = b + 1



b) 



 x 2 − xy = 24

b) 

2 x − 3 y = 1



 x 2 − 3 xy + y 2 + 2 x + 3y − 6 = 0

3 x − 4 y + 1 = 0

d) 

e) 

 xy = 3( x + y ) − 9

2 x − y = 3



( x − y )2 = 49

c) 

3 x + 4 y = 84

2 x + 3 y = 2

f) 

 xy + x + y + 6 = 0

21



y + x2 = 4x

2 x + 3 y = 5

g) 

h)  2

2

2 x + y − 5 = 0

3 x − y + 2 y = 4

22.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

x + y = 6

x + y = m

a)  2

b)  2

2

2

x + y = m

x − y + 2x = 2

23.*Giải các hệ phương trình sau:

 x + xy + y = 11

x + y = 4

a)  2

b)  2

2

2

 x + y − xy − 2( x + y ) = −31

 x + xy + y = 13



2 x − y = 5

i)  2

2

 x + xy + y = 7

3 x − 2 y = 1

c)  2

2

x + y = m

 xy + x + y = 5

c)  2

2

x + y + x + y = 8



 x y 13

 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481

 x 3 + x 3 y 3 + y3 = 17

 + =



d)  y x 6

e) 

f)  2

2

 x + xy + y = 37

 x + y + xy = 5



x + y = 6



24.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 x + y + xy = m

x + y = m +1

( x + 1)( y + 1) = m + 5

a)  2

b)  2

c) 

2

2

2

 xy( x + y ) = 4m

 x + y = 3 − 2m

 x y + xy = 2m − m − 3

25.*Giải các hệ phương trình sau:





 x3 = 2 x + y

 x 2 = 3x + 2 y

 x 2 − 2 y2 = 2 x + y



a)  2

b)  2

c)  3

2

 y = 3y + 2 x

y − 2x = 2y + x

y = 2y + x









y2 + 2

 2

1

3y =



2 x = y + y

2





x

e) 

f) 

2

3 x = x + 2

2 y 2 = x + 1

2





x



y



26.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 x 2 = 3 x + my

 x (3 − 4 y 2 ) = m(3 − 4m 2 )

 xy + x 2 = m( y − 1)







a)  2

b) 

c) 

2

2

2

 y = 3y + mx

 y(3 − 4 x ) = m(3 − 4m )

 xy + y = m( x − 1)







27.*Giải các hệ phương trình sau:

 x 2 − 3 xy + y 2 = −1



 y 2 − 3 xy = 4



2 x 2 − 4 xy + y 2 = −1



a)  2

b)  2

c)  2

2

2

2

3 x − xy + 3y = 13

3 x + 2 xy + 2 y = 7

 x − 4 xy + y = 1









y

 x − 3y = 4 x



d) 

x

 y − 3x = 4

y







3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38

 x 2 − 2 xy + 3y 2 = 9





d)  2

e)  2

2

2

5 x − 9 xy − 3y = 15

 x − 4 xy + 5y = 5





28.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 x 2 + mxy + y 2 = m

 xy − y 2 = 12





a)  2

b)  2

2

 x + (m − 1) xy + my = m

 x − xy = m + 26







3 x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0



f)  2

2

5 x − 7 xy − 6 y = 0



 x 2 − 4 xy + y 2 = m



c)  2

 y − 3 xy = 4





Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.



22



1. Bất đẳng thức.

a) Tính chất:



a > b và b > c ⇒ a > c

a>b ⇔ a+c >b+c

a > b và c > d ⇒ a + c > b + d

a +c> b ⇔ a >b−c

ac > bc khi c > 0

a>b ⇔

ac < bc khi c < 0

a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd

a > b ≥ 0 và n ∈ N * ⇒ a n > b n

a >b≥0⇒ a > b

a>b⇒3 a >3 b

| x |≥ 0 , | x |≥ x , | x |≥ − x

| x |≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

(a > 0)

| x |≥ a ⇔ x ≤ − a hoăo x ≥ a

|a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|



b) Bất đẳng thức Cơ-si.

a+b

a+b

≥ ab ;

= ab ⇔ a = b (∀a, b ≥ 0)

*

2

2

a+b+c 3

a+b+c 3

≥ abc ;

= abc ⇔ a = b = c (∀a, b, c ≥ 0)

*

3

3

BÀI TẬP.

1.V ới x, y, z tùy ý . Chứng minh rằng:

a). x4 + y4 ≥ x 3 y + y 3 x

b) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z.

2. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

Với ∀ a, b, c ∈ R :

a/ a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c)



b/ a2 + b2 + a2b2 + 1 ≥ 4ab



2



a2 + b2

a+b

≤

c/ 



2

 2 



e/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)

g/ (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 )



d/ a3 + b3 ≥ a2b + ab2

f/ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

h/ a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b



3. Với a, b, c > 0 :

ab bc ca

a2 b2 c2 a c b

a/

+

+

≥ a+b+c

b/ 2 + 2 + 2 ≥ + +

c

a

b

c b a

b

c

a

a

b

c

1 1 1

c/ +

+

≥ + +

d / (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

bc ca ab a b c

e / (a + 2)(b + 2)(a + b) ≥ 16ab

a

b

1 1

4

a+b+c+d 4

+

≥ a+ b

≥ abcd

f/

g/ + ≥

h/

a b a+b

4

b

a



23



1

≥ 2a

m/. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

b

1 1 1

9

2

n/ a + b ≥ 2 2(a + b) ab

p/ + + ≥

a b c a+b+c

4

9

4.. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +

với 0 < x < 1.

x 1− x

5.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt của hàm số sau trên TXĐ của hàm số y = x − 1 + 5 − x

k/.



(



1 1 1 1

16

+ + + ≥

a b c d a+b+c+d



2

l/. a b +



)



BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1.



Bất đẳng thức CauChy:



a+b

≥ ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b

2

a+b+c 3

b) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ⇒

≥ abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c

3

a +a +...+a n n

c) Cho a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, ... , an ≥ 0 ⇒ 1 2

≥ a1.a2 ...an . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n

a1 = a2 = ... = an

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒



2. Ví dụ:

1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:

a)



a b

+ ≥2

b a



b) ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab



(



)



3

2) Chứng minh: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ≥ 1 + 3 abc

với a, b, c khơng âm.



3) Chứng minh: 2 a + 3 3 b + 4 4 c ≥ 9 9 abc



xy yz zx

+ + ≥ x + y + z với x, y, z > 0

z

x

y

a

b

c

3

5) Chứng minh: a)

+

+

≥ với a, b, c > 0

b+c c+a a+b 2

a2

b2

c2

a+b+c

b)

+

+

≥

b+c c+a a+b

2

4) Chứng minh:



3. Bài tập:

1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:



1 1

+ ÷≥ 4

a b



a) ( a + b ) 



1 1 1

+ + ÷≥ 9

a b c

2

2

2

d) ( a + b + c ) a + b + c ≥ 9abc



b) ( a + b + c ) 



c) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca



(



)



bc ca ab

4

4

4

9

f)

+ +

≥ a+b+c

+

+

≥

a

b

c

a + 2b + c 2a + b + c a + b + 2c a + b + c

a

b

c 1 1 1

g)

+ +

≥ + +

bc ca ab a b c

2) Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thoả a1.a2 ...an = 1 . Chứng minh:

e)



( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ...( 1 + an ) ≥ 2n



24



3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh



x2 y 2 z 2 x y z

+

+

≥ + +

y 2 z 2 x2 y z x



n +1 n

> n!

2



4) Chứng minh:



; n∈N



5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh:



( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .xyz ≤



6) Cho a ≥ 1; b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab



8

729



a+b + b+c + c+a ≤ 6



7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh:



8) Chứng minh ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8 xyz với x, y, z > 0

9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số ngun dương. Chứng minh

n



n



n



1+ x  1+ y  1+ z 



÷ +

÷ +

÷ ≥3

 2   2   2 

10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx

11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

2

12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3a −4 + 34 a +8 ≥ 2



13) Cho x, y , z > 0 và thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx >



18 xyz

2 + xyz



a 2 b2 c2 d 2 1

1 1

1

14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh

+ 5+ 5+ 5 ≥ 3+ 3+ 3+ 3

5

b

c

d

a

a b c

d

1

1

1

9

15) Cho x, y, z tuỳ ý khác khơng. Chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ 2

x

y

z

x + y2 + z2

16) Chứng minh với x, y là 2 số khơng âm tuỳ ý, ta ln có: 3 x 3 + 17 y 3 ≥ 18 xy 2

4



( a + 5 ) ( b + 4 ) ( c − 3) ( d − 6 )



