1. Trang chủ >
  2. Giáo án - Bài giảng >
  3. Toán học >

Tiết 64. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM (tiếp theo)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.42 KB, 19 trang )


y

y = f(x) (C)

T

O

M



x

M0 M→M thì M M →M T

0

0

0

M0T: tiếp tuyến của (C) tại M0

M0: tiếp điểm



ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a)Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) cố định thuộc (C), điểm

M(xM;yM) di động trên (C). Kí hiệu kM là hệ số góc của cát

tuyến M0M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn x limx k M = k 0 .



M



0



Khi đó đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 được

gọi là tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M0. Điểm M0 được gọi là

tiếp điểm.



M(xM;yM), M0(x0;y0) có xM

khác x0, tính hệ số góc kM của

đường thẳng M0M.

VTCPu đường thẳng M0M là

uu u

u u của

r

M 0 M = (x M − x 0 ; y M − y0 ),



nên hệ số góc của đường thẳng này

y M − y0 f (x M ) − f (x 0 )



kM =

=

.

x M − x0



xM − x0



Vì hệ số góc của M0T là k 0 =



lim



xM →x0



k M và hàm



số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 nên

f (x M ) − f (x 0 )

k 0 = lim k M = lim

= f '(x 0 ).

xM − x0

xM →x0

xM →x0



Vậy f ’(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến M0T.



5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho y = f(x) (C) có đạo hàm tại điểm x = x0, khi đó f ’(x0) là

hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) TẠI điểm

M0(x0;y0)(C).



Đường thẳng T qua M (x ;y0) )

Tiếp tuyến M0đi đi qua 0M00(x0;yvà

0

Tiếp có hệ M0T củak thì có’(x0) nêntrình

tuyến hệ số góc f phương

và cósố góc (C) có phương trìnhcó

y đi qua k(x

Đường thẳng –thế nào? – x(x0;y0) và có

như y0 = điểm M0 0)

phương trình

hay thì = fphương ) – x như

hệ số góc – y = k(x – )(xtrình 0. thế

y k y0 có ’(x0 x0 + y0)

nào?

hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).



5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

c) Phương trình tiếp tuyến

Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) thuộc (C), hàm số f(x) có đạo

hàm tại x = x0. Khi đó tiếp tuyến M0T của (C) TẠI điểm M0

có phương trình

y – y0 = f ’(x0)(x – x0)

hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).

M0(x0;y0): tiếp điểm.

x0: hoành độ tiếp điểm.

y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm.

k = f ’(x0): hệ số góc của tiếp tuyến.



Muốn viết phương trình tiếp tuyến

cần biết những yếu tố nào?



Cần biết tiếp điểm và hệ số góc.

(Tức là phải biết x0, y0, f ’(x0))



VD4. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 2 – 1 (C1) tại điểm M0(2; 3).

VD5. 1) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) tại điểm có hành độ x0 =

-1.

2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) tại điểm M0 có tung độ y0 = 8.

3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x 3 (C2) biết tiếp tuyến có hệ số góc k =

3.



HD.

VD5. 1) Ta có y = (2; ) = f(-1) -1. Như vậy tiếp

VD4. Tiếp điểm0M0f(x03). Hệ số=góc của tiếp tuyếnđiểm

là điểm M0(- 1; f (x) − f (2)

- 1).

x2 − 4

k = f '(2) = lim lại

= lim

= lim (x + 2) = 4.

Xem

Hệ số góc của2tiếpxcác bài → 2 x ở2phần2 kiểm tra!

tuyến x tập − 3 x →

−2

x→



f (x) − f ( −1)

x +1

k = f '(−1) = lim

= lim

= lim (x 2 − x + 1) = 3.

1

x →−1

Vậy tiếp tuyến có PT xy+= 4(x – x →−13x hay y x →−1 – 5.

2) + + 1 = 4x



Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) -1 hay y = 3x + 2.



VD5.

2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) tại điểm

M0 có tung độ y0 = 8.

3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) biết tiếp

tuyến có hệ số góc k = 3.

HD.

VD5. 2) Ta có y0 = f(x0)  8 = (x0 )3  x0 = 2. Như vậy tiếp

điểm là điểm M0(2; 8).

Hệ số góc của tiếp tuyến



f (x) − f (2)

x3 − 8

k = f '(2) = lim

= lim

= lim (x 2 + 2x + 4) = 12.

x−2

x →2

x →2 x − 2

x →2



Vậy tiếp tuyến có PT y = 12(x - 2) + 8 hay y = 12x - 16.



HD.

VD5. 3)Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị

hàm số đã cho là điểm M0(x0; y0).

Ở phần kiểm tra ta đã tính được

Ta có k = f ’(x0)  3 = 3(x0 )2  x0 = 1 hoặc x0 )==-1. 0 .

f '(x 0 3x 2

 TH1: x0 = 1  y0= 1. Tiếp điểm là điểm M0(1; 1).

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x - 1) + 1 hay y = 3x - 2.

 TH2: x0 = -1  y0 = -1. Tiếp điểm là điểm M0(-1; -1).

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2.

KL: có hai tiếp tuyến của (C2) thỏa mãn yêu càu của bài

toán: y = 3x – 2 và y = 3x + 2.



Câu hỏi: Có của đồ thị hàm số y = xcủa

bao nhiêu tiếp tuyến 3

Tiếp tuyến

đồ tại điểm có hoành 3 (C2)thì có hệ số

thị hàm số y = xđộ x có hệ số góc

0

âm? là

góc

3

3



x − x0

2

k = y '(x 0 ) = lim

= 3x 0 ≥ 0 (∀x 0 ∈ ¡ ).

x →x0 x − x0



Do đó đồ thị hàm số y = x3 không có

tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.ppt) (19 trang)

×