1. Trang chủ >
  2. Giáo án - Bài giảng >
  3. Toán học >

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.42 KB, 19 trang )


M(xM;yM), M0(x0;y0) có xM

khác x0, tính hệ số góc kM của

đường thẳng M0M.

VTCPu đường thẳng M0M là

uu u

u u của

r

M 0 M = (x M − x 0 ; y M − y0 ),



nên hệ số góc của đường thẳng này

y M − y0 f (x M ) − f (x 0 )



kM =

=

.

x M − x0



xM − x0



Vì hệ số góc của M0T là k 0 =



lim



xM →x0



k M và hàm



số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 nên

f (x M ) − f (x 0 )

k 0 = lim k M = lim

= f '(x 0 ).

xM − x0

xM →x0

xM →x0



Vậy f ’(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến M0T.



5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho y = f(x) (C) có đạo hàm tại điểm x = x0, khi đó f ’(x0) là

hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) TẠI điểm

M0(x0;y0)(C).



Đường thẳng T qua M (x ;y0) )

Tiếp tuyến M0đi đi qua 0M00(x0;yvà

0

Tiếp có hệ M0T củak thì có’(x0) nêntrình

tuyến hệ số góc f phương

và cósố góc (C) có phương trìnhcó

y đi qua k(x

Đường thẳng –thế nào? – x(x0;y0) và có

như y0 = điểm M0 0)

phương trình

hay thì = fphương ) – x như

hệ số góc – y = k(x – )(xtrình 0. thế

y k y0 có ’(x0 x0 + y0)

nào?

hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).



5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

c) Phương trình tiếp tuyến

Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) thuộc (C), hàm số f(x) có đạo

hàm tại x = x0. Khi đó tiếp tuyến M0T của (C) TẠI điểm M0

có phương trình

y – y0 = f ’(x0)(x – x0)

hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).

M0(x0;y0): tiếp điểm.

x0: hoành độ tiếp điểm.

y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm.

k = f ’(x0): hệ số góc của tiếp tuyến.



Muốn viết phương trình tiếp tuyến

cần biết những yếu tố nào?



Cần biết tiếp điểm và hệ số góc.

(Tức là phải biết x0, y0, f ’(x0))



VD4. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 2 – 1 (C1) tại điểm M0(2; 3).

VD5. 1) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) tại điểm có hành độ x0 =

-1.

2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) tại điểm M0 có tung độ y0 = 8.

3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) biết tiếp tuyến có hệ số góc k =

3.



HD.

VD5. 1) Ta có y = (2; ) = f(-1) -1. Như vậy tiếp

VD4. Tiếp điểm0M0f(x03). Hệ số=góc của tiếp tuyếnđiểm

là điểm M0(- 1; f (x) − f (2)

- 1).

x2 − 4

k = f '(2) = lim lại

= lim

= lim (x + 2) = 4.

Xem

Hệ số góc của2tiếpxcác bài → 2 x ở2phần2 kiểm tra!

tuyến x tập − 3 x →

−2

x→



f (x) − f ( −1)

x +1

k = f '(−1) = lim

= lim

= lim (x 2 − x + 1) = 3.

1

x →−1

Vậy tiếp tuyến có PT xy+= 4(x – x →−13x hay y x →−1 – 5.

2) + + 1 = 4x



Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) -1 hay y = 3x + 2.



VD5.

2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) tại điểm

M0 có tung độ y0 = 8.

3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) biết tiếp

tuyến có hệ số góc k = 3.

HD.

VD5. 2) Ta có y0 = f(x0)  8 = (x0 )3  x0 = 2. Như vậy tiếp

điểm là điểm M0(2; 8).

Hệ số góc của tiếp tuyến



f (x) − f (2)

x3 − 8

k = f '(2) = lim

= lim

= lim (x 2 + 2x + 4) = 12.

x−2

x →2

x →2 x − 2

x →2



Vậy tiếp tuyến có PT y = 12(x - 2) + 8 hay y = 12x - 16.



HD.

VD5. 3)Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị

hàm số đã cho là điểm M0(x0; y0).

Ở phần kiểm tra ta đã tính được

Ta có k = f ’(x0)  3 = 3(x0 )2  x0 = 1 hoặc x0 )==-1. 0 .

f '(x 0 3x 2

 TH1: x0 = 1  y0= 1. Tiếp điểm là điểm M0(1; 1).

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x - 1) + 1 hay y = 3x - 2.

 TH2: x0 = -1  y0 = -1. Tiếp điểm là điểm M0(-1; -1).

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2.

KL: có hai tiếp tuyến của (C2) thỏa mãn yêu càu của bài

toán: y = 3x – 2 và y = 3x + 2.



Câu hỏi: Có của đồ thị hàm số y = xcủa

bao nhiêu tiếp tuyến 3

Tiếp tuyến

đồ tại điểm có hoành 3 (C2)thì có hệ số

thị hàm số y = xđộ x có hệ số góc

0

âm? là

góc

3

3



x − x0

2

k = y '(x 0 ) = lim

= 3x 0 ≥ 0 (∀x 0 ∈ ¡ ).

x →x0 x − x0



Do đó đồ thị hàm số y = x3 không có

tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.



6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại t0) của

một chuyển động có phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của

hàm số s(t) tại điểm t0, tức là v(t0) = s’(t0).

b) Cường độ tức thời

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của

thời gian t với Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm thì cường

độ dòng điện tức tời I(t0) là đạo hàm của hàm Q(t) tại điểm

t0, nghĩa là I(t0) = Q’(t0).



cñng cè

Qua bài này HS cần nắm được ý nghìa hình học của đạo

hàm và ghi nhớ cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số TẠI một điểm



y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.ppt) (19 trang)

×