1 với a > −5, b > −4, c > 3, d > 6

a+b+c+d

4

1

1  3

2

2

2  1

+

+

18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh a + b + c 

÷≥ ( a + b + c )

 a+b b+c c+a 2



x 

y 

z

19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8

y 

z  x 



17) Chứng minh



(



20) Chứng minh



x2 + 3

2



≤



)



≥ 2 ∀x ∈ R



x +2

x+8

≥ 6 ∀x >1

21) Chứng minh

x −1

22) Cho n số a1 , a2 ,..., an khơng âm thoả a1 + a2 + ... + an = 1 . Chứng minh

n −1

a1.a2 + a1.a3 + ... + an−1.an ≤

2

1

n

∀n ∈ ¢ + , n ≥ 2

23) Chứng minh n < 1 +

n

25









24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh :  1 +

25) Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 và



1  1  1 

÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 64

x 

y  z 



1

1

1

1

+

+

≥ 1 . Chứng minh xyz ≤

1+ x 1+ y 1+ z

8

n +1



n



1 

 1 

*

÷ ≤ 1 +

÷ ; ∀n ∈ N

 n   n +1

n

+

27) Chứng minh 1.3.5... ( 2 n − 1) < n ∀n ∈ ¢

26) Chứng minh:  1 +



28) Cho x 2 + y 2 = 1 Chứng minh − 2 ≤ x + y ≤



2



29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa x ≥ 3; y ≥ 4 ; z ≥ 2 . Chứng minh



xy z − 2 + yz x − 3 + zx y − 4 2 3 + 2 2 + 6

≤

xyz

4 6

30) Cho f ( x ) = ( x + 4 ) ( 5 − x ) với −4 ≤ x ≤ 5 . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN

31) Tìm GTNN của các hàm số sau:



3

1

với x > 0

b) f ( x ) = x +

với x > 1

x

x −1

32) Cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 3 . Tìm GTLN của A = ( 3 − y ) ( 4 − x ) ( 2 y + 3 x )

a) f ( x ) = x +



33) Tìm GTLN của biểu thức:



ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4

với a ≥ 3; b ≥ 4; c ≥ 2

abc

x

y

z

+

+

34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =

(ĐHNT-1999)

x +1 y +1 z +1

F=



35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:



bc

ca

ab

+ 2

+ 2

(ĐHNN – 2000)

2

2

a b + a c b c + b a c a + c 2b

36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c > 0 :

P=



1.

2.



2



a 5 b5 c 5

+ 2 + 2 ≥ a 3 + b3 + c 3

2

b

c

a

5

5

a

b

c5

+ +

≥ a 3 + b3 + c 3

bc ca ab



3.

4.



a 5 b5 c 5 a 3 b 3 c 3

+ +

≥

+ +

c

a

b3 c 3 a 3 b

4

4

4

a

b

c

+ 2 + 2 ≥ a+b+c

bc 2 ca

ab



26



5.

6.

7.



a3

b3

c3

1

+

+

≥ (a 2 + b 2 + c 2 )

a + 2b b + 2c c + 2a 3

a3

b3

c3

1

+

+

≥ (a + b + c )

2

2

2

4

(b + c)

(c + a )

( a + b)

a3

b3

c3

1

+

+

≥ (a + b + c)

(a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4



37) Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng



x2

y2

z2

3

+

+

≥ (ĐH 2005)

1+ y 1+ z 1+ x 2



4

4

4

x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng x + y + z ≥ 1 ( x3 + y 3 + z 3 ) (ĐH 2006)

38) Cho

y+z z+x x+ y 2

5

39) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = . Tìm GTNN của biểu thức

4

4 1

S= +

(ĐH 2002)

x 4y

40) Cho x, y , z là các số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng:



1

1

1

+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 (ĐH 2003)

2

x

y

z

1 1 1

41) Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng:

x y z

1

1

1

+

+

≤ 1 (ĐH 2005)

2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

x2 +



x



x



x



 12   15   20 

x

x

x

42) Chứng minh rằng với mọi x ∈ ¡ thì 

÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3 + 4 + 5 (ĐH 2005)

 5  4  3 

x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng:

43) Cho

1 + x3 + y 3

1 + y3 + z3

1 + z 3 + x3

+

+

≥ 3 3 (ĐH 2005)

xy

yz

zx

2



y 

9 



44) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì (1 + x)  1 + ÷ 1 +

÷ ≥ 256 (ĐH 2005)

x 









45) Cho x, y , z thỏa mãn x + y + z = 0 . Chứng minh 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 (ĐH 2005)

3

46) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh rằng:

4

3

3

a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 (ĐH 2005)

47) Cho x, y , z thỏa mãn 3− x + 3− y + 3− z = 1 . Chứng minh



9x

9y

9z

3x + 3 y + 3z

(ĐH 2006)

+ y

+ z

≥

4

3x + 3 y + z 3 + 3x + z 3 + 3x + y

Trang 27



11

7 



+ 4  1 + 2 ÷( x > 0) (ĐH 2006)

2x

 x 

x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4 . Tìm GTNN của biểu thức

49) Cho

3x 2 + 4 2 + y 3

A=

+

(ĐH 2006)

4x

y2

1 1 1

50) Ba số dương a, b, c thỏa mãn + + = 3 . Chứng minh rằng: (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001)

a b c

x

y

+

51) Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . Tìm GTNN của P =

(ĐH 2001)

1− x

1− y

52) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN của biểu thức

48) Tìm GTNN của hàm số y = x +



1

1

+ 3 (ĐH 2006)

3

x

y

1

53) Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ (ĐH 2006)

4

A=



A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

2. Bất phương trình.

a) Bất phương trình tương đương.

* Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết: f 1 ( x) < g1 ( x) ⇔ f 2 ( x) < g 2 ( x )

* Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình

- f(x) + h(x) < g(x) + h(x).

- f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 ∀x ∈ D

- f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 ∀x ∈ D

f(x) < g(x) ⇔ [ f ( x )]3 < [ g ( x)]3

f(x) < g(x) ⇔ [ f ( x )]2 < [ g ( x )]2 với f(x) > 0, g(x) > 0

b) Bất phương trình bậc nhất và bậc hai.

* ax + b < 0

(1)

b

i) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x < −

a

b

ii) Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x > −

a

iii) Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0 x < −b

. b ≥ 0 bất phương trình vơ nghiệm.

. b < 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

* Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a ≠ 0) . Ta có :

+∞

x −∞

x0

f(x) = ax + b



trái dấu với a



0



* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) . Ta có:

Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R .

Trang 28



cùng dấu với a



b

2a

Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ ( x1 , x 2 )

(tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngòai đọan [x1 , x2 ] (tức là x < x1 hoặc x > x2)

* Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai ln âm hoặc ln dương ta áp dụng:

a > 0

∀x ∈ R, ax 2 + bx + c > 0 ⇔ 

∆ < 0

a < 0

∀x ∈ R, ax 2 + bx + c < 0 ⇔ 

∆ < 0

* Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai

Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ −



B. BÀI TẬP

1. Giải bất phương trình :



3 x − 1 3( x − 2)

5 − 3x

−

−1 >

4

8

2

3x + 1 x − 2 1 − 2 x

c/

−

<

2

3

4



4 x − 1 x − 1 4 − 5x

≥

−

18

12

9

x − 3 1 − 2x x + 1

d/

+

≤

4

5

3

b/3−



a/



2. Giải hệ bất phương trình :



15 x − 8



8 x − 5 > 2



a/

2(2 x − 3) > 5 x − 3



4



 2 x − 3 3x + 1

 4 < 5



d /

3x + 5 < 8 − x



2

3





5



6 x + 7 > 4 x + 7



b/

 8 x + 3 ≤ 2 x + 25

 2



 4x − 5

 7 < x+3



e/

 3x + 8 ≥ 2 x − 5

 4





3 x − 5 ≤ 0



c / 2 x + 3 ≥ 0

x + 1 > 0





3. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :

a/ m(x – m) ≤ x – 1

b/ mx + 6 > 2x + 3m

c/ (m + 1)x + m < 3x + 4

4. Xét dấu biểu thức sau :

a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x;

b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)



(− x )( x + 3) 2

5 x + 10

2

2 x − 3x

f/ f(x) =

1− x



c/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x);

e/ f(x) =



3

−2

+

;

4 − x 3x + 1



5. Giải bất phương trình :



a/



d/ f(x) =



3x − 4

> 1;

x−2



b/



2x − 5

≥ −1;

2− x



6.Giải phương trình chứa trò tuyệt dối :

a/ x − 1 + 2 x − 4 = 3 ;



c/



2

5

≤

;

x − 1 2x − 1



b/ 7 − 2 x = 5 − 3x + x + 2



7. Xét dấu biểu thức sau :



Trang 29



d/



−4

3

<

3x + 1 2 x − 